电磁感应中的斜面问题

一、单项选择题

1． 如图,光滑斜面的倾角为,斜面上放置一矩形导体线框abcd,ab边的边长为l1,bc边的边长为l2,线框的质量为

m,电阻为R,线框通过绝缘细线绕过光滑的滑轮与重物相连,重物质量为M,斜面上ef线(ef平行底边)的右方有

垂直斜面向上的匀强磁场,磁感应强度为B,如果线框从静止开始运动,进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的,且线框的ab边始终平行底边,则下列说法正确的是( )

g B e d a b c θ f h M A.线框进入磁场前运动的加速度为

Mgmgsin

m(Mgmgsin)RB.线框进入磁场时匀速运动的速度为

Bl1C.线框做匀速运动的总时间为

Bl

(Mgmgsin)R221D.该匀速运动过程产生的焦耳热为(Mgmgsin)l2

答案: D

2． 一质量为m、电阻为r的金属杆ab以一定的初速度v0从一光滑的平行金属导轨底端向上滑行，导轨平面与水平面成30°角，两导轨上端用一电阻R相连，如图所示，磁场垂直斜面向上，导轨的电阻不计，金属杆向上滑行到某一高度之后又返回到底端时的速度大小为v，则（ ）

A.向上滑行的时间等于向下滑行的时间

B.向上滑行时电阻R上产生的热量小于向下滑行时电阻R上产生的热量 C.向上滑行时与向下滑行时通过电阻R的电量相等

2D.金属杆从开始上滑至返回出发点，电阻R上产生的热量为mv0v2

12答案: C

解析: 金属杆沿斜面向上运动时安培力沿斜面向下，沿斜面向下运动时安培力沿斜面向上，所以上升过程的加速度大于下滑过程的加速度，因此向上滑行的时间小于向下滑行的时间，A错；向上滑行过程的平均速度大，感应电流大，安培力做的功多，R上产生的热量多，B错；由q=

知C对；由能量守恒定律知回路中产生的总热量为Rr12mv0v2，D错. 23． 一个边长为L的正方形导线框在倾角为θ的光滑固定斜面上由静止开始沿斜面下滑，随后进入虚线下方方向垂直于斜面的匀强磁场中．如图所示，磁场的上边界线水平，线框的下边ab边始终水平，斜面以及下方的磁场往下方延伸到足够远．下列推理判断正确的是（ ）

A．线框进入磁场过程b点的电势比a点高 B．线框进入磁场过程一定是减速运动

C．线框中产生的焦耳热一定等于线框减少的机械能

D．线框从不同高度下滑时，进入磁场过程中通过线框导线横截面的电荷量不同

答案: C

解析: ab边进入磁场后，切割磁感线，ab相当于电源，由右手定则可知a为等效电源的正极，a点电势高，A项错．由于线框所受重力的分力mgsin θ与安培力大小不能确定，所以不能确定其是减速还是加速，B项错；由能量守恒知

C项对；由q＝nΔΦ知，q与线框下降的高度无关，D项错．

R4． 如图所示,两根光滑的金属导轨,平行放置在倾角为的斜面上,导轨的左端接有电阻R,导轨所在空间有一与导轨平面垂直的匀强磁场.导轨上有一个金属棒,金属棒与两导轨垂直且接触良好,在沿着斜面向上且与棒垂直的拉力

F作用下,金属棒沿导轨匀速上滑,则下列说法正确的是( ) A.拉力做的功等于棒的机械能的增量 B.合力对棒做的功等于棒的动能的增量 C.拉力与棒受到的磁场力的合力为零

D.拉力对棒做的功与棒重力做的功之差等于回路中产生的电能

答案: B

B θ θ F R 二、多项选择题

5． 如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用．金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑高度h的过程中，以下说法正确的是（ ）

A．作用在金属棒上各力的合力做功为零 B．重力做的功等于系统产生的电能

C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热 D．金属棒克服恒力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热

答案: AC

解析: 根据动能定理，合力做的功等于动能的增量，故A对；重力做的功等于重力势能的减少，重力做的功等于克服F所做的功与产生的电能之和，而克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，所以B、D错，C对． 6． 如图所示,倾角为的平行金属导轨宽为l,导轨电阻不计,底端与阻值为R的定值电阻相连,磁感强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面.有一质量为m、电阻为R的导体棒ab从位置以初速度v沿斜面向上运动,最远到达a'b'的位置,滑行的距离为s.已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数为.则

