函数的最大(小)值专题训练

函数的最大（小）值专题训练

一、选择题 1．函数f(x)＝

1

的最大值是( )

1－x1－x

4534A. B. C. D. 5443 2．函数y＝x＋2x－1的最值的情况为( )

11

A．最小值为，无最大值 B．最大值为，无最小值

221

C．最小值为，最大值为2 D．最大值为2，无最小值

2

3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1] C．(－∞，0)

B．(－∞，0] D．(0，＋∞)

5． 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别 为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 二、填空题

6．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．

7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 8．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，函数y＝a2－4a＋6的下确界为________．

三、解答题

x2＋2x＋39．已知函数f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)．

x

(1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围．

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10．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.

(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；

(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？ 能力提升

11．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入x3

资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝x.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利

55润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？

212．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

3(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值．

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函数的最大（小）值专题训练答案

一、选择题 1．函数f(x)＝

1

的最大值是( )

1－x1－x

4534A. B. C. D. 5443解析：选D f(x)＝

1114

＝2＝≤.

1－x1－xx－x＋11233

x－2＋4

2．函数y＝x＋2x－1的最值的情况为( )

11

A．最小值为，无最大值 B．最大值为，无最小值

221

C．最小值为，最大值为2 D．最大值为2，无最小值

2

11

，＋∞上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A. 解析：选A ∵y＝x＋2x－1在定义域223．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C ∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4 ＝－(x－2)2＋4＋a，

∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2. ∴f(x)在[0,1]上单调递增．

又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2. ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1] C．(－∞，0)

解析：选C 令f(x)＝－x2＋2x， 则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0. ∴a<0.

6．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别 为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 解析：选C 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)1919

x－2＋30＋， ＝－x＋19x＋30＝－24

2

2

B．(－∞，0] D．(0，＋∞)

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∴当x＝9或10时，L最大为120万元． 二、填空题

6．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________． 11x－2＋， 解析：原函数整理得y＝－24111

此时x＝，即x＝. ∴ymax＝2441

答案：

4

7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的， 又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]， ∴1答案：(1,3]

8．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，函数y＝a2－4a＋6的下确界为________．

解析：函数y＝a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2， 则函数y＝a2－4a＋6的下确界为2. 答案：2

三、解答题

x2＋2x＋39．已知函数f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)． x

(1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围． 3

解：(1)f(x)＝x＋x＋2，

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2， 31－则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)x1x2. ∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.

又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4，∴1－

3

＞0. x1x2

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∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在[2，＋∞)上是增函数． 11

∴当x＝2时，f(x)取得最小值为. 211

(2)∵f(x)的最小值为，

2

11

∴f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，即a＜. 211－∞，. 故a的取值范围为2

10．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.

(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；

(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？ 解：(1)∵轮船行驶全程的时间t＝ksv

∴y＝(pv－p

(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，则 y＝

2×100v10

＝200(1＋)(10v－10v－10

s

， v－p

2×100v1010

由于f(v)＝在(10,110]上是减函数，所以当v＝110时，函数y＝＝200(1＋)取得最小

v－10v－10v－10值，且最小值为220.

即当轮船的实际行驶速度为110 km/h时，全程的燃料费用最少． 能力提升

11．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入x3

资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝x.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利

55润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？

解：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元， 13

根据题意得y＝x＋3－x(0≤x≤3)．

55令3－x＝t，则x＝3－t2,0≤t≤3. 132

所以y＝(3－t)＋t

55

3121

t－2＋，t∈[0，3 ]． ＝－5220

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321

当t＝时，ymax＝，此时x＝0.75,3－x＝2.25.

220

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润为1.05万元．

212．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

3(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值． 解：(1)证明：∵f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 又f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)， ∴f(－x)＝－f(x)．

设x10，据题意有f(x2－x1)<0. ∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)(2)由(1)式知，f(x)在[－3,3]上是减函数， ∴f(－3)最大，f(3)最小．

而f(3)＝f(2)＋f(1)＝2f(1)＋f(1)＝3f(1)＝ 2

3×(－)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，

3

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

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