大学数学课后习题答案-习题1-习题4

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 4. （1）{0,1,2,3,4} （2）{3,4} （3）{(1,1),(0,0),(1,1)}

5. （1）{x|x23,xZ} （2）{x|xx120} （3）{(x,y)|yx,yx} 6. （1）{1,3} （2）{1,2,3,5} （3） （4）{1,2,3,4,5,6} （5）{2} （6） （7）{4,5,6} （8）{1,3,4,5,6} （9）{1,2,3,4,5,6} （10）{4,6} 7.

23AABBA(AB)B((AA)(AB))B((AB))B(AB)B(AB)(BB)(AB)UAB8. （1）(5,5) （2）(2,0) （3）(,3][1,) （4）(1,2] （5）[4,) （6）(,4)

9. （1）AB{1}；AB[0,3]；AB[0,1)． （2）AB[2,4]；AB[1,4]；AB[1,2)． 10. （1）(,) （2）(,2)(2,)．

11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同 （4）是．在公共的定义域[1,1]上，y1x1xy1x2 12. （1）(,2)(2,2)(2,) （2）(,1][1,) （3）(1,1]

35223252 （4）(,) （5）(2,2) （6）[1,5] （7）(22k,22(k1))，k0,1,2, （8）(2,1)(1,1)(1,)

（9）(,2)(3,) （10）[2,4]

13（1）f(0)023055；f(1)123151；

f(1)(1)23(1)57；f(x)(x)23(x)5x23x5； f()()31x1x2113525． xxx14. f(x)f(x11)(x1)22(x1)3x24； f(x1)(x1)24x22x3．

sin()22，f(0)011，f()1． 15. f()22222x2x2x2116. xD(,)，有f(x)1112． 2221x1x1x17. （1）单调递减 （2）(,2]上单调递增；[2,)上单调递减 （3）(,1]单调递减；[1,)上单调递增 （4）单调递增 （5）(2k,2k)（k0,1,2,）上

单调递增； （6）单调递增

18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数 19. （1）对定义域内的任意x，因为F(x)函数；

（2）对定义域内的任意x，因G(x)所以G(x)是偶函数．

20. （1） （2）2 （3） （4）2

21. （1）因为x(,)，有f(x2)f(x)f(2)成立，令x1，则有

1[f(x)f(x)]F(x)，所以F(x)是偶211[f(x)f(x)][f(x)f(x)]G(x)，22f(1)f(1)f(2)，又因为f(x)是(,)内的奇函数，所以f(1)f(1)，所以f(2)2f(1)2a，又f(5)f(3)f(2)(f(1)f(2))f(2)f(1)2f(2)，所以

f(5)5a．

（2）因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(x2)f(x)，又已知

f(x2)f(x)f(2)，所以f(2)0，由（1）知f(2)2a，所以a0．

222. （1）yarcsinu，u1x （2）yu，ulnv，vx

w，

2（3）yu，u2v，vcosx （4）yeu，uarctanv，v w1x 23. （1）y1x1bx （2）yex1 （3）y3x2 （4）y（x1）

1xkk24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0 2．(1)3 (2)2 (3)0 (4)  (5) 

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

1limnnn21 n2limnn

4. 根据定义证明：

1(1)yxcos当x0时为无穷小；

x证明：0,,当x,xcos(2)y1x当x1时为无穷大. x1x x证明：M0,M1,当x,5. 求下列极限：

（1）1 （2）0 6. 计算下列极限： （1）0 （2）

1 2x11111M11M xxx（3）

2 （4）1 27. 计算下列极限：

（1）4 （2）

1（3）2 （4）

31（5） （6）

4（7）-1 （8）6

x1,x0x0，讨论函数在点x0时的极限情况？ 8. 设f(x)0,x1,x0解：lim-f(x)1,lim-f(x)1,f(0)0，所以f(x)在x0不存在极限。

x0x0x2axb5，求a，b 9. 已知limx11xx2axb5得解：由已知可知：ab10,得到ab1,代入limx11xx2(b1)xb(xb)(x1)limlim1b5，得b6,a7 x1x11x1x10. 计算下列极限：

limx1cosxlimx0x12x2（1）

x02

tanxsinx1cosxx21limlim（2）lim

x0x0x2cosxx02x2cosx2x3tan2x22x2lim22 （3）lim2x0x0xx（4）limx021cosx1cosxsinx2limlimx08 sin2x(21cosx)sin2xx0222sinxcosxxx111x2（5）limlim1xx1xx1e

