第41卷 第8期
2009年8月
哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报
JOURNALOFHARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY
Vol141No18Aug.2009
动态VaR估计模型及实证
马玉林,赵 静
1
2
(1.山东财政学院统计与数理学院,济南250014,mayulin1126@126.com;
2.山东财政学院统计与数理学院济南250014)
摘 要:为了准确描述金融收益率序列的波动率聚集,异方差、厚尾等特性,研究我国证券市场的时变风险,本文利用极值理论和GARCH模型在处理金融数据上的优点,构造了基于GARCH-EVT的条件VaR模型,并对沪市综合指数收益率进行实证研究,结果表明,上海股市存在ARCH效应,收益率序列具有较强的自相关性;以GARCH模型为基础的条件极值方法比GARCH-正态和GARCH-t模型更好地消除了厚尾性对估计结果的影响,能更准确地捕捉风险的时变特性.
关键词:广义自回归条件异方差模型;极值理论;风险价值;返回检验中图分类号:F830191文献标识码:A文章编号:0367-6234(2009)08-0183-03
ModelofdynamicVaRestimationandempiricalstudy
MAYu2lin,ZHAOJing
1
2
(1.SchoolofStatisticandMathematics,ShandongUniversityofFinance,Jinan250014,China,mayulin1126@126.com;
2.SchoolofStatisticandmathematics,ShandongUniversityofFinance,Jinan250014)
Abstract:Aimedatdescribingsomecharacteristicsoffinancialreturnsequencesuchasvolatilityclusterandconditionalheteroscedasticity,weproposeamethodforestimatingVaRandrelatedriskmeasuresdescribingthetailoftheconditionaldistributionofaheteroscedasticfinancialreturnseries.GARCHmodelstoestimatethecurrentvolatilityandtheextremevaluetheory(EVT)forestimatingthetailoftheinnovationdistributionoftheGARCHmodelarecombined.TheproposedmethodwasusedtoestimateVaRandconditionalexpectedshort2falls.ThebacktestingofShanghaistockmarketshowsthatthereisseriousARCHeffectonreturnrateofthestockmarketandGARCH-EVTmodelgivesbetterestimatesthanGARCH-NormalandGARCH-tmodels.
Keywords:GARCHmodel;extremevaluetheory;valueatrisk(VaR);backtesting
VaR(valueatrisk)称为风险价值或在险值,指的是:“在正常的市场环境下,在一定的持有期
[1]
内和一定的置信水平下可能的最大损失”.为了对金融数据做出有效的描述,Engle于1982提
[2]
出了自回归条件异方差———ARCH模型,模拟出数据的聚集性特征,Bollerslev在1986年提出了广义自回归条件异方差———GARCH模型,将高阶的ARCH模型转化成为简洁的GARCH模型,描绘出金融数据方差项的某种自相关性.
VaR估计的条件方差方法是一种动态VaR
[3,4]
的计算方法,它利用GARCH类模型中的条件方差来度量股票市场VaR.GARCH模型的残差序
收稿日期:2006-01-10.
作者简介:马玉林(1971—),男,博士,副教授.
列为一同分布的白噪声过程,最常见的是假定为正态分布,但实际上正态GARCH模型不能充分描述数据的厚尾性,为此,常假定残差服从分
[5,6]
布、混合正态分布或一般误差分布,而极值理论(EVT)因在序列尾部估计上的优势逐渐成为一种主流方法,尤其是广义帕累托分布能较好的反
[7～9]
映样本序列的厚尾特性.本文构造了GARCH-EVT模型对投资组合的动态VaR进行估计,充分发挥GARCH模型处理金融数据的优越性和极值分布模拟尾部数据的精确性.利用沪市综合指数做实证研究,并与GARCH-Normal、GARCH-模型进行返回检验比较,结果发现在GARCH模型基础上的条件极值方法能在相当程度上消除厚尾性对估计结果的影响,能更准确的捕捉风险的
・184・哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报 第41卷
时变特性,使模型的准确性更加稳健.