B2L2vA.上滑过程中导体棒受到的最大安培力为

Rmv2B.上滑过程中安培力、滑动摩擦力对导体棒做的总功为

2C.上滑过程中电流做功产生的热量为mv2mgssincos D.上滑过程中导体棒损失的机械能为mv2mgssin

答案: CD

7． 在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场,区域I的磁场方向垂直斜面向上,区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下,磁场的宽度均为L,一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框,由静止开始沿斜面下滑,t1时 ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区,此时线框恰好以速度 v1做匀速直线运动;t2时ab边下

1212滑到JP与MN的中间位置,此时线框又恰好以速度v2做匀速直线运动.重力加速度为g,下列说法中正确的有( ) 时,线框具有加速度a=3gsinθ

B.线框两次匀速直线运动的速度v1: v2=2:1

C.从t1到t2过程中,线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量.

3mgLsinmv1v2D.从t1到t2,有22答案: AD

22机械能转化为电能.

8． 在倾角为θ足够长的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场,磁场方向一个垂直斜面向上,另一个垂直斜面向下,宽度均为L,如图所示.一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形线框在t=0时刻以速度v0进入磁场,恰好做匀速直线运动.若经过时间t0,线框ab边到达gg′与ff′中间位置时,线框又恰好做匀速运动,则下列说法正确的是( )

A.当ab边刚越过ff′时,线框加速度的大小为2gsin

时刻线框匀速运动的速度为

v04

时间内线框中产生的热量为

315mgLsinmv2232

D.离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动

答案: BC

9． 如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可以不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，在这一过程中（ ）

A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零

B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和 C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零

D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热

答案: AD

解析: 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对棒做功，恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿斜面向下，做负功．匀速运动时，所受合力为零，故合力做功为零，A正确；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于R上产生的焦耳热，故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确．

10．如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、

b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面．现用一平行于

导轨的恒力F作用在a的中点，使其向上运动．若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能（ ）

A．变为0 B．先减小后不变 C．等于F D．先增大再减小

答案: AB

解析: a导体棒在恒力F作用下加速运动，闭合回路中产生感应电流，导体棒b受到安培力方向应沿斜面向上，且

逐渐增大．最后不变，所以b导体棒受摩擦力可能先减小后不变，可能减小到0保持不变，也可能减小到0然后反向增大最后保持不变．所以选项A、B正确，C、D错误．

三、计算题

11．将一个矩形金属线框折成直角框架abcdefa，置于倾角为α＝37°的斜面上，ab边与斜面的底线MN平行，如图所示，ab＝bc＝cd＝de＝ef＝fa＝ m，线框总电阻为R＝ Ω，ab边的质量为m＝ kg，其余各边的质量均忽略不计，框架可绕过c、f点的固定轴自由转动，现从t＝0时刻开始沿斜面向上加一随时间均匀增加的、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度与时间的关系为B＝ tT，磁场方向与cdef面垂直．（cos 37°＝，sin 37°＝） （1）求线框中感应电流的大小，并指出ab段导线上感应电流的方向； （2）t为何值时框架的ab边对斜面的压力恰为零； （3）从t＝0开始到该时刻通过ab边的电荷量是多少．

答案: （1） A a→b （2） s （3） C

ΔΦΔB解析: （1）由题设条件可得E＝＝cd·de＝ V 所以感应电流IΔtΔt＝＝ A

根据楞次定律可判断，感应电流的方向从a→b. （2）ab边所受的安培力为FB＝BI·ab＝

方向垂直于斜面向上，当框架的ab边对斜面的压力为零时，有FB＝mgcos 37° 由以上各式解得：t＝ s. ΔΦBS（3）从t＝0开始到该时刻通过ab边的电量q＝It＝ C（或用q＝＝求解均可）

ERRR12．如图甲所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．用与导轨平行且向上的恒定拉力F作用在金属杆上，金属杆ab沿导轨向上运动，最终将做匀速运动．当改变拉力F的大小时，相对应的匀速运动速度v也会改变，v和F的关系如图乙所示． （1）金属杆ab在匀速运动之前做什么运动？ （2）运动过程中金属杆ab受到的安培力的表达式？

（3）若m＝，L＝，R＝Ω，取重力加速度g＝10m/s，试求磁感应强度B的大小及θ角的正弦值sinθ.

