复合场

学案43：带电粒子在复合场的运动

一、复合场

1、复合场是指电场、磁场和重力场并存（或其中两者并存）的区域。 2、三种场力的特点 （1）、重力的大小为mg，方向竖直向下。重力做功与路径 ，其数值与质量 和 关。 （2）、电场力的大小为qE，方向与场强和带电粒子带电性质有关。电场力做功与路径 ，其数值与带电粒子电荷量和 有关。 （3）、洛仑兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当速度与磁场方向平行时，F=0；当速度与磁场方向垂直时，F=qvB。洛仑兹力的方向垂直于 所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛仑兹力都 。

3、是否考虑研究对象的重力，要比较重力是否比电场力小得多，或由题设条件决定。通常情况：

微观粒子一般不计重力，如 ；

质量较大的带电微粒不能忽略重力，如 。 二、常见仪器 1、速度选择器 （1）、当 时，带电粒子不偏转，沿直线匀速运动的。 （2）、速度选择器只选择速度大小而不选择粒子种类，与粒子的 无关。 （3）、如图中若带电粒子从右端射入时，粒子将 。 2、质谱仪

质谱仪由速度选择器和偏转分离磁场组成，相同速率的不同粒子在右侧的偏转磁场中作匀速圆周运动，不同 的粒子轨道半径不同，可以用来测定粒子的质量和分析同位素。

3、回旋加速器 （1）、带电粒子在两D型盒中做匀速圆周运动的周期与 周期相等，周期与带电粒子的速度无关。 （2）、带电粒子每经过电场加速一次，回旋半径增大一次，由开始各次半径之比 。 （3）、回旋加速器的半径为R，磁感应强度为B，带电粒子（m、q已知）的最大速度是 。 4、电磁流量计 圆形导管直径d，垂直于匀强磁场B，导电液体向左流动，a、b间出现电势差U保持稳定，液体的流量 。

5、磁流体发电机

平行金属板面积为s，相距为d，等离子体电阻率为ρ，喷入气体速度为v，板间磁场磁感应强度为B，外部电阻为R，则板间产生电动势为 ，电阻R中的电流强度为 。

【重难点阐释】

1、 电场力和洛仑兹力的比较 （1）、电场中的电荷，不管其运动与否，均始终受到电场力作用，电场力的大小与速度无关；磁场仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛仑兹力的作用，洛仑兹力的大小与速度有关。 （2）、电场力的方向与电场的方向相同或相反；洛仑兹力的方向始终与磁场的方向垂直，又和速度方向垂直。 （3）、电场力可以对电荷做功，改变速度的大小，且电场力的做功和路径无关；洛仑兹力始终不做功，不能改变速度的大小。

2、带电粒子在复合场中运动的分析方法

带电粒子在复合场中运动，实际上仍是一个力学问题，分析的基本思路是：首先正确的对带电粒子进行受力分析和运动情况分析，再运用牛顿定律、运动学规律、动能定理和能量守恒定律等知识进行求解。受力分析时注意重力的判断及各力的特点。还应注意画好示意图，在画图的基础上特别注意运用几何知识寻找关系。

【典型例题】

例1、场强为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场正交。如图1所示，质量为m的带电粒子在垂直于磁场方向的竖直平面内，做半径为R的匀速圆周运动，设重力加速度为g，则下列结论正确的是 （ ） A．粒子带负电，且q＝mg／E B．粒子顺时针方向转动 C．粒子速度大小v＝BgR／E D．粒子的机械能守恒

图1

• • • • 例2、如图2所示，套在足够长的固定绝缘直棒上的小球，质量为m，

• • • • E 带电量为q，小球可沿棒滑动，动摩擦因数为μ。把此棒竖直地放在

匀强电场和匀强磁场中，方向如图，电场强度为E，磁感应强度为B。• • • • 求小球由静止释放后下落过程中的最大加速度和最大速度。

• • • •

图2

（变形题：将磁场反向，其它因素不变结果怎样？）

例3、在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，有一倾角为θ，足够长的光滑绝缘斜面，磁感强度为B，方向垂直纸面向外，电场方向竖直向上．有一质量为m,带电挝为十q的小球静止在斜面顶端，这时小球对斜面的正压力恰好为零，如图3所示,若迅速把电场方向反转竖直向下，小球能在斜面上连续滑行多远？所用时间是多少？ 图3

