高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案

一、选择题

1．已知sinA．

10,5，sin()，均为锐角，则（ ） 510B．

5 12 3C．

 4D．

 6【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22cos,cos()的值，利用sinsin[()]，化简运算，即可求解.

，利用三角函数的基本关系式，分别求得

【详解】

由题意，可得α，β均为锐角，∴－又sin(α－β)＝－ <α－β<. 2210310. ，∴cos(α－β)＝1010又sin α＝

525，∴cos α＝， 55∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

531025×＝－5510【点睛】

102×.β. ＝∴＝1042本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sinsin[()]，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ABC的面积S25cosC，且

a1,b25，则c（ ）

A．15 【答案】B 【解析】

由题意得，三角形的面积S 所以cosCB．17

C．19 D．21 1absinC25cosC，所以tanC2， 25， 5 由余弦定理得c2a2b22abcosC17，所以c17，故选B.

3．函数fxcos2xx,2的图象与函数gxsinx的图象的交点横坐标的和为（ ） A．

5π 3B．2

C．

7 6D．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】

令sinxcos2x，有sinx12sin2x，所以sinx1或sinx所以x1.又x,2，235或x或x或x，所以函数fxcos2xx,2的图2266象与函数gxsinx的图象交点的横坐标的和s【点睛】

2352，故选B. 266本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数算的核心素养.

4．如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至

BC，在旋转的过程中，记ABPx(x[0,])，BP所经过的在正方形ABCD内的区

2域（阴影部分）的面积为yf(x)，则函数f(x)的图像是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件列yfx，再根据函数图象作判断. 【详解】 当x0,当x1yfx1tanx; 时，2411,时，yfx11; 422tanx根据正切函数图象可知选D. 【点睛】

本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.

5．已知函数f(x)sin(xa),x0的图像关于y轴对称，则ysinx的图像向左平移

cos(xb),x0 3（ ）个单位，可以得到ycos(xab)的图像（ ）. A．

 4B．C．

 2D．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件确定a,b关系，再化简ycosxab，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】

sinxa,x0fx因为函数的图像关于y轴对称，所以cosxb,x0sinacosb，sinacosb，即22sinbcosa，sinacosb，因此abπ2kπ(kZ)， 2从而ycosxabsinxsinx,选D. 【点睛】

本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.

acosx2,x0?6．已知函数f（x）＝2，gx2（a∈R），若对任意x1∈[1，＋

x2a,x0∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）

x－1

A．,1 2B．2, 3C．,137U1,21,U,2 D．224【答案】C 【解析】 【分析】

对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围. 【详解】

当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数gx的值域为[0,++∞），满足题意. 当a＜0时，y=x2a(x0)的值域为（2a,+∞）, y=acosx2x0的值域为[a+2,-a+2],

2因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a＜1，即a＜

21，即a＜0. 2当a＞0时，y=x2a(x0)的值域为（2a,+∞）,y=acosx2x0的值域为[-a+2,a+2], 当a≥

a212,1a2. -a+2≤2a,时，由题得3a22a211时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜. 3221或1≤a≤2， 2当0＜a＜

综合得a的范围为a＜故选C. 【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7．△ABC中，已知tanA=A．30° 【答案】D 【解析】 【分析】

11，tanB=，则∠C等于（ ）

23C．60°

D．135°

B．45°

利用三角形内角和为180o，可得：tanCtan(AB)tan(A+B)，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC中，

11tanAtanBtanCtan(AB)tan(A+B)=-321，

111tanAtanB132所以?C故选：D. 【点睛】

本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.

135o.

8．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（xA．

），则f（x）的最小值为（ ） 3C．

1 2B．

1 43 4D．

2 2【答案】A 【解析】 【分析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为fx1【详解】

已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x1cos2x，再求最值. 23）， 321cos2x=1cos2x322=1， 1cos2x3sin2x11cos2x， 22223因为cos2x1,1， 3所以f（x）的最小值为故选：A 【点睛】

1. 2本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于

中档题.

9．已知函数f(x)sin(x)某个周期的图象如图所示，A，B分别是f(x)图象的最高点与最低点，C是f(x)图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（ ）

A．

1 2B．

4 7C．25 5D．765 65【答案】B 【解析】 【分析】

过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，设C（a，0），可得CD3，2AD1,DEED11CD3，tanEAD，再利用，tanCAD2AD2AD2tanBACtan(CADEAD)计算即可.

【详解】

过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E， 由题可得周期为2，设C(a,0)，则B(a所以CD13,1)，A(a,1)， 2231，AD1,DE，

22tanCADED1CD3 ，tanEADAD2AD2所以tanBACtan(CADEAD)tanCADtanEAD

1tanCADtanEAD31422.

317122故选：B

【点睛】

本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数算能力，是一道中档题.

π110．已知cos，则cos2( )

25A．

7 25B．7 25C．

23 25D．23 25【答案】C 【解析】 【分析】

由已知根据三角函数的诱导公式，求得sinα，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由cos1123π1α，得sinα，又由cos2α12sin2α12． 2552525故选C． 【点睛】

本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

11．已知3sinA．2435cos，则tan（ ）

1477B．-5 33 5C．

3 5D．

5 3【答案】B 【解析】 【分析】

335tantantan，解得根据诱导公式计算得到，故147327答案.

【详解】

由诱导公式可知3sin又3sin24333sin33sin， 777243335cos得3sin5cos， 777731335tantan7，所以tan1425. 3tan737故选：B. 【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12．若函数ytan2x围为（ ） A．3, 【答案】A 【解析】 【分析】

计算3tan2x【详解】

kx，0,的图象都在x轴上方，则实数k的取值范36B．

3,

C．3,

D．3,0

0，tan2xk恒成立，得到答案.

