全国中考数学分类汇编 专题 三角形

一、选择题

1．【2018广东省广州市番禹区】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则cosB的值为（） A．

54 B．4535 C．3 D．5 试题分析：利用同角、互为余角的三角函数关系式．由A、B互为余角，可知cosB=sin（90°﹣B）=sinA=35． 故选D．

考点：1、锐角三角函数的定义；2、互余两角三角函数的关系

2．【2018广东省广州市番禹区】如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）

A．9 B．12 C．15 D．18

【答案】B

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、平行四边形的性质

3．如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（）

A．2B．3C．4D．5 【答案】

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考点：1、三角形中位线定理；2、平行四边形的性质

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（）

A．8 B．16 C．10 D．20

试题分析：根据勾股定理，在Rt△ABC中，AC=6，AB=8，先求出BC=10，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE=

12AC=3和AE=BE=5，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16． 故选：B．

考点：三角形中位线定理

5．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4

试题分析：由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质：三角形的面积比等于相似比的平方，因此这两个三角形的面积比为4：9． 故选C．

考点：相似三角形的性质

6．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）

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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C

考点：全等三角形的判定与性质

7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（）

A．S112S72S82 B．S12 C．S13S2 D．S1=S2 【答案】D

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考点：解直角三角形

8．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则

BFEF的值是（）

A．21 B．22 C．21 D．2 试题分析：作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出

BFEFBGGA，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=2BC求解BFBC1EFBGGA=2BCBC=2121． 故选：C．

考点：1、平行线分线段成比例，2、全等三角形及角平分线

9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）

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A．36° B．54° C．18° D．° 【答案】B

考点：等腰三角形的性质

10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE=BD；

②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB=∠AEB； ④CDAE=EFCG； 一定正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D

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③∵△ADC是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°，

∴∠BAD=90°+45°=135°，

∴∠BAE=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∴△BAE≌△BAD（SAS）， ∴∠ADB=∠AEB；

④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD， ∴△CAE≌△BAE， ∴∠BEA=∠CEA=∠BDA，

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故④正确， 故正确的有4个． 故选：D．

考点：1、全等三角形的判定及性质，2、相似三角形的判定 11．如图所示，△ABC中，DE∥BC，若

ADDB12，则下列结论中错误的是（）

A．

AESADEEC12 B．

S1

ABC9

C．DEBC12 D．

△ADE的周长△ABC的周长=13

试题分析：根据平行线的性质，可由DE∥BC，得

ADDBAEEC12，故A正确； 第7页 共26页

根据平行线的性质，可由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可知

ADABDEBCAEAC13，然后可知

SADE1ADE的周长S，

=1，故B、D正确.

ABC9ABC的周长3故选C．

考点：1、相似三角形的判定和性质，2、平行线分线段成比例定理

12．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=72°，则∠B的度数为（）

A．36° B．68°

C．22°

D．16°

【答案】A

考点：1、平行线的性质，2、等腰三角形的性质

13．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）

A．AD=AEB．DB=ECC．∠ADE=∠CD．DE=

12BC 试题分析：由DE与BC平行，得到△ADE∽△ABC，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC， 再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项． 故选D．

考点：1、等腰三角形的判定与性质；2、平行线的性质

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14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=12ACBD，其中正确的结论有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个 【答案】D

考点：全等三角形的判定和性质

15．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）

A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D 【答案】C

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考点：三角形全等的判定 16．如图，在△ABC中，DE∥BC，

ADDB12，则下列结论中正确的是（）

A．

AEAC12B．DEBC12 C．

ADE的周长1ABC的周长=3D．ADE的面积1ABC的面积=4

试题分析：根据△ABC中DE∥BC可以得到△ADE∽△ABC，再根据AD：DB=1：2可以得到AD：AB=1：3，从而得到两相似三角形的相似比为1：3，利用周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方可以得到答案． 故选C．

考点：相似三角形的判定及性质

A．20°B．30°C．35°D．40° 【答案】B

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考

点：全等三角形的性质

18．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（）

A．

23B．25C．35D．45 试题分析：如图，由6块长为2、宽为1的长方形，可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，因此在Rt△ABD中，AB=AD2BD2=5，因此可得cos∠ABC=