例4、如图所示，虚线上方有场强为E的匀强电场，方向竖直向下，虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场，方向垂直纸面向外，a b是一根长l的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端在虚线上，将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后，小球先作加速运动，后作匀速运动到达b端，已知小球与绝缘杆间的动摩擦系数μ＝0.3，小球重力忽略不计，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，圆的半径是l/3，求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。

图4 【课堂练习】

1.如图5所示，匀强电场E竖直向下，匀强磁场B垂直纸面向里.现有三个带有等量同种电荷的油滴a、b、c，若将它们分别置入该区域中，油滴a保持静止，油滴b向左水平匀速运动，油滴c向右水平匀速运动，则比较三个油滴所受重力Ga、Gb、Gc的大小，最大的是________，最小的是________.

图5 2．如图6所示，某空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀

强磁场，已知一离子在电场力和磁场力作用下，从静止开始沿曲线acb运动，到达b点时速度为零，c为运动的最低点.则 （ ） A．离子必带负电

B．a、b两点位于同一高度 C．离子在c点速度最大

D．离子到达b点后将沿原曲线返回

图6

3．如图7所示，甲是一个带正电的小物块，乙是一个不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一

起静置于粗糙的水平地板上，地板上方空间有水平方向的匀强磁场。现用水平恒力拉乙物块，使甲、乙无相对滑动地一起水平向左加速运动， 在加速运动阶段

A．甲物块与地之间的摩擦力不断增大 B．甲、乙两物块间的摩擦力不断增大

C．甲、乙两物块间的摩擦力大小不变。 D．甲、乙两物块间的摩擦力不断减小

图7

F （ ）

乙 甲 B 4．如图8所示，一带电粒子从平行带电金属板左侧中点垂直于电场线以速度v0射入电场中，

恰好能从下板边缘以速度v1飞出电场。若其它条件不变，在两板间加入垂直于纸面向里

的匀强磁场，该带电粒子恰能从上板边缘以速度v2射出。不计重力，则 （ ）

A．2v0= v1+v2 C．v0=v1v2

22B．v0=(v1v2)/2

m q

v0 D．v0图8

5．如图9所示，有a、b、c、d四个离子，它们带等量同种电荷，质量不等，有ma=mb＜mc=md，以不等的速率va＜vb=vc＜vd进入速度选择器后，有两种离子从速度选择器+中射出，进入B2磁场，由此可判定 （ ） A．射向P1的是a离子 B．射向P2的是b离子 C．射向A1的是c离子 D．射向A2的是d离子。 图9

6．在同时存在匀强和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz（z轴正方向竖直向上），如图所示。已知电场方向沿z轴正方向，场强大小为E；磁场方向沿y轴正方向，磁感应强度的大小为B；重力加速度为g。问：一质量为m、带电量为+q的从原点出发的质点能否在坐标轴（x，y，z）上以速度v做匀速运动？若能，m、q、E、B、v及g应满足怎样的关系？若不能，说明理由。

7．如图11（甲）所示，两平行金属板的板长不超过0.2m，板间的电压u随时间t变化的u

一t图线如图（乙）所示，在金属板右侧有一左边界为MN、右边无界的匀强磁场，磁感应强度B＝0.01T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子连续不断地以速度v0＝105m／s，沿两板间的中线OO′平行金属板射人电场中，磁场边界MN与中线OO′垂直．已知带电粒子的比荷

q108C/kg，粒子的重力和粒子间相互作用力均可以忽略不计． m图11

（1）在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度看作是恒定的．试说 明这种处理能够成立的理由．