2

B2L2v答案: （1）变速运动 （2） （3）1T，sinθ＝

R解析: （1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动、加速运动） （2）感应电动势E＝BLv 感应电流I＝

ERB2L2vab杆所受的安培力F安＝BIL＝

RB2L2v（3）F－mgsinθ－＝ma

R当a＝0时，速度v达到最大且保持不变，杆做匀速运动．

Rv＝22（F－mgsinθ） BL结合v－F图象知： 斜率

R4－0＝ B2L24－2

横轴上截距mgsinθ＝2 代入数据解得B＝1T，sinθ＝.

13．如图所示，间距l＝0.3 m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内．在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1＝ T、方向竖直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R＝ Ω、质量m1＝0.1 kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、

b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下

垂，绳上穿有质量m2＝0.05 kg的小环．已知小环以a＝6 m/s的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g＝10 m/s，sin 37°＝，cos 37°＝.求:

（1）小环所受摩擦力的大小； （2）Q杆所受拉力的瞬时功率．

答案: （1） N （2）2 W

解析: (1)设小环受到的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律，有m2g－Ff＝m2a① 代入数据，得 2

2

Ff＝ N② (2)设通过K杆的电流为I1，K杆受力平衡，有 Ff＝B1I1l③ 设回路总电流为I，总电阻为R总，有 I＝2I1④ R总＝3R⑤ 2设Q杆下滑速度大小为v，产生的感应电动势为E，有 I＝E⑥ RE＝B2lv⑦ F＋m1g sin θ＝B2Il⑧ 拉力的瞬时功率为 P＝Fv⑨ 联立以上方程，代入数据得 P＝2 W 14．如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，ab与cd之间相距为L0金属杆甲、乙的阻值相同，质量均为m，甲杆在磁场区域的上边界ab处，乙杆在甲杆上方与甲相距L处，甲、乙两杆都与导轨垂直。静止释放两杆的同时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F，使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动，加速度大a=2gsinθ，甲离开磁场时撤去F，乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场。

（1）求每根金属杆的电阻R是多大？

（2）从释放金属杆开始计时，求外力F随时间t的变化关系式？并说明F的方向。 （3）若整个过程中，乙金属杆生热量Q，求外力F对甲金属杆做的功W是多少?

B2d2答案: （1） 2m2L （2）F＝mgsin θ＋mgsin θ

gsin θ2gsin θ·t（0≤t≤ Lgsin θL），方向垂直

于杆平行于导轨向下 （3）2Q

解析: （1）设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1，乙从开始运动到ab位置的时间为t2， 则由运动学公式得

2

L＝·2gsin θ·t21，L＝gsin θ·t2

1212

解得t1＝ Lgsin θ，t2＝ 2L（1分）

gsin θ因为t1设乙进入磁场时的速度为v1，乙中产生的感应电动势为E1，回路中的电流为I1，则 12

mv1＝mgLsin θ（1分） 2

E1＝Bdv1（1分） I1＝E1/2R（1分） mgsin θ＝BI1d（1分） B2d2

解得R＝

2m2L（1分）

gsin θ（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中产生的感应电动势为E，回路中的电流为I，外

力为F，则

v＝at（1分） E＝Bdv（1分） I＝E/2R（1分）

F＋mgsin θ－BId＝ma（1分） a＝2gsin θ

联立以上各式解得

F＝mgsin θ＋mgsin θ

2gsin θ·t（0≤t≤

Lgsin θL）

方向垂直于杆平行于导轨向下.

（3）甲在磁场运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v0，甲、乙产生的热量相同，均设为Q1，则

v20＝2aL（1分）

W＋mgLsin θ＝2Q1＋mv20（2分）

解得W＝2Q1＋mgLsin θ

乙在磁场运动过程中，甲、乙产生相同的热量，均设为Q2，则2Q2＝mgLsin θ（2分） 根据题意有Q＝Q1＋Q2（1分） 解得W＝2Q（1分）

15．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge、

1

2

hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良

好．金属杆a、b质量均为m＝ kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝ T．已知从t＝0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝＋ （N）．（sin 37°＝，cos 37°＝，g取10 m/s）

