2005年北京中考数学试题及答案

2005年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

第I卷（机读卷 共44分）

一. 选择题（共11个小题，每小题4分，共44分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1. 2的相反数是（ ） A. 12 B.

12 C. 2 D. 2

2. 下列运算中，正确的是（ ） A. 42

B. 236

C. (ab)2ab2 D. 3a2a5a2

3. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）

32 A. 24 B. 12 C. D. 18

4. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 菱形

C. 矩形 D. 等边三角形

5. 据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市。预计今年年底，北京市污水处

理能力可以达到每日1684000吨。将1684000吨用科学记数法表示为（ ）

A. 1.684106吨

B. 1.684105吨

C. 0.1684107吨

D. 16.84105吨

6. 如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ）

A. 2

x2 B. 3 C. 4 D. 6

2x21x6y，那么原方程可化为（ ） 7. 用换元法解方程210时，如果设22x1xx1A. y6y10 B. y6y10 C. y26y10 D. y6y210

8. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B。如果OP＝4，PA23，那么∠AOB等于（ ）

A. 90°

B. 100°

1

C. 110° D. 120°

9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的

是（ ）

A. ∠AEF＝∠DEC

B. FA:CD＝AE:BC

C. FA:AB＝FE:EC

D. AB＝DC

10. 李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期。收获时，从中任选并采摘了10棵树

的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：

序号 质量（千克） 1 14 2 21 3 27 4 17 5 18 6 20 7 19 8 23 9 19 10 22 据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元。用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按

批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ） A. 200千克，3000元 B. 1900千克，28500元 C. 2000千克，30000元

D. 1850千克，27750元

11. 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的

变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）

第II卷（非机读卷 共76分）

二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 12. 在函数y1x2中，自变量x的取值范围是____________。

x21 13. 不等式组的解集是____________。

2x10 14. 如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为_______________________。

15. 如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是____________。 16. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD三. （共3个小题，共15分）

17. （本小题满分4分） 分解因式：m2n22m2n

2BD·DC，则∠BCA的度数为____________。

2

18. （本小题满分5分） 计算：27

123cos30

0 19. （本小题满分6分） 用配方法解方程x24x10

四. （本题满分5分） 20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，

且BE＝2EA，CF＝2FD。 求证：∠BEC＝∠CFB

五. （本题满分6分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D

的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。

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六. （本题满分6分） 22. 列方程或方程组解应用题：

夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？

七. （本题满分7分） 23. 已知：关于x的方程a2x22axa0有两个不相等的实数根x1和x2，并且

2抛物线yx2a1x2a5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。

（1）求实数a的取值范围；

（2）当x1x222时，求a的值。

4

八. （本题满分8分） 24. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB

的延长线交⊙O于点E（如图1）。

在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些

线段总保持着相等的关系。

（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等； （2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。 ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值； ②若

CFCDn(n0)，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。

（1）连结__________________ 求证：_________＝CE 证明： （2）解：①

②sin∠CAB_____________（n0）

5

九. （本题满分9分） 25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A，

抛物线yax2bxc经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻

折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使

得∠POA （1）解：

（2）解：

（3）解答：

43∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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2005年参

第I卷（机读卷 共44分）

一. 选择题（共11个小题，每小题4分，共44分） 1. C

11. A

第II卷（非机读卷 共76分）

二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 12. x2 115°

三. （共3个小题，共15分） 17. （本小题满分4分） 分解因式：mn 解：mn m22222. A 3. B 4. D 5. A 6. B 7. C8. D 9. B 10.

13. 12x3 14. y2x 15. 5 16. 65°或

2m2n

2m2n

22n2m2n„„„„„„1分

mnmn2mn„„„„„„3分 mnmn2„„„„„„4分

18. （本小题满分5分） 计算：

27123cos30

0 解：

27123cos30

0 332332321„„„„„„3分

332 231„„„„„„4分

31„„„„„„5分

2 19. （本小题满分6分） 用配方法解方程x 解：移项，得：x 配方，得：x x2224x10

24x1„„„„„„1分

224x212„„„„„„2分

3„„„„„„4分

解这个方程，得：x2 即x123

3„„„„„„6分

3，x22四. （本题满分5分） 20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD。

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求证：∠BEC＝∠CFB

证明：在梯形ABCD中， ∵AD∥BC，AB＝DC

∴∠ABC＝∠DCB„„„„„„1分 ∵BE＝2EA，CF＝2FD BE23AB，CF23DC

∴BE＝CF„„„„„„2分 在△EBC和△FCB中，

BECF ∠EBC∠FCB„„„„„„3分

BCCB ∴△EBC≌△FCB„„„„„„4分 ∴∠BEC＝∠CFB„„„„„„5分

五. （本题满分6分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。

解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B 在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45° ∴AC＝2AB，DB＝AB„„„„„„2分

