高考数学等差数列与等比数列

一、课前检测

1.（2010年东城期末20）设数列an的前n项和为Sn．已知a15，

an1Sn3n，nN*．设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

解：依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n， 由此得Sn13n12(Sn3n)．

因此，所求通项公式为bnSn-3n2n。

二、知识梳理

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

解读：

2.补充的一条性质

1）项数为奇数2n1的等差数列有：

s2n1(2n1)an

s奇ns奇s偶ana中，s偶n12）项数为偶数2n的等差数列有：

s2nn(anan1)

解读：

s奇an，s偶s奇nd s偶an1an1and（定义）2an1anan23.等差数列的判定：{an}为等差数列 anAnB（关于n的“一次函数”）SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）n即：｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

解读：

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d； 四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

解读：

5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=

ana1aam，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的

nmn1斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中，公差不为0.

解读：

6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。 （ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0； a0n1（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近大；

q的非零自然数时Sn最2p2）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值

an0（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小；

a0n1（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近小。 解读：

q的非零自然数时Sn最2p7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等 定义 等 差 数 列 {an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+） 1）an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d；an=dn+a1-dknb 通项公式 求和公式 2）推广：an=am+（n－m）d. 3）变式：a1=an－（n－1）d，d=ana1n1，d=anamnm，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率. Sn1）n(a1an)n(n1)ddna1dn2(a1)nAn2Bn 2222a1anSn=n2－1）·（－d）. 22）变式：=a1a2ann=a1+（n－1）·d=an+（n21）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等2ac；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要等差中差中项，且b=项 重 要 性 条件.2）推广：2an=anmanm 1 mnlkamanalak(反之不一定成立)；特别地,当n-1mn2p时,有aman2ap；特例：a1+an=a2+a-=a3+an-2=„。 2 下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，„组成的数列仍为等差数列，公差为md. 3 sn,s2nsn,s3ns2n 成等差数列。 4 5 d0an为递增数列 增d0an为常数列 减d0an为递减数列 性 dana1aman(mn) n1mn质 其 它 性 质

1 an=am+（n－m）d. 2 若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d. 3 an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数； 三、典型例题分析

题型1 等差数列的基本运算 例1 在等差数列{an}中， (1)已知a15＝10，a45＝90，求a60； (2)已知S12＝84，S20＝460，求S28； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82a1aa14d103151解：(1)方法一： ∴a60＝a1＋59d＝130． aa44d908451d3am方法2 dannma45a158，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝9045153＋15×8＝130． 3(2)不妨设Sn＝An

2

2A212A12B84＋Bn， ∴220A20B460B17

∴Sn＝2n2－17n ∴S28＝2×282－17×28＝1092

(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，

a6)6(a110)a6a16(a110)又S6＝6(a12∴15＝即a3 1＝－5 而d＝2261a8)∴a8＝a6＋2 d＝16 S8＝8(a1244

变式训练1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，

S15=75，Tn为数列{Sn}的前n项和，求Tn.

n解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+1n（n－1）d. ∵

2S7=7，S15=75，

7a121d7,a13d1,∴即 解得15a105d75,a7d5.11a1=－2，d=1.

Sn=a1+1（n－1）d=－2+1（n－1）=n5. n222SSS∴n1－n=1. ∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，n1n2n公差为1.

2∴Tn=1n2－9n.

44∴

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，

an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.

题型2 等差数列的判定与证明

例2 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36. 求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，

a1＋2d＝5

由a3＝5，S6＝36得

6a1＋15d＝36

，解得a1＝1，d＝2. ∴

an＝2n－1.

变式训练2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.设bn＝n－1，证明：

2数列{bn}是等差数列；

n

a2a＋2ann＋1nn

证明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝n＝＝n－1＋1＝bn＋1.

22n2

nan又b1＝a1＝1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1

+an+1（n≥2）.

题型3 等差数列的性质

例3 设等差数列an的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且

a11，a46，

S312，则a2010=_ _ _．答案：4020

变式训练3 在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.

13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8

∴S13＝＝＝＝52.

222

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

题型4 等差数列的前n项和及最值问题

例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由.

解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，

S13＜0，即12(a1a12)＞0，且13(a1a13)＜0，解之得－24＜d＜－3.

227（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.

变式训练4 （2010福建理数3）设等差数列an的前n项和为Sn,若

a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于( A )

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2， 所以Sn11n小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

小结与拓展：等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sndn2(a1d)n利用二次函数的性质求n的值.

22n(n1)2n212n(n6)236，所以当n6时，Sn取最2

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既

要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.

2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当

d=0时，{an}为常数列.

3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.