恒成立问题的求解策略
下面先介绍两个重要结论：
（1）在区间［m，n］上f(x)>0恒成立在［m，n］上，在区间［m，n］
上f(x)<0恒成立
在［m，n］上
（2）恒成立
现举例说明恒成立问题的求解策略。
一、直接利用结论
例1 设x>0，y>0，则恒成立的a的最小值是（A. B. C. 2 D.
解：恒成立，只要即可。
因为
即，所以，选（B）。
）
二、正难则反
例2 关于x不等式的解集为，求a的范围。
解：解集为恒成立。
所以
设
所以
所以
，所以
。
三、反客为主，转化为一次函数
例3 设不等式对满足的一切m都成立，求x的取值范围。
解：将x的不等式整理成关于m的不等式
把m看成主元，构造函数
上述函数图像表示的是一条线段，从而要
即
解得
四、判别式法
二次函数，恒成立
二次函数恒成立
例4 不等式，对恒成立，求的取值范围。
解：当时，命题成立。
当时，要使
图像在x轴上方。
对恒成立，只须抛物线
所以
即
解得
所以m的取值范围是
五、图像法
例5 ［－1，1］时，不等式恒成立，求a的取值范围。
解：构造函数转化为：
，，时，不等式
与
恒成立等价
相切
。
时，f(x)图像恒在g(x)图像的下方，当直线
，得
时，由点到直线的距离公式，所以a取值范围是
六、分离参数求最值
例6 设，当时，恒成立，求m的取值范围。
解：即恒成立，即成立
即，故只须求出在［－1，2］上最大值即可。
，x=1。
，，，。
所以，所以m的取值范围是m>7。
七、利用函数的单调性
例7 设，当时，f(x)有意义，求a的取值范围。
解：，此不等式在上恒成立。
令，可判断u(x)在（，）上单调递增。
因为，所以
要使a>u(x)恒成立，则，所以a的取值范围是。