1x（6）lim

xx1e13x（7）limlim1x2xxx2（8）lim1x0x2x1xxx(x2)21 ee

12x2e （9）limxx21x（10）limsinxsin1cosxlimcos1

x1x1x111cosxx2lim0 （11）limx0x02sinxsinxlim(1x)tanx2（12）

x1lim(1x)x1122limxx1x cossin222sinxsin3x2sinx3 （13）lim254sinxx2（14） limxcotxx221

111存在极限。 1212212n111111提示：单调且有上界， 2n2n12122212211. 证明：数列xn11112. 求极限limn222。 nnn2nn提示：

nn11nn1 n22222nnnnnnn22n13. 求lim。

nn!2n2 提示：n足够大时n!n1c14. 设xn1(xn)（n1,2,），已知常数c0且x10，证明limxnc．

n2xn提示：首先证明数列{xn}收敛．

因为c0，x10，所以xn0（n1,2,），则对任意的n，有

1ccxn1(xn)xnc

2xnxn这说明数列{xn}有下界；

1c1cxn又xn1xn(xn)xn0，即数列{xn}单调递减，从而数列{xn}2xn2xn收敛．

设limxna，对等式xn1n21c1c(xn)两边同时取极限，得a(a)，解之得2xn2anac．因为xn0（n1,2,），所以由保号性知a0，所以limxnc． 15. 求下列函数的间断点，并判断类型：

1（1）f(x)2 x1第二类间断点

x1（2）f(x)e x0第二类间断点

1 x0 第一类间断点 x1（4）（4）f(x)xcos2 x0为可去间断点

x16. 讨论下列函数在分段点处的连续性：

1x（3）f(x)arctanx1,x1（1）f(x) 不连续

3x,x1x21,x1（2）f(x)x1 不连续

3,limf(x)0f(1)x1x1sinx,x0（3）f(x)x 不连续

x02,x21,x0（4）f(x) 连续

2x1,x02x,0x117. 讨论函数f(x)在[0,2]上的连续性。

3x,1x2解：

x1limf(x)2limf(x)f(1)x1，所以f(x)在x1连续，又f(x)在[0,1)(1,2]连续，所以f(x)在[0,2]连续。

18.证明方程x53x1在1与2之间至少有一个实根。

证明:令f(x)x53x1,则f(1)0,f(2)0,f(x)为连续函数，由介值定理可得，

f(x)x53x1在1到2之间至少有一个实根。

19. 证明曲线yx43x27x10在x1与x2之间与x轴至少有一个交点。 提示：介值定理

20.设f(x)ex2，证明：存在(0,2)，使得e2成立。 提示：f(2)0，f(0)0,介值定理

21.已知函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a)、f(b)存在，证明：f(x)在(a,b)有界。