（1）通过计算判断杆a的运动情况；

（2）从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；

（3）若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？

答案: （1）以4 m/s的加速度做匀加速运动 （2） C （3）6 J 解析: （1）因为杆b静止，所以有

2

2

F2－B2IL＝mgtan 37°

而F2＝＋（N） 解得I＝ （A）

整个电路中的电动势由杆a运动产生，故

E＝I（Ra＋Rb） E＝B1Lv

解得v＝4t

所以，杆a做加速度为a＝4 m/s的匀加速运动． 12

（2）杆a在1 s内运动的距离d＝at＝2 m

2

2

q＝IΔt I＝E＝

ERa＋Rb

ΔΦB1Ld＝ ΔtΔtΔΦB1Ldq＝＝＝ C Ra＋RbRa＋Rb即1 s内通过杆b的电荷量为 C

（3）设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得

W1－Q＝mv21 v1＝at＝8 m/s

解得Q＝10 J 从而Qb＝

1

2

Q＝6 J Ra＋RbRb16．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距离为L。其电阻不计，两导轨及其构成的平面与水平面成θ角，两根用细线连接的金属杆ab、cd分别垂直导轨放置，平行斜面向上的外力F作用在杆ab上，使两杆静止，已知两金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，两金属杆的电阻都为R，并且和导轨始终保持良好接触，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。某时刻将细线烧断，保持杆ab静止不动，求： （1）细线烧断后外力F的最小值和最大值；

（2）设细线烧断后cd杆到达最大速度前杆ab产生的电热为Q，求cd杆到达最大速度前经过的位移s。

8mgRsinθ＋BLθ

答案: （1）mgsinθ 3mgsinθ （2） 44

BLmgsinθ解析: （1）细线烧断瞬间，外力F取得最小值F1， 研究杆ab：F1＝mgsinθ①

322

2

44

cd杆到达最大速度vm时。外力F取得最大值F2，

研究杆ab：F2＝mgsinθ＋F安②

研究cd杆，因其匀速运动，则F安′＝2mgsinθ③ BLvm显然F安＝F安′＝④

2R代入可得：F2＝3mgsinθ⑤

（2）两杆电阻相等，故产生电热相等。

22

cd杆到达最大速度前电路产生的总电热为2Q，

由能量守恒可知

12

2mgsinθ·s＝（2m）vm＋2Q⑥

2联立③④⑥得

8mgRsinθ＋BLθs＝ 44

BLmgsinθ

17．如图，光滑斜面的倾角α＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1＝1 m，bc边的边长l2＝ m，线框的质量m＝1 kg，电阻R＝ Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M＝2 kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝ T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh线的距离s＝ m，（取g＝10.4 m/s），求： （1）线框进入磁场前重物M的加速度； （2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；

（3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；

（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热．

答案: （1）5 m/s （2）6 m/s （3） s （4）9 J

解析: （1）线框进入磁场前，线框受到细线的拉力FT、斜面的支持力和线框重力，重物M受到重力和拉力FT.对线框，由牛顿第二定律得FT－mgsinα＝ma， 联立解得线框进入磁场前重物M的加速度

2

2

322

2

44

Mg－mgsinα2a＝＝5 m/s.

M＋m（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡Mg＝FT′， 线框abcd受力平衡FT′＝mgsinα＋FA，

ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E＝Bl1v，

形成的感应电流I＝＝

EBl1v，

RR受到的安培力FA＝BIl1，

B2l21v联立上述各式得Mg＝mgsinα＋，

R代入数据解得v＝6 m/s.

（3）线框abcd进入磁场前，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．

进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为a＝5 m/s，

2

v6

该阶段运动时间为t1＝＝ s＝ s，

a5

进磁场过程中匀速运动时间t2＝＝错误! s＝ s，

线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a＝5 m/s，

2

l2vs－l2＝vt3＋at23，

解得t3＝ s，

因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为

1

2

t＝t1＋t2＋t3＝ s.

（4）线框ab边运动到gh处的速度

v′＝v＋at3＝6 m/s＋5× m/s＝12 m/s，

整个运动过程产生的焦耳热

Q＝FAl2＝（Mg－mgsinθ）l2＝9 J.

18．如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1

m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量m＝1 kg、电阻r＝ Ω的均匀直金属杆ab放

在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B＝ T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝＋2（式中v为杆ab运动的速度，力F的单位为N）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10 m/s，sin 37°＝。 （1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并写出推理过程； （2）求电阻R的阻值；

（3）求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。

答案: （1）金属杆做匀加速运动（或金属杆做初速度为零的匀加速运动）。通过R的电流I＝

2

BLv，因通过

R＋rR＋r＝

ER的电流I随时间均匀增大，即杆的速度v随时间均匀增大，杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速运动。

