求解电场强度13种方法(附例题)

求解电场强度方法分类赏析之南宫帮珍创作

创作时间：二零二一年六月三十日 一．必会的基本方法： 1．运用电场强度界说式求解

例1.质量为m、电荷量为q的质点, 在静电力作用下以恒定速率v沿圆弧从A点运动到B点,, 其速度方向改变的角度为θ（弧度）, AB弧长为s, 求AB弧中点的场强E.

【解析】:质点在静电力作用下做匀速圆周运动, 则其所需的向心力由位于圆心处的点电荷发生电场力提供.由牛顿第二定律可得电场力F=Fv2向=mr.由几何关系有

Fqsr = , 所以

v2F= ms, 根据

电场强度的界说有 E = 电荷的电性来决定.

mv2=qs.方向沿半径方向, 指向由场源

2．运用电场强度与电场差关系和等分法求解

例2（2012安徽卷）．如图1-1所示, 在平面直角坐标系中, 有方向平行于坐标平面的匀强电场, 其中坐标原点O处的电势为0V, 点A处的电势为6V, 点B处的电势为3V, 则电场强度的年夜小为A

A．200V/mB．2003V/m C．100V/mD．1003V/m

（1）在匀强电场中两点间的电势差U = Ed, d为两点沿电场强度方向的距离.在一些非强电场中可以通过取微元或等效的方法

创作时间：二零二一年六月三十日

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来进行求解.

（2若已知匀强电场三点电势, 则利用“等分法”找出等势点, 画出等势面, 确定电场线, 再由匀强电场的年夜小与电势差的关系求解.

3．运用“电场叠加原理”求解

例3(2010海南).如右图2, M、N和P是以MN为直径的半圈弧上的三点, O

O M N MOP60点为半圆弧的圆心, ．电荷量相等、符60° 号相反的两个点电荷分别置于M、N两点, 这时O点电场强度的年P 夜小为E1；若将N点处的点电荷移至P

则O点的场场强年夜小酿成E2, E1与E2之比为B

A．1:2B．2:1C．2:3D．4:3 二．必备的特殊方法：

4．运用平衡转化法求解

例4．一金属球原来不带电, 现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN, 如图3所示.金属球上感应电荷发生的电场在球内直径上a、b、c三点的场强年夜小分别为Ea、Eb、Ec, 三者相比（ ）

A．Ea最年夜 B．Eb最年夜 C．Ec最年夜 D．Ea= Eb= Ec

图3

图2

【解析】:导体处于静电平衡时, 其内部的电场强度处处为零, 故在球内任意点, 感应电荷所发生的电场强度应与带电细杆MN在

创作时间：二零二一年六月三十日

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该点发生的电场强度年夜小相等, 方向相反.均匀带电细杆MN可看成是由无数点电荷组成的.a、b、c三点中, c点到各个点电荷的距离最近, 即细杆在c点发生的场强最年夜, 因此, 球上感应电荷发生电场的场强c点最年夜.故正确选项为C.

点评：求解感应电荷发生的电场在导体内部的场强, 转化为求解场电荷在导体内部的场强问题, 即E感= -E外（负号暗示方向相反）.

5．运用“对称法”（又称“镜像法”）求解

例5．（2013新课标I）如图4, 一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷, 在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、 b、d三个点, a和b、b和c、 c和d间的距离均为R, 在a点处有一电荷量为q (q>O)的固定点电荷.已知b点处的场强为零, 则d点处场强的年夜小为(k为静电力常量) A.kB. k C. kD. k

【解析】:点电荷+q在b点场强为E1、薄板在b点场强为E2, b点场强为零是E1与E2叠加引起的, 且两者在此处发生的电场强度年夜小相等, 方向相反, 年夜小E1 = E2 =

kqR2图4

.

根据对称性可知, 均匀薄板在d地方形成的电场强度年夜小也为E2, 方向水平向左；点电荷在d点场强E3平向左.根据叠加原理可知, dkq2

(3R) =

, 方向水

10kq2点场 Ed= E2 + E3 = 9R.

创作时间：二零二一年六月三十日

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点评：对称法是利用带电体电荷分布具有对称性, 或带电体发生的电场具有对称性的特点来求合电场强度的方法.通常有中心对称、轴对称等.

例7 如图6所示, 在一个接地均匀导体球的右侧P点距球心的距离为d, 球半径为R..在P点放置一个电荷量为 +q的

图6

点电荷.试求导体球感应电荷在P点的电场强度年夜小.

