大庆一中2018-2019学年高二年级下学期第一次阶段考试
数学试卷
一、 选择题：(每小题5分满分60分)
1. 命题“若a＞b，则a＞b”的逆否命题是 ( )
A. 若C. 若
，则，则
B. 若D. 若
，则，则
2
2
2. “m=-1”是“直线l1：mx+（2m-1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如右图所示的程序框图，若输出的S=2，则判断框内可以填入（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “若B. “若C. D.
，则，则，
为等比数列，则“
”的否命题是“若”是真命题 成立
”是“
”的既不充分也不必要条件 ，则
”
5. 某校高二某班共有学生60人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本，已知3号，15号，45号，53号同学在样本中，那么样本中还有一个同学座号不能是（ ） A. 26 6. 在长方体弦值为（ ） A.
B.
C.
D.
，且变量，之间的一组相关数据如下
B. 31
中，
C. 36 ，
D. 37
，则异面直线
与
所成角的余
7. 已知变量，之间的线性回归方程为表所示，则下列说法错误的是（ ）
6 6 8 10 3 时，
12 2 A. 变量x，y之间呈现负相关关系 B. 可以预测，当C.
D. 由表格数据知，该回归直线必过点
- 1 -
8.设不等式组标满足不等式A.
，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P(x,y)，则P点的坐的概率为 ( ) B.
C.
D.
9. 正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底边长为，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于（ ） A. 10．P为双曲线
B.
C.
D.
，直线
右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且
PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（ ）
A. 2
2
B. 3 C. D.
11. 己知抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB，CD与抛物线分别相交于A，B以及C，D若A. 32 12. 已知椭圆
B. 30
，与双曲线
，则四边形ACBD的面积的最小值为（ ） C. 18
D. 36
具有相同焦点、，且在
第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若是 A.
B.
C.
D.
，则的最小值
二．填空题：（每小题5分满分20分）
13.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上点数之和小于10的概率是_____________．
14.已知样本7，5，，3，4的平均数是5，则此样本的方差为
15.已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则
= ______ ．
2
- 2 -
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．下列结论中，正确结论的序号是____________．
①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B1D1∥平面EFG； ③BD1⊥平面ACB1；
④异面直线EF与BD1所成角的正切值为； ⑤四面体ACB1D1的体积等于
三、解答题：（满分70分）
17.（满分10分）命题p：函数足（1）当
且
为真，求实数x的取值范围；
有意义，命题q：实数x满
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.（满分12分）为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人回答有关问题，统计结果如下图表．
回答 回答正确 组号 分组 正确 的人数占本 的人数 组的频率 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 [15，25） a [25，35） 18 [35，45） b [45，55） 9 [55，65] 3 0.5 x 0.9 0.36 y - 3 -
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽
取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
19.（满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，
平面ABCD，
平面
ABCD，
求证：平面若
，点M为棱AE的中点．
平面EFC；
，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值．
20.（满分12分）抛物线Q：
若
，焦点为F．
的最小值；
是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求
，
过F的两条直线，分别与抛物线交于A、B和C、D四个点，记M、N ，证明：直线MN过定点，并求出这个定点坐标．
分别是线段AB、CD的中点，若
21.（满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠BAC=∠PAD=∠PCD=90°． （1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若AB=AC=PA=3，E为BC的中点，F为棱PB上的点，PD∥平面
AEF，求二面角A-DF-E的余弦值
- 4 -
22.（满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点
为顶点的四边形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．
- 5 -
大庆一中高二年级下学期第一次阶段考试
数学答案
一、选择题： CACB DACA DBAD 二、填空题： 13. 14.2 15.三、解答题：
17.解：（1）由-x+4ax-3a＞0得x-4ax+3a＜0，即（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0， 得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0． 若a=1，则p：1＜x＜3，由
解得2＜x＜3．即q：2＜x＜3．
，解得2＜x＜3，
2
2
2
2
16. ①③④
若p∧q为真，则p，q同时为真，即∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件， ∴即（2，3）是（a，3a）的真子集． 所以
，解得1≤a≤2．实数a的取值范围为[1，2]．
18.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为再结合频率分布直方图可知n=
，
，
∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：组：
人；第4组：
人
…
人；第3
设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，
B3），（A1，C1），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），
- 6 -
（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．
19.
证明：连结AC，交BD于点N， 为AC的中点，
． 平面EFC，平面EFC，
平面EFC．
，DE都垂直底面ABCD，
． ，
为平行四边形， 平面EFC，
平面EFC， 平面EFC． 又， 平面
平面EFC．
解：由已知，
平面ABCD，
是正方形．
两两垂直，如图，建立空间直角坐标系
． 设
，则
，从而
，
，
设平面
的一个法向量为
，
由得．
令，则
，从而．
，
设与平面所成的角为，则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为
．
20.解：
由抛物线定义知，
等于P到准线
的距离，
的最小值即为点E到准线
的距离，等于4．
- 7 -
证明：由，得：，解得，代入，得同理
，
，
，
：， 变形得：，
因为
，所以进一步化简得
，
所以MN恒过定点
．
21.解：（1）证明：∵AB∥CD，PC⊥CD，∴AB⊥PC， ∵AB⊥AC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥PA，又∵PA⊥AD，AB∩AD=A， ∴PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）连接BD交AE于点O，连接OF， ∵E为BC的中点，BC∥AD，∴
=
=，
∵PD∥平面AEF，PD⊂平面PBD， 平面AEF∩平面PBD=OF， ∴PD∥OF，∴
=
=，
以AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），D（-3，3，0），
P（0，0，3），E（，，0），F（2，0，1），
设平面ADF的法向量m=（x1，y1，z1）， ∵=（2，0，1），=（-3，3，0）， 由•m=0，•m=0得
取m=（1，1，-2）．
设平面DEF的法向量n=（x2，y2，z2），
，
- 8 -
∵=（，-，0），=（，-，1），
由•n=0，•n=0得取n=（1，3，4）．
cos⟨m，n＞==-，
．
∵二面角A-DF-E为钝二面角，∴二面角A-DF-E的余弦值为-
22.解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，则有a=2c，
，则有2ab=4，
以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1， 故椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．
将直线AM的方程y=（x+2）代入椭圆方程+=1，得 （27+t）x+4tx+4t-108=0， 由xA•xP=
，xA=-2得xP=-，则yP=
．
2
2
2
2
再将直线BM的方程y=（x-2）代入椭圆方程+=1得 （3+t）x-4tx+4t-12=0， 由xB•xQ=
，xB=2得xQ=
，则yQ=
．
2
2
2
2
故四边形APBQ的面积为S=|AB||yP-yQ|=2|yP-yQ|=2（+）
===．
由于λ=≥6，且λ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，
从而，有S=≤6．当且仅当λ=6，即t=3，也就是点M的坐标为（4，3）时，四边形APBQ - 9 -
的面积取最大值6．
- 10 -