（2） Ω （3） s

解析: （1）金属杆做匀加速运动（或金属杆做初速度为零的匀加速运动）。 通过R的电流I＝

BLv，因通过R的电流I随时间均匀增大，即杆的速度v随时间均匀增大，杆的加速度为

R＋rR＋r＝

E恒量，故金属杆做匀加速运动。 （2）对回路，根据闭合电路欧姆定律I＝

BLv R＋r对杆，根据牛顿第二定律有：F＋mgsin θ－BIL＝ma

B2L2

将F＝＋2代入得：2＋mgsin θ＋（－）v＝ma，

R＋r2＋mgsin θ2

因a与v无关，所以a＝＝8 m/s

mB2L2－＝0，得R＝ Ω R＋r12

（3）由x＝at得，所需时间t＝

2

2x＝ s。

a19．如图所示，足够长的光滑平行导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L＝ m，导轨平面与水平面间的夹角为30°，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的M、P两端连接阻值为R＝ Ω的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量m＝ kg，电阻r＝ Ω，重物的质量M＝

kg，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系如表所示，不计导轨电阻，g取10 m/s2。求：

时间t（s） 上滑距离（m） 0 0 （1）ab棒的最终速度是多少？ （2）磁感应强度B的大小是多少？

（3）当金属棒ab的速度v＝2 m/s时，金属棒ab上滑的加速度大小是多少？

答案: （1） m/s （2）5 T （3） m/s

解析: （1）由表中数据可以看出最终ab棒将匀速运动

2

vm＝

Δx＝ m/s Δt（2）棒受力如图所示，由平衡条件可得

FT＝F＋mgsin 30° FT＝Mg BLvm

F＝BL

R＋r联立解得：B＝5 T。

（3）当速度为2 m/s时，安培力

B2L2vF＝ R＋r对金属棒ab有：

FT－F－mgsin 30°＝ma

对重物有Mg－FT＝Ma 联立上述各式，代入数据得

a＝ m/s2

20．如图a所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图b所示．t＝0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图所示位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒

cd在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均

与导轨接触良好．已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l，在t＝tx时刻(tx未知)ab棒恰进入区域Ⅱ，重力加速度为g.求： (1)通过cd棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向； (2)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率； (3)ab棒开始下滑的位置离EF的距离；

(4)ab棒从开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．

m2g2Rsin2θ答案: (1)电流方向为d→c 磁场方向为垂直斜面向上 (2) (3)3l (4)4mglsin θ

B2l2

解析: (1)通过cd棒的电流方向为d→c 区域Ⅰ内磁场方向为垂直于斜面向上

(2)对cd棒，F安＝BIl＝mgsin θ，所以通过cd棒的电流大小I＝当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率

mgsin θ Blm2g2Rsin2θP＝IR＝

B2l2

2

(3)ab棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动，a＝gsin θ

cd棒始终静止不动，ab棒在到达区域Ⅱ前、后回路中产生的感应电动势不变，则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线

ΔΦB·2l·l运动可得＝Blvt，即＝Blgsin θtx，所以tx＝

Δttx2l

gsin θab棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度vt＝2glsin θ

12

则ab棒开始下滑的位置离EF的距离h＝atx＋2l＝3l

22l(4)ab棒在区域Ⅱ中运动的时间t2＝＝

vt2l

gsin θab棒从开始下滑至EF的总时间 t＝tx＋t2＝2

2l，E＝Blvt＝Bl2glsin θ

gsin θab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量Q＝EIt＝4mglsin θ

21. 如图所示，在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，有两条相互平行且相距L的光滑金属导轨P1P2P3-Q1Q2Q3，两导轨间用阻值为R的电阻连接，导轨P2P3、Q2Q3在同一水平面上，P2Q2⊥P2P3，倾斜导轨和水平导轨均用相切的一小段光滑圆弧连接，其长度可以略去不计．在倾角为 θ的斜导轨P1P2-Q1Q2上放置一根质量为m的细金属杆AB，杆AB始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触．现用沿P1P2方向的拉力F施加于杆AB，使杆AB在高h处由静止开始向下做匀加速直线运动，当杆AB运动到P2Q2处时撤去拉力，最终在CD处停下，测得CD与P2Q2之间的距离为s．不计导轨和杆AB的电阻，不计空气阻力．求：

（1）杆AB下滑的过程中通过电阻R的电荷量q； （2）杆AB运动到P2Q2处时的速度大小v；

（3）回路中的最大感应电流Im和杆AB在斜导轨上的加速度大小a．