析与解：如图6所示, 感应电荷在球上分布不均匀, 靠近P一侧较密, 关于OP对称, 因此感应电荷的等效分布点在OP连线上一点P′.设P′ 距离O为r, 导体球接地, 故球心O处电势为零.根据电势叠加原理可知, 导体概况感应电荷总电荷量Q在O点引起的电势与点电荷q在O即感应电荷量Q =



kq点引导起的电势之和为零, 即dkQ+R= 0,

Rq

d.同理, Q与q在球面上任意点引起的电势

kqkQ叠加之后也为零, 即

R22Rrcosr2=

R22Rdcosd2, 其中

α为球面上任意一点与O连线和OP的夹角, 具有任意性.将Q代

入上式并进行数学变换后得 dr–R = (2Rrd– 2Rd)cosα, 由于对任意α角, 该式都成立, 因此, rR2满足的关系是r = d.

22

4

2

3

根据库仑定律可知感应电荷与电荷q间的相互作用力F =

kqQ(dr)2kdRq2222(dR)=

.根据电场强度界说可知感应电荷在P点所发生

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FE = q的电场强度

kdRq222(dR)=

.

6．运用“等效法”求解

例6．（2013安徽卷）.如图5所示, xOy平面是无穷年夜导体的概况, 该导体布满z0的空间, z0的空间为真空.将电荷为q的点电荷置于z轴上z=h处, 则在xOy平面上会发生感应电荷.空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体概况上的感应电荷共同激发的.已知静电平衡时导体内部场强处处为零, 则在z轴上

zh2处的场强年夜小为（k为静电力常量） A.

k4q4q

k

h2 B.9h2

C.

k32q9h2D.

k40q9h2

【解析】:求金属板和点电荷发生的合场强, 显然用现在的公式直接求解比力困难.能否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？固然可以.由于xOy平面是无穷年夜导体的概况, 电势为0, 而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为0, 因而可以联想成图6中所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场.根据电场叠加原理, 容易求得

Ekqh2()2zh2点的场强,

kq40qk23h9h()22, 故选项D正确.

点评：（1）等效法的实质在效果相同的情况下, 利用问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的解决问题方法, 往往是用较简单的因素取代较复杂的因素.

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zh2k4qh2k4qh2（2）处发生的场强就是, 而合场强一定年夜于,

符合的选项只有D正确.

例6如图5（a）所示, 距无限年夜金属板正前方l处, 有正点电荷q, 金属板接地.求距金属板d处a点的场强E（点电荷q与a连线垂直于金属板）.

图5

图6

l

- q

a

+q d （a

图5

（b

+q

析与解：a点场强E是点电荷q与带电金属板发生的场强的矢量和.画出点电荷与平行金属板间的电场线并分析其的疏密水平及弯曲特征,

a

会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分布相似, 金属板位于连线中垂线上, 其电势为零, 设想金属板左侧与 +q对称处放点电荷 -q, 其效果与+q及金属板间的电场效果相同.因此, 在+q左侧对称地用 –q等效替代金属板, 如图5（b）所示.所以,

a点电场强度Ea

1122(ld)(ld) = kq[

].

7运用“微元法”求解

例7．（2006•甘肃）.ab是长为l的均匀带电细杆, P1、P2是位于ab所在直线上的两点, 位置如图7所示．ab上电荷发生的静电场在P1处的场强年夜小为E1, 在P2处的场强年夜小为E2．则以下说法正确的是（ ）

A 两处的电场方向相同, E1＞E2 B 两处的电场方向相反, E1＞E2 C 两处的电场方向相同, E1＜E2D 两处的电场方向相反, E1＜

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E2． ．

图7

【解析】: 将均匀带电细杆等分为很多段, 每段可看作点电荷, 由于细杆均匀带电, 我们取a关于P1的对称点a′, 则a与a′关于P1点的电场互相抵消, 整个杆对P1点的电场, 仅仅相对a′b部份对P1的发生电场．而对P2, 却是整个杆都对其有作用, 所以, P2点的场强年夜．设细杆带正电,根据场的叠加, 这些点电荷在P1的合场强方向向左, 在P2的合场强方向向右, 且E1＜E2．故选D．点评：（1）因为只学过点电荷的电场或者匀强电场, 而对杆发生的电场却没有学过, 因而需要将杆看成是由若干个点构成, 再进行矢量合成．

（2）微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元, 或从研究对象上选取某一“微元”加以分析, 找出每一个微元的性质与规律, 然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律.严格的说, 微分法是利用微积分的思想处置物理问题的一种思想方法

例8 如图7（a）所示, 一个半径为R的均匀带电细圆环, 总量为

（a）

图7

Q.求圆环在其轴线上与环心O距离

为r处的P发生的场强.