f(a),xa提示：令F(x)f(x),xa,b,F(x)在a,b连续，所以f(x)在a,b连续

f(b),xb习题3

1.用导数定义求下列函数的导数：

（1）f(x)2x2x （2）f(x)lnx

1答案：(1) 4x1 （2）

x2.已知某一物体的运动方程为s3t2，求该物体在t1到t1t这段时间内的平均速度，并求出当t分别取0.1，0.01时的平均速度及t1时的瞬时速度．

s(1t)s(1)3(1t)233t6 解：vttt0.1时，v=6.3t0.01时，v=6.03t1时，瞬时速度为limv6t0

3.讨论下列函数在x0处的可到性与连续性

2x,x0（1）f(x)sinx （2）f(x)x

xe,x0解：（1）limf(x)0f(0),f(x)在x0连续

x0limx0sinxf(x)-f(0)lim极限不存在，f(x)在x0不可导 x0xxx0（2）limf(x)0f(0),f(x)在x0连续

f(x)-f(0)xexf(x)-f(0)x2limlim=1 limlim=0 x0x0x0x0xxxx极限不存在，f(x)在x0不可导

1xsin,x04.讨论函数f(x)，在x0处的连续性与可导性． xx00,解：limf(x)0f(0),f(x)在x0连续

x0limx0f(x)-f(0)limx0xxsinx1x 极限不存在，f(x)在x0不可导

1sin2x,x05.试确定常数a，b，使函数f(x)，在x0处可导．

abx,x0解：由已知得limf(x)0f(0)，故a1

x0f(x)-f(0)f(x)-f(0)lim x0x0xxbxsin2x故lim= lim x0xx0xx0可导，lim 从而 b2

6.求曲线y3x2在点(8,4)处的切线方程和法线方程．

212333解：y3,x3时切线斜率为3，法线斜率为

3x2337.求下列函数的导数：

1（1）y2x3x1 （2）y3x2

x（3）yaxxa （4）yexlnx （5）ytanxsecx （6）ysinxtanx （7）y1sinx （8）yln(x1x2)

1sinx（9）yx2lnxcosx （10）ytan2x （11）ylnx2(lnx)2 （12）ysinnxcosnx

1211答案：16x12(2)x3(3)lnxxxx1(4)exlnxex

x3x(5)sec2xsecxtanx(6)sinx(1sec2x)(7)2cosx 2(1sinx)(8)1x21(9)2xlnxcosxxcosxx2lnxsinx

2(10)2tanxsec2x(11)(1lnx)(12)nsinn1xcosxnsinnx

x8.求下列函数的导数：

（1）yarcsinxarccosx （2）yxarcsinx （3）yarcsinx1 （4）y

2x1x（5）yloga(x23x2) （6）y1x 1x（7）ysin2xcos2x （8）yln(secxtanx)

1x2（9）yln （10）y(sinx)cosx 21x答案：（）10（2）arcsinxx1x2(3)1x1x2arcsinxx2

(4)x(1x)2322x3(5)2(x3x2)lna(6)(1x)(1x)

cos2x(sinxlnsinx)

sinx32124x(7)2cos4x(8)secx(9)1x4(10)(sinx)cosx9.求下列函数的高阶导数： （1）yln(1x2)，求y （2）ysin3xe2x，求y （3）yx2cosx，求y(30) （4）y1，求y(n) 1x2(1x2)2x2x答案：（）1(2)12cos3xe5sin3xe(1x2)2(4)n! n(1x)(3)870cosx60xsinxx2cosx

10.求下列函数的微分：

1（1）y3x （2）yxcos2x

x（3）yxx21 （4）yln2(1x)

（5）yarcsin1x2 （6）ytan2(2x21)

1x222x（7）yarctan （8）yxe 21x（9）yln2(1sin2x) （10）ye13xtan2x 答案：(1)dy((3)dy1(1x)32213)dx(2)dy(cos2x2xsin2x)dx x22xdx(4)dy(2ln(1x))dx x1(5)dy(xx1x2)dx(6)dy8xtan(2x21)sec2(2x21)dx

2x(7)dy()dx8dy(2xe2x(1x))dx 41x4cos2x(9)dy(ln(1sin2x))dx(10)dy(e13x(2sec22x3tan2x))dx

1sin2x11.计算下列各题的近似值：

（1）cos29 （2）25.04 （3）tan136 （4）e1.01

12.设扇形的圆心角60，半径r100cm，如果r不变，减少0.5，问扇形的面积约改变多少？如果不变，r增加1cm，问扇形的面积改变多少？

习题4

1.证明方程5x4x10在0与1之间至少有一个实根.

4111解：令f(x)5x44x1，f(0)10,f()0216

1故(0,)使得f()0，从而结论成立。22.不求导数，判断函数f(x)x1x2x3的导数有几个根，并确定其范围。 答案：由于f(1)f(2)f(3)0，故f(x)在1,2，2,3上满足罗尔中值定理的条件。因此，在1,2内至少存在一点1，使得f(1)0；在2,3内至少存在一点2，使得

f(2)0。又f(x)是三次多项式，故f(x)为二次多项式，只能有两个实根，分别在区

间1,2和2,3内。

3.证明方程16xx310在0,1内不可能有两个不相等的实根。

4解：假设16x4x310在(0,1)内有两个不相等的实根x1,x2则(x1,x2)使得f()0,而f(x)x0,x(0,1)矛盾从而假设不成立16x4x310在(0,1)内不可能两个不相等的实根x1,x2。4.设f(x)在(a,b)内有二阶导数，且

f(x1)f(x2)f(x3)