33x0,3tan2x2x0∵，∴，∴0，

3336函数ytan2x即对任意的x0,∵tan2x故选：A. 【点睛】

本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.

k，x0,的图象都在x轴上方， 366，都有tan2xtan2xk0，即k，

333，∴k3，k3. 3

13．函数f(x)a2sinxacosx2cosx的图象关于直线x值为（ ）

π对称，则f(x)的最大4A．2或2 【答案】D 【解析】 【分析】

B．2 C．42 D．2或42 根据函数f(x)asinxacosx2cosx的图象关于直线xf()f(0)，解得a，得到函数再求最值. 22π对称，则有4【详解】

因为函数f(x)asinxacosx2cosx的图象关于直线x所以f()f(0)，

2即a2a20， 解得a2或a1，

当a2时，f(x)4sinx2cosx2cosx42sinx2π对称， 4，此时f(x)的最大值为442；

当a1时，f(x)sinxcosx2cosx综上f(x)的最大值为2或42. 故选：D 【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.

2sinx，此时f(x)的最大值为2；

4

14．在三角形ABC中，给出命题p:“abc2”，命题q:“CA．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】

由余弦定理将c2化为a2b22abcosC，整理后利用基本不等式求得12cosC2，求出C范围，即可判断充分性，取a4，b7，c6，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】

充分性：由余弦定理，c2a2b22abcosC， 所以abc2，即aba2b22abcosC，

3”，则p是q的（ ）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

a2b2整理得，12cosC，

aba2b22a2b2由基本不等式，2，

abab当且仅当ab时等号成立， 此时，12cosC2，即cosC充分性得证；

必要性：取a4，b7，c6，则cosC故C164936291，

2475621，解得C， 233，但ab28c2，故C3推不出abc2.

故必要性不成立； 故p是q的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.

15．函数fxcos2x0在区间零点，则的取值范围是（ ） A．,单调递减，在区间,0上有666, 62B．25, 36C．2, 23D．,ππ 32【答案】C 【解析】

分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当x[,]，2x[,]，

6633023又∵(0,)，则[,][0,]，即，，

33333由cos(2x)0得2xk∴2,kZ，xk， 2426420，解得

25， 6综上

22. 3故选C.

点睛：余弦函数的单调减区间：[2k,2k]，增区间：[2k,2k2]，零点：

xk

，对称轴：xk，对称中心：(k,0)，kZ.

2216．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A．sin 【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】

由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan＞0.故选C 【点睛】

本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．

B．cos

C．tan

D．cos2θ

17．如图，在等腰直角ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过E作AD的垂线，垂足为F，则AF（ ）

uuuv

v1uuuv3uuuA．ABAC

55v8uuuv4uuuABAC C．1515【答案】D 【解析】 【分析】

v1uuuv2uuuB．ABAC

55v4uuuv8uuuABAC D．1515设出等腰直角三角形ABC的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得

uuur4uuurcosDAE，由此得到AFAD，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将

5uuur4uuuruuuruuurAFAD表示为以AB,AC为基底来表示的形式.

5【详解】

设BC6，则ABAC32,BDDEEC2，

ADAEBD2BA22BDBAcos101044π， 10，cosDAE21054uuur4uuurAFAF4，所以AFAD. 所以

ADAE55uuuruuur1uuuruuur1uuuruuurr1uuur2uuuACABABAC， 因为ADABBCAB3333uuur42uuur1uuur8uuur4uuurABAC. 所以AFABAC5331515故选：D 【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.

18．某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30o方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（ ） A．152km 【答案】D 【解析】 【分析】

如图所示，设灯塔位于A处，船开始的位置为B，船行45km后处于C，根据题意求出

B．30km

C．15km

D．153km

BAC与BAC的大小，在三角形ABC中，利用正弦定理算出AC的长，可得该时刻船

与灯塔的距离． 【详解】

设灯塔位于A处，船开始的位置为B，船行45km后处于C，如图所示，

可得DBC60，ABD30，BC45

ABC30，BAC120

在三角形ABC中，利用正弦定理可得：

ACBC，

sinABCsinBACBCsinABC451AC153km可得 sinBAC322故选D 【点睛】

本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．

19．在函数：①ycos|2x|；②y|cosx|；③ycos2x④ytan2xA．①②③ 【答案】A 【解析】

逐一考查所给的函数：

；6中，最小正周期为的所有函数为（ ） 4B．①③④

C．②④

D．①③

ycos2xcos2x ，该函数为偶函数，周期T2 ； 2将函数ycosx 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到ycosx 的图象，该函数的周期为

12 ； 22ycos2x函数的最小正周期为T2 ； 6函数ytan2x4的最小正周期为T22 ；

综上可得最小正周期为的所有函数为①②③. 本题选择A选项.

点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．

20．函数f(x)4sinx(0)的最小正周期是3，则其图象向左平移6个单位3长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A．x

4

B．x

3

C．x5 6D．x19 12【答案】D 【解析】 【分析】

由三角函数的周期可得2，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为342y4sinx，再求其对称轴方程即可. 39【详解】

解：函数f(x)4sinx(0)的最小正周期是3，则函数32f(x)4sinx，经过平移后得到函数解析式为

33242y4sinx4sinx63933得x24xk(kZ)， ，由392319k(kZ)，当k1时，x. 21212故选D. 【点睛】

本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.