BD4AB5． 故选D．

考点：锐角三角函数

19．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（）

A．3B．4C．25D．121313 【答案】C

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考点：1、相似三角形的判定与性质；2、角平分线的性质

二、填空题

1．如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为m2．

试题分析：由于AD：DB=2：3，可知AD：AB=2：5，而DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S4ADE：SABC=25，进而可求△ABC的面积为25，从而易求四边形DEBC的面积．S四边形DEBC=25﹣4=21． 故答案是21．

考点：相似三角形的判定与性质

2．【2018广东省广州市番禹区】如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE=4，则△ADB的周长是．

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【答案】16

考点：线段垂直平分线的性质

3．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性． 试题分析：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性． 考点：三角形的稳定性

4．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为． 【答案】6或23或43 第13页 共26页

当∠C=60°时，∠ABC=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP=BC=6； 如图3：

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如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°，

∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴PC=BC÷cos30°=43． 故答案为：6或23或43． 考点：解直角三角形

5．如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为6m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距离地面的高度），那么这棵树的高度为m．（结果保留根式）

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【答案】23+1.5

考点：解直角三角形

6．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=． 试题分析：首先由勾股定理求得斜边AC=AB2BC2=5；然后由锐角三角函数的定义知

sinA=

对边邻边=BCAC=45．

考点：1、锐角三角函数定义，2、勾股定理

7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=1.5，那么BC=．

试题分析：先根据题意DE∥BC，判断出△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出ADABDEBC，代入数据可求得BC=4.5． 考点：相似三角形的判定与性质

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三、解答题

1．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）

【答案】AC=DF

考点：全等三角形的判定

2．为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30°，从点A向山的方向前进140米到达点B，在B处测得山顶D的仰角为60°（如图①）．

（1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C（保留作图痕迹）； （2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？

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【答案】（1）见解析(2)703 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

3．【2018广东省广州市番禹区】已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．求证：△DOE≌△BOF．

【答案】证明见解析

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考点：1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定

4．【2018广东省广州市番禹区】如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度； （2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）60（2）（60﹣203） 【解析】

试题分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长． 试题解析：（1）根据题意得：BD∥AE， ∴∠ADB=∠EAD=45°， ∵∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠ADB=45°，

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∴BD=AB=60，

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

5．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：2≈1.4，3≈1.7）

【答案】53米

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考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

6．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．

试题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=

12OA=2海里，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2海里，则AB=2AD=22海里．结合航行时间来求航行速度．

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考点：解直角三角形的应用-方向角问题

7．如图，一条光纤线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=40千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路． （1）求新铺设的光纤线路AB的长度；（结果保留根号）

（2）问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

【答案】（1）20（31）千米（2）20（1+23）千米 【解析】

试题分析：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，利用∠CAD的正弦和余弦分别求出CD、AD，再利用∠CBA的正切求出BD，然后根据AB=AD+BD计算即可得解；

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考点：解直角三角形的应用

8．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，∠E=45°，EF=6．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点A与点F重合，点E、F、A、C在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动，DF与AB相交于点M． （1）如图2，连接ME，若∠EMA=67.5°，求证：△DEM≌△AEM；

（2）如图3，在三角板DEF移动的同时，点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时，三角板DEF停止移动，点N也随之停止移动．连接FN，设四边形AFNB的面积为y，在三角板DEF运动过程中，y存在最小值，请求出y的最小值；

（3）在（2）的条件下，在三角板DEF运动过程中，是否存在某时刻，使E、M、N三点共线，若存在，请直接写出此时AF的长；若不存在，请直接回答．

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【答案】（1）证明见解析（2）932（3）不存在 （2）解：如图2中，作FG⊥CB，垂足为G．设AF=x，则CN=2x． 在Rt△ABC中，∠C=60°，AB=6， ∴AC=

ABtan606323，

∴CF=23﹣x，

在Rt△CFG中，FG=CF•sin60°=23﹣x）•

32=3﹣32x， ∴y=S﹣S1ABCCFN=2AC•AB﹣12CN•FG， 第24页 共26页

=

12•23×6﹣12•2x•（3﹣32x） =32x2

﹣3x+63 =3（x﹣3）2932+2， ∴y的最小值为932．

考点：1、三角形综合题、2、全等三角形的判定和性质、3、二次函数、4、勾股定理、5、平行线性质

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9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

【答案】证明见解析

考点：全等三角形的判定与性质

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