其中，ax1x2x3b，证明：在(x1,x3)内至少有一点，使得f()0。

解：由于f(x1)f(x2)f(x3)由罗尔中值定理可知1(x1,x2),2(x2,x3),f(1)f(2)0 再由罗尔中值定理可得(1，2)5.利用洛必答法则求下列极限： （1）limf()0lnlnxsin5x （2）lim

x0tan3x（3）limex1x0sinx （5）limtanxxx0x2sinx （7）limsinxsinaxaxa （9）lim21x0x21x1 （11）2xxlimarctanx x（13）xlimln(1e)5x （15）limtantanx2x x4xx（4）limxln(1x)xx2 6）xlim0xnlnx（n0） （8）limxln(1x)x0x2 1（10）limarcsinxx2x0x tanx （12）lim1x0x

1（14）lime(1x)xx0x

（16）limsecxtanx

x2 （ 答案:(1) (7)cos53(2)0(3)1(4)0(5)11(9)1(10)e42(8)1(6)032(11)(12)1(13)1(14)0(15)1(16)051tlnarcsinxsintlimln令x=arcsinxlimx0x2t0sin2tx1arcsinxx2 )eex0xt1costlnsinttsintlimsinttcostlimlimt0sin2tt02sintcostt02tsin2tcostsinttcost1costcosttsint1limlimlim32t0t0t02tcost6t6(10)lim(arcsinxx21lim()x0x6ln(1x)(axbx2)2。 6.确定常数a，b，使得lim2x0x11(a2bx)ln(1x)(axbx)1x解：limlim2x0x0x2x由上式可知1a0,a1 112b(a2bx)12b(1x)21xlimlim2x0x02x225b227.讨论下列函数的单调性：

（1）yx （2）yex1

答案：（1）函数yx的定义域为,。因此，y3x0，当x0时，y0；

33x2当x0时，y0。故函数yx在定义域,上单调增加。

3（2）函数yex1的定义域为,。由ye1，因为在0,内，y0，

xxx所以函数yex1在0,上单调增加；又因为在,0内，y0，所以函数

yexx1在,0上单调减小。

8.确定函数f(x)2x9x12x3的增减区间.

32答案：函数的定义域为,，求函数的导数，有

f(x)6x218x126(x1)(x2)

解方程f(x)0，得x11，x22。

在区间,1内，f(x)0，因此函数f(x)在,1上单调增加； 在区间1,2内，f(x)0，因此函数f(x)在1,2上单调减小； 在区间2,内，f(x)0，因此函数f(x)在2,上单调增加。 9.证明不等式：sinxsinyxy。

提示：sinx=cosx,由拉格朗日中值定理sinxsinycos1,(x,y)xy从而sinxsinyxy310.求函数f(x)xx3的单调区间与极值。

2答案：x0时，函数不可导；

2

x0时，f(x)1x值情况见表： 13133x1，令f(x)0，的驻点x1，则函数的单调区间与极3x1 (,0) (0,1) (1,) f(x)1x  增大  减小 0  增大 极大值f(0)01

极小值f(1)211.求函数f(x)(x2)(x1)极值点.

23答案：f(x)=2(x+2)(x-1)33(x+2)2(x-1)2(x+2)(x-1)2(2x23x6)(5x4)(x+2)(x-1)2极大值f(-2)046293极小值f()555

12.求函数f(x)x33x3在区间[3,]上的最大值、最小值.

32答案：f(x)3x23极值点端点为x3,1,1,32

315f(3)15,f(1)5,f(1)1,f()28最大值为f(1)5，最小值为f(3)1513.设f(x)x44x2，x3,3，求其单调区间、极值和最值.

答案：f(x)4x(x22)2,3单调减区间3,20,2单调增区间2,0极大值f(0)0极小值f(2)0,f(2)0最大值f(3)f(3)45最小值f(0)f(2)=f(2)=014.用薄钢板做一体积为V的无盖圆柱形桶，假定不计裁剪时的损耗，为了使得用去的材料最省，桶底直径与桶高的比例应为多少？

答案：设桶底半径为r,高为h,表面积为SV=r2h,Sr22rh消去h得2VSr2,(0r)r2VS2r2r令S0，得到r3Vr3V,h3V此时2r:h2:1用料最省