（b）

析与解：圆环上的每一部份电荷在P点都发生电场, 整个圆环在P所建立电场的场强即是各部份电荷所发生场强的叠加.如图7

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Q（b）在圆环上取微元Δl, 其所带电荷量Δq = 2RΔl, 在

P点

发生的场强：

kq22ΔE = rRkQl222R(rR) =

整个圆环在P点发生的电场强度为所有微元发生的场强矢量和.根据对称性原理可, 所有微元在P点发生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消, 所以整个圆环在P点发生场中各微元发生的场强沿轴线方向分量之和, 即

kQlr2R(r2R2)r2R2EP = ΣΔEcosθ= Σ

kQr223(rR) =

8．运用“割补法”求解

例8.如图8所示, 用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧, 但在A、B之间留有宽度为d的间隙, 且d远远小于r, 将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上, 求圆心处的电场强度.

【解析】:假设将这个圆环缺口补上, 而且已补缺部份的电荷图8 密度

r

与原有缺口的环体上的电荷密度一样, 这样就形成一个电荷均匀 分布的完整带电环, 环上处于同一直径两真个微小部份所带电荷 可视为两个相应点的点电荷, 它们在圆心O处发生的电场叠加后合场强为零.

根据对称性可知, 带电小段, 由题给条件可视为点电荷, 它在圆心O处的场强E1,

是可求的.若题中待求场强为E2, 则E1+ E2＝0.

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设原缺口环所带电荷的线密度为ρ,＝Q/(2r-d), 则补上的那一小段金属丝带电量Q＇＝d, 在0处的场强E1＝K Q＇/r,由

2

E1+ E2＝0可得：E2＝- E1, 负号暗示E2与E1反向, 背向圆心向左.

例9 如图8（a）所示, 将概况均匀带正电的半球, 沿线分成两部份, 然后将这两部份移开很远的距离, 设分开后的球概况仍均匀带电.试比力A′点与 A″点电场强度的年夜小.

析与解：如图8（b）所示, 球冠上正电荷在A′点发生的电场强度为E1、球层面上正电荷在A″点发生电场强度为E2.球冠与球层两部份不规则带电体发生的电场强度, 无法用所学公式直接进行计算或比力.于是, 需要通过赔偿缔造出一个可以运用已知规律

（a）

进行比力的条件.

（b）

图8

（c）

在球层概况附着一个与原来完全相同的带正电半球体, 如图8（c）所示, 显然由叠加原理可知, 在A″点发生电场强度E3 > E2.若将球冠与赔偿后的球缺组成一个完整球体, 则则均匀带电球体内电场强度处处为零可知, E1与E3年夜小相等, 方向相反.由此可以判断, 球冠面电荷在A′点发生的电场强度为E1年夜于球层面电荷在A″点发生电场强度E2. 9运用“极值法”求解

例9．如图9所示, 两带电量增色为+Q的点电荷相距2L, MN是两电荷连线的中垂线, 求MN上场强的最年夜值.

【解析】:用极限分析法可知, 两电荷间的中点O处的场强为零, 在中垂线MN处的无穷远处电场也为零, 所以MN上必有场强

创作时间：二零二一年六月三十日

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的最年夜值.最惯例方法找出所求量的函数表达式, 再求极值. 点评：物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类.物理型主要依据物理概念、定理、定律求解.数学型则是在根据物理规律列方程后, 依靠数学中求极值的知识求解.本题属于数学型极值法, 对数学能力要求较高, 求极值时要巧妙采纳数学方法才华解得. 10运用“极限法”求解

例10（2012安徽卷）．如图11-1所示, 半径为R的均匀带电圆形平板, 单元面积带电量为, 其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：

E2k[1x](R2x2)1/2, 方向沿

x轴.现考虑单元面积带电量为0的

无限年夜均匀带电平板, 从其中间挖去一半径为r圆板, 在Q处形成的场强为E2k0.的圆版, 如图11-2所示.则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为

A．C．

2k0x(r2x2)1/2B.

2k0r(r2x2)1/2

2k0xr2k0rD．x

【解析1】:由题中信息可得单元面积带电量为0无限年夜均匀带

电平板, 可看成是R→∞的圆板, 在Q处形成的场强为E2k0.

