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概念回顾：知识网络结构
通项公式
二项式定理 二项展开式的性质
二项式系数的性质
应
用
1．二项式定理
（1）二项式定理
(a b) n C 0 a n C 1 a n1b C r a nr b r C n b n (n N )
n
n
n
n
※
这个公式表示的定理叫做二项式定理． （2）二项式系数、二项式的通项
在※式中它的右边的多项式叫做 (a b) n 的二项展开式，其中的系数 C r (r 0,1,..., n) 叫做二项式系
n
数，式中的 C r a nr b r 叫做二项展开式的通项，用 T
n
r 1
表示，即通项为展开式的第 r 1项：T
r 1
C r a nr b r .
n
（3）二项式展开式的各项幂指数
二项式 (a b) n 的展开式项数为 r 1项，各项的幂指数状况是
①各项的次数和都等于二项式的幂指数 n ．
②字母 a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零，字母 b 按升幂排列，从第一项起，
次数由零逐项增 1 直到 n ．
（4）几点注意
①通项 T
r 1
C r a nr b r 是 (a b) n 的展开式的第 r 1项，这里 r 0,1,...... n.
n
n
②二项式 (a b) n 的 r 1项和 (a b) n 的展开式的第 r 1项 C r a nr b r 有是区别的，应用二项式定理
时，其中的 a 和 b 是不能随便交换的．
③注意二项式系数（ C r ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有
时可为负．
n
④通项公式是 (a b) n 这个标准形式下而言的，如 (a b) n 的二项展开式的通项公式是
T
r 1
(1) r C r a nr b r （只须把－ b 看成 b 代入二项式定理）这与T
n
n
n
r 1
C r a nr b r 是不同的，在这里对应
n n
项的二项式系数是相等的都是 C r 但项的系数一个是 (1) r C r ，一个是 C r ，可看出，二项式系数与项的系 数是不同的概念．
⑤设 a 1, b x ，则得公式： (1 x) n 1 C 1 x C 2 x 2 C r x r x n ．
2．二项式系数的性质 （1）杨辉三角形： 对于 n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二
项式系数也可以直接用杨辉三角计算。
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
（2）二项式系数的性质：
n
n
n
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n
n
n
n
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n
(a b) n 展开式的二项式系数是：C 0 , C 1 , C 2 , , C n ，从函数的角度看C r 可以看成是 r 为自变量的函
数 f (r ) ，其定义域是： 0,1,2,3, , n．
当 n 6 时， f (r ) 的图象为右图．
这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研
究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式 C m C nm 得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二 项式系数相等并且最大．
n
由于展开式各项的二项式系数顺次是C 0 1, C 1 , C 2 , C 3 , ，
n n 1 n n 1 2 1 2 3
n(n1 2 3 (k 1) 1 2 3 (k 1)k 1) n(n 1)(n 2)
n
n
C
k 1n
n(n 1)(n 2) (n k 2) n(n 1)(n 2) (n k 2)(n k 1) ,..., C n 1 ， C k
n
n
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1 的数（如 n, n 1, n 2, ），
分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个
小于 1 的数则变小，从而当 k 依次取 1，2，3，…等值时， C r 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末 两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的
项必在中间．
当 n 是偶数时， n 1 是奇数，展开式共有n 1 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数
n
最大，最大为 C
当 n 是奇数时， n 1 是偶数，展开式共有 n 1 项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 C
n
n
n
n1 2 n
n 2 ． n
C
n
n1 2 n
③二项式系数的和为 2 n，即 C 0 C 1 .... C r ... C n 2 n .
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0 C 2 ... C 1 C 3 ... 2 n1 . 常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题。
n
n
n
n
二、题型阐述：
（一）二项式展开式
1 a 1 a2
1 a3 1 a n n n
4 n
1 a
n1
1 a C nn
试求该展开式中二项式系数最大的项。
例 3．若在 ( x
1
（二）二项式定理的定用
例 1．求和： 1 aC 0 C1 1 a C 2 nC 3
1 a 1 a
例 2．已知 (1 2 x ) n 展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的 2 倍，而等于它后一项系数的24 x )n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
5 6
，
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例 5．用二项式定理证明： x n na n1 x (n 1)a n 能被 ( x a) 2 整除 (n N * , n 2) 例 6．求证： 3n 2 n1 (n 2) 其中 (n N * , n 2) 。。 例 7．求 (a 2b 3c) 7 的展开式中含 a 4b 2 c 的项的系数。
三、专题训练：
一、选择题
1
1.（2009 浙江卷理）在二项式 ( x2 )5 的展开式中，含 x 4 的项的系数是(
x
A． 10 2. （ 2009
) D． 5
B．10
C． 5
北 京 卷 文 ） 若 (1 2) 4 a b 2( a, b
为 有 理 数 ）， 则 a b
（
）
A．33
B． 29 C．23 D．19
（
D．80
）
3.（2009 北京卷理）若 (1 2) 5 a b 2( a, b 为有理数），则 a b
A．45
B．55
3
C．70
4.（2010 全国卷 1 理数）(5) (1 2 x )3 (1
x )5 的展开式中 x 的系数是（ ）
C．2
D．4
A．-4
B．-2
5.（2009 江西卷理） (1 ax by)n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ，不含 y 的项的系数绝对 值的和为 32 ，则 a, b, n 的值可能为
A． a 2, b 1,n 5
B． a 2, b 1,n 6 C． a 1,b 2, n 6 D． a 1,b 2, n 5
6.(2009
湖 北 卷 理 )
2
axaxx设 （ x)2n a 2 ... a 2n1 a x 2n 012n12n 2 2
3
5
2n1
，
则
lim[(a a a ... a )2 (a a a ... a
n
0
2
4
2n
1
)2 ]
A. 1 B.0 C.1
2
D.
2
a a
200920097.（2009 陕西卷文）若 (1 2 x) a a x a x ( x R) ,则 1 2
2009 0 1 2 22
（A）2 （B）0 （C） 1 (D) 2
8.（2009 重庆卷文） ( x 2)6 的展开式中 x 3 的系数是（ A．20 二、填空题
2009 的值为
2009
a
2
）
B．40 C．80 D．160
.
(用数字作答).
1.（2009 湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则 b=
2.（2009 湖南卷文）在 (1 x )4 的展开式中， x 的系数为
6
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3.（2009 全国卷Ⅰ文） ( x y)10 的展开式中， x7 y3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于_____________.
4.（2009 四川卷文理） (2 x
1
2 x
)6的展开式的常数项是 （用数字作答）
x )2 (1 3 x ) 的展开式中， x 的系数为_____(用数字作答)
5.(2009 湖南卷理)在 (1 x)3 (1
6.（2009 浙江卷理）观察下列等式：
2 ， C1 C 5 2 3
5
5
C1 C 5 C 9 27 23 ，
9
C1 C 5 C 9 C13 211 25 ，
13
3 C 1 1 5 ， C1 C 5 C 9 C 1 72217
9 9
13 13 13
1 7 17 1 7 1 7
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 n N * ， C1
4n1
C 5
yyx
7.（2009 全国卷Ⅱ理）x 的展开式中 x3 y 3 的系数为
4n1
C 9
4n41
C 4n1 ．
4n1
。
2
8.（2009 重庆卷理） ( x2 )8 的展开式中 x 4 的系数是（
x
A．16
B．70
C．560
） D．1120