1 模型介绍
111 GARCH模型
若Xt为一表示股票价格的负对数收益严格
平稳时间序列,是严格平衡的,且服从GARCH(p,q)过程,表达式为
(1)Xt=μt+σtZt.
q
p
计算上的最大优势.因此可选取极值分布作为
GARCH类模型中的扰动过程,引入条件极值来度量时变风险价值.具体步骤:
1)应用GARCH过程模拟原始收益数据,估计条件均值μt和条件标准差σt并计算相应的模型残差序列zt=(xt-μt)/σt.
2)对残差时间序列进行检验,如果它是严格
的白噪声过程,就应用极值方法对其分布FZ(z)的尾部进行模拟,求解动态的VaR和ES,该过程所讨论的序列是zt而不是Xt.113 参数估计
σt=α0+
2
αi(Xi-1-μ+i-1)∑
2
i=1
2
βσjt-j.(2)∑j=1
(2)分别表示均值调整方程和方差波动方式(1)、
程,其中p≥0,q≥0,α0>0,αi≥0,βj≥0,Zt是均值为1,方差为0的白噪声过程,分布函数记为
FZ(z).
为了估计模型中的参数,取n个历史对数损失率Xt-n+1,…,Xt-1,Xt,把它们看作是服从AR(1)-GARCH(1,1)过程,因此调整的均值序列εt=
Xt-μt的条件方差为:
2
σ2σ2=αt0+α1εt-1+βt-1.
其中:α.0,α1,β>0,β+α1<1
112 条件VaR估计令Xt=-log(Pt/Pt-1)表示投资组合t天的
负对数收益率或对数损失率,其中Pt表示组合在当天的收盘价.在计算这种风险的日VaR时,应该考虑到市场的波动性,金融时间序列都有一些共性,都有尖峰、厚尾、异方差等特殊性质,虽然市场收益的相关性不高,但是序列的绝对值或平方收益的相关性却很高,仅仅假设同分布是不够的,构造更复杂的模型就非常有必要,常用的形式就是:Xt=μt+σtZt.
设FX(x)为Xt的边际分布,FXt+1|Gt(x)是以前t天的历史收益Gt(x)为条件所预测第二天的收益分布,主要预测第二天的条件风险价值和期望损
tt
失(ES),分别用VaRq和ESq表示.公式记为:
VaRq=xq=inf{x∈R:FXt+1|Gt(x)≥q}.
ESq=E[Xt+1|Xt+1>VaRq,Gt].
t
t
t
t
(5)
采用最大似然法,利用历史收益数据把带有正态扰动项的GARCH(1,1)模型最大化以获得α^的参数估计;由递推公式(1)、(5)计算0,α1,β
相应的条件均值以及标准差序列估计(μ^t-n+1,…,μ^t)和(σ^t-n+1,…,σ^t);计算出残差项,即,
(zt-n+1,…,zt)=xt-n+1-μxt-μt-n+1t.,…,
σσ^t-n+1^t
^
^
(6)
如果上述模型检验合适的话,根据上述参数就可以预测t+1时刻的条件均值和方差,即一步预
测.由于样本数量不大,因此采用极值理论中的POT模型对序列(zt-n+1,…,zt)来估计VaR,固定一个高的门限值u并假设超过这个门限的超额残差服从广义帕累托(GPD)分布.FZ(z)的尾部估计分布为:F〗=1-Z(z)
t
q
因为Zt为同分布,所以,FXt+1|Gt(x)=P{σt+1Zt+1+μt+1≤x|Gt}=
σt+1),FZ((x-μt+1)/于是条件VaR和条件ES为
t
VaRq=μt+1+σt+1zq.
ESq=μt+1+σt+1E[z|Z>zq]=
t
^
k1+ξz-uk^
nβ
k
tq
^
^ξk-1/
,因此
(3)(4)求得.VaR和条件期望损失ES分别由式(3)、
μt+1+σt+1ES(Z)q.(4)
其中:zq即VaR(z)q,是假定的Zt边际分布的上q分位数,它不依赖于t.而VaRq事实上是相对于序列{Zt}而言的VaR.