图11-1

图11-2

而挖去的半径为r的圆板在Q点形成的场强为

E2k0[1x]221/2(rx), 则带电圆板剩余部份在

Q点形成的场强为

创作时间：二零二一年六月三十日

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EE2k0x(r2x2)1/2.正确选项：A

【解析2】:R→∞的圆板, 在Q处形成的场强为E2k0.当挖去圆板r→0时, 坐标x处的场强应为E2k0, 将r=0代入选项, 只有A符合.

点评：极限思维法是一种科学的思维方法, 在物理学研究中有广泛的应用.我们可以将该物理量或它的变动过程和现象外推到该区域内的极限情况(或极端值), 使物理问题的实质迅速流露出来, 再根据己知的经验事实很快得出规律性的认识或正确的判断. “图像法”求解

例11(2011北京理综).静电场方向平行于x轴, 其电势φ随x的分布可简化为如图12所示的折线, 图中φ0和d为已知量.一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心, 沿x轴方向做周期性运动.已知该粒子质量为m、电量为-q, 其动能与电势能之和为－A（0E电场强度的年夜小

0d

q0d

电场力的年夜小

FqE点评：物理图线的斜率,其年夜小为k=纵轴量的变动量/横轴量的变动量.但对分歧的具体问题,k的物理意义其实不相同.描述电荷在电场中受到的电场力F与电量q关系的F-q图像的斜率暗

创作时间：二零二一年六月三十日

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示电场强度, 同样, 电势对电场方向位移图像的斜率也暗示场强.

12．运用“类比法”求解 例10 如图9（a）所示, ab是半径为 r 的圆的一条直径, 该圆处于匀强电场中, 电场强度为E.在圆周平面内, 将一电荷量为 q

（a）

（b）

图8

的带正电小球从 a 点以相同的动

能抛出, 抛出方向分歧时, 小球会经过圆周上分歧的点.在这些点中, 达到 c点时小球的动能最年夜.已知 ∠cab = 30°.若不计重力和空气阻力, 试求：

⑴电场的方向与弦ab间的夹角.

⑵若小球在 a点时初速度方向与电场方向垂直, 则小球恰好落在 c点时的动能为多年夜.

析与解：⑴ 求解电场强度方向问题看起来简单但有时是比力复杂而困难的.本题中, 在匀强电场中, 仅电场力做功, 不计重力, 则电势能与动能之和坚持不变.在两个等势面间电势差最年夜, 则动能变动量最年夜.因此, 小球达到 c点时小球的动能最年夜, 则ac间电势最年夜.根据重力场类比, 可知c点为其最低点, 电场方向与等势面垂直, 由“重力”竖直向下可以类比, 出电场方向沿oc方向, 与弦ac夹角为30°.

⑵ 若小球在a点初速度方向与电场方向垂直, 则小球将做类平抛运动, 由图9（b）可知, ad = rcos30°=

创作时间：二零二一年六月三十日

32r、cd = r(1 +

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3sin30°) = 2adtr.小球在初速度方向上做匀速运动, 其初速度v0 =

qEa = m1, cd = 2.在电场方向上做匀加速运动, 加速度从a到

at2.

1c, 由动能定理有 qE·cd = Ek–213Ek = 8qEr.

mv02, 联立上述方

程解得小球落到c点动能为

13．综合运用力学规律求解

例13.在水平方向的匀强电场中, 有一带电微粒质量为m, 电量为q, 从A点以初速v0竖直向上射入电场, 达到最高点B时的速度年夜小为2v0, 如图13所示.不计空气阻力.试求该电场的场强E.

【解析】:带电微粒能达到最高点, 隐含微粒的重力不能忽略的条件.因此, 微粒在运动过程中受到竖直向下的重力mg和水平向右的电场力qE.微粒在水平方向上做匀加速直线运动, 在竖直方向上做

竖直上抛运动.达到最高点B点时, 竖直分速度vy = 0, 设所用的时间为t, 运用动量定理的分量式：水平方向上qEt = m(2v0) – 0、

竖直方向上 mgt = 0 – (–mv0), 解得:E =2mg/q.

点评：带电粒子或带电体在复合电场中的运动时, 受到电场力与其他力的作用而运动, 运动过程复杂, 因此解题过程中要综合

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图13

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分析物体的受力状况与初始条件, 然后选择相应的物理规律进行求解.

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