（2）设t＝0.1s时刻射人电场的带电粒子恰能从平行金属板边缘穿越电场射人磁场，求 该带电粒子射出电场时速度的大小．

（3）对于所有经过电场射人磁场的带电粒子，设其射入磁场的入射点和从磁场射出的 出射点间的距离为d，试判断：d的大小是否随时间而变化?若不变，证明你的结

论；若变，求出d的变化范围．

8．如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿yy 轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒

P1 子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的 P2点进入磁场，并经过y轴上y＝2h处的P3点。不计重力。求

0 P2 （l）电场强度的大小。

（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。 （3）磁感应强度的大小。

P3 v

x

参：

例1分析：因为电场力与重力平衡，所以粒子带负电；由左手定则得粒子顺时针转；再由

qE=mg和qvb=mv2/R得v＝BgR／E 。选ABC 。

例2分析：可设小球带正电，刚释放时受重力、电场力、弹力和摩擦力，加速向下运动；运动后受洛仑兹力，弹力摩擦力开始减小；当洛仑兹力等于电场力时，加速度最大为g；随着速度的增大，洛仑兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩擦力随着增大，加速度减小，当摩擦力等于重力时，小球速度达到最大为v=mg/μqB+E/B 。

例3分析：电场反转前上 mg＝qE

电场反转后，小球先沿斜面向下做匀加速直线运动,到对斜面压力减为零时开始离开斜面，此时有：qυB =(mg + qE) cosθ

(mg + qE) sinθ=ma 小球在斜面上滑行时间为： v=at

小球在斜面上滑行距离为：S=υt/2 解得：

小球沿斜面滑行距离Sm2gcos2/q2B2sin，所用时间。t＝mctgθ／qB.

例4分析：①小球在沿杆向下运动时，受力情况如图，向左的洛仑兹力F，向右的弹力N，向下的电场力qE，向上的

摩擦力f。F＝Bqv，N＝F＝Bqv ∴f＝μN＝μBqv 当小球作匀速运动时，qE＝f＝μBqvb

2vb②小球在磁场中作匀速圆周运动时，Bqvbm

R又Rl ∴vb＝Bql/3m 3③小球从a运动到b过程中，由动能定理得

2mvb W电Wf2B2q2l

W电qElBqvbl10m2mvbB2q2lmB2q2l22B2q2l2所以 WfW电 2210m45m29m22WfW电4

9练习答案：1 Gb，Gc 2 BC 3 D 4 B 5 A

6 (1)质点在x轴上做匀速运动qvB+qE=mg或qE=mg+qvB (2) 质点在y轴上做匀速运动qE=mg (3)质点不可能在z轴上做匀速运动

7．（1）带电粒子在金属板间运动时间tl2106s ①

v0得t＜＜T，（或t时间内金属板间电压变化△U ≤2×103V） ②

－

故t时间内金属板间的电场可以认为是恒定的 （2）t＝O.1s时刻偏转电压U＝100V

带电粒子沿两板间的中线射入电场恰从平行金属板边缘飞出电场，电场力做功

W1qU ③ 2112 ④ mv12mv022由动能定理：W代人数据得可v11.41105m/s ⑤

（3）设某一任意时刻射出电场的粒子速率为可，速度方向与水平方向的夹角为α，则

vv0⑥

cos2粒子在磁场中有qvBmv ⑦

R可得粒子进入磁场后，在磁场中作圆周运动的半径Rmv

Bq由几何关系d2Rcos ③

可得：d2mv00.2m，故d不随时间而变化． ⑨

Bq8．（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有

qE ＝ ma ① v0t ＝ 2h ②

12ath ③ 2y 由①、②、③式解得

2mv0E ④

2qhP1 h 0 2h v P3 2h C P2 θ x

（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有

2v12ah ⑤

22 vv1 ⑥ v0tanv1 ⑦ v0由②、③、⑤式得

v1＝v0 ⑧ 由⑥、⑦、⑧式得

v2v0 ⑨

45 ⑩

（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律

v2 ⑾ qvBmr

r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得

r＝2h ⑿ 由⑨、⑾、⑿可得

Bmv0 ⒀ qh