为了执行上述估计过程,本文中选择GARCH(1,1)过程为(1)中特定的随机过程.由于极值理论只考虑分布的尾部,分布的尾反映的是潜在的灾难性事件导致的金融机构的重大损失,而且极值收益的极限分布于收益的初始分布,因此不必要假设收益的初始分布,这正是极值理论应用于VaR
t
2 实证研究
选取1996年12月26日～2004年4月12日的上海综合指数数据(数据来源:大智慧网站)进行实证研究,样本容量为1750个,分别运用GARCH-Normal、Garch-t、GARCH-EVT模型
计算出相应的VaR、ES的估计值,并对三种方法的估计结果进行返回检验.以下模型中的参数估计和数据分析均通过Matlab615统计软件实现.211 数据描述与分析
首先对全部的收益率序列进行相关性、异方
第8期马玉林,等:动态VaR估计模型及实证・185・
差性等的检验,若具有上述特性,则利用GARCH(1,1)模型求得残差序列,再对残差序列{zt}进行上述检验.经检验无论是原始收益率还是其平方序列都具有明显的自相关性.Engle’sARCH检验表明ARCH效应也较显著.运用GARCH模型来模拟数据,经检验其残差序列和残差平方序列都不具有序列相关性,因此把极值理论用到残差序列{zt}中估计VaR和ES是合适的.212 返回检验与结果比较
使用不同的风险价值模型所得的VaR估计值会有相当显著的差别,为此需要对VaR估计实施返回检验,把所估计的VaR值与实际损失对比,如果实际损失超出了VaR,就认为估计失败.利用历史损失序列r1,…,rm返回检验上述方法,其中mµn,计算时间窗为n天的VaRq t∈T={n,…,m-1},本文中m=1750,取n=1000,每次利用前1000个历史数据滚动模拟、预测.因为正态分布、t分布的分位数可以直接计算,因此只需要把预测的μt+1,σt+1代入(3)、(4)即可求得相应的VaRq和ESq序列,而对于极值理论的尾部,考虑来自扰动分布尾部最大的100个残差.在每一天t∈T,模拟一个新的AR(1)-GARCH(1,1)模型,确定一个新的GPD尾部估计,代入(3)、
tt
(4)求得相应的VaRq和ESq序列.把上述方法所计算的VaR序列与后来的750个实际损失数据比较,计算失败的次数. 表一列出了实际损失高于三种方法估计的95%、99%、9915%VaR的数目,从中可以看出,虽
[12]
然所有结果都在Kupiec置信区间之内,但正态分布估计的VaR明显偏低,估计失败次数大大高于极值分布的估计,基本上都接近区间上限,而由t分布和极值分布估计的VaR效果要明显好于正态分布,估计失败频率更接近于我们所假设的置信度,因此利用GARCH-EVT模型度量我国证券市场的VaR是可行的,预测精度也比较准确,能很好地控制风险.
表1 实际损失超出VaR的数目比较
VaR(0195)
GARCH-NormalGARCH-tGARCH-EVTKupiec接受域
415135(25,51)
VaR(0199)
12(2,16)
VaR(01995)
822(1,10)
t
t
t
量涌入,而当股市下跌的时候撤出.因此可以用
GARCH模型来拟合收益率,计算VaR值,这样VaR估计中就包含了信息效应.
2)动态VaR估计明显比基于最大似然估计的静态VaR估计的效果要好,不仅描述了风险价值时变的特性,而且能够提供更好的预测精度.
3)基于不同的分布假设所计算的VaR值有所不同.在正态分布下,失败个数高于分布和极值分布的失败个数.这说明,正态分布无法刻画出金融数据分布特征,往往造成低估.极值法利用极值分布(主要是帕累托分布族)来近似序列分布,在估计极端情境时效果较理想.另外,GARCH模型对于股市中所存在的杠杆效应无法刻画,股市收益率的波动随信息的变化经常出现非对称性的特点,利空消息引起的波动一般更大,为了刻画波动的非对称性,可尝试利用非对称的GARCH模型———APACH模型或EGARCH、TGARCH等模型来模拟样本数据.
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3 结 论
1)上海股市存在ARCH效应.收益率序列具
有较强的自相关性,这证明了中国股市存在波动率聚集性这一结论,即投资者股市上涨的时候大
(编辑 姚向红)