设ABx，则BDx，AC2x，CB50x tan∠ACBABCB„„„„„„3分

ABCB·tan∠ACBCB·tan30

x3350x„„„„„„4分

解得：x2513„„„„„„5分

8

AC5013（米）„„„„„„6分

 答：缆绳AC的长为5013米。

六. （本题满分6分） 22. 列方程或方程组解应用题：

夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？ 解法一：设只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度

„„„„„„1分

xy27 依题意，得：„„„„„„3分

x1.1y405 解得：x207y180„„„„„„5分

答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。

„„„„„„6分

解法二：设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电x度„„„„„„1分 则甲种空调每天节电x27度„„„„„„2分 依题意，得：11.xx27405„„„„„„3分 解得：x180„„„„„„4分 x27207„„„„„„5分

答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。

„„„„„„6分

七. （本题满分7分） 23. 已知：关于x的方程a2x2axa0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线

2yx22a1x2a5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。

（1）求实数a的取值范围； （2）当x1x222时，求a的值。

2 （1）解法一：∵关于x的方程a2x2axa0有两个不相等的实数根

a20  2(2a)4a(a2)0 解得：a0，且a2 设抛物线yx21„„„„„„1分

2a1x2a5与x轴的两个交点的坐标分别为，0、，0，且

2 ∴α、β是关于x的方程x '2a12a1x2a50的两个不相等的实数根

22412a52a1200

9

∴a为任意实数 <2>

由根与系数关系得：2a1，2a5 ∵抛物线yx22a1x2a5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁

2，2

2202402a522a140

解得：a323„„„„„„2分

3a0„„„„„„3分

由<1>、<2>、<3>得 a的取值范围是2 解法二：同解法一，得：a0，且a2 ∵抛物线yx21„„„„„„1分

2a1x2a5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的开口向上

∴当x2时，y0

422a12a50 解得：a322„„„„„„2分

32a0„„„„„„3分

2 由<1>、<2>得 a的取值范围是 （2）解：∵x1和x2是关于x的方程a2x2axa0的两个不相等的实数根

x1x2 2aa2，x1x2aa2

32a0a20 x1x2aa20„„„„„„4分

不妨设x10，x20 x1x2x1x22222„„„„„„5分

2 x12x1x2x28，即x1x24x1x28

2a a224aa28

解这个方程，得：a14，a21„„„„„„6分

10

2a 经检验，a14，a21都是方程a2 a424aa28的根

32，舍去

a1为所求„„„„„„7分

八. （本题满分8分） 24. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。

在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。

（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等； （2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。 ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值； ②若

CFCDn(n0)，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。

（1）连结AE

求证：AE＝CE„„„„„„1分 证法一：如图3，连结OD

∵∠ABC＝90°，CB的延长线交⊙O于点E ∴∠ABE＝90° ∴AE是⊙O的直径

∵D是AC的中点，O是AE的中点

OD

1212CE

ODAE ∴AE＝CE„„„„„„3分 证法二：如图4，连结BD

11

在Rt△ABC中，∠ABC＝90° ∵D是AC的中点 ∴AD＝CD＝BD ∴∠1＝∠2

∵四边形AEBD内接于⊙O ∴∠1＝∠DAE ∴∠2＝∠DAE

∴AE＝CE„„„„„„3分 证法三：如图5，连结DE

同证法一，得AE是⊙O的直径 ∴∠ADE＝90° ∵D是AC的中点

∴DE是线段AC的垂直平分线 ∴AE＝CE„„„„„„3分

（2）①解法一：根据题意画出图形，如图6，连结DE。

∵EF是⊙O的切线 ∴∠3＝∠4，且EF2FD·FA

∠2∠AFE∠3，∠DAE∠4∠5，∠2∠DAE∠AFE∠5

设ADk(k0)，则CFCDk

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EF2FD·FA2k·3k6k6k2

EF ∵AE是⊙O的直径 ∴∠AEF＝90°

在Rt△AEF中，cos∠AFEEFAF6k3k63

cos∠CAB6333

sin∠CAB„„„„„„6分

解法二：根据题意画出图形，如图7，连结DE。

∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线 ∴∠ADE＝∠AEF＝90° ∴Rt△ADE∽Rt△EDF ADDEDEDF

设ADk(k0)，则DF2k

kDEDE2k 2kDE 在Rt△CDE中

CE2CD3k2DE2k22k23k2 CE

∠CAB∠DEC sin∠CABsin∠DECCDCE33„„„„„„6分

②sin∠CABn2n2（n0）„„„„„„8分

13

九. （本题满分9分）

25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A，抛物线yax点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得

2bxc经过O、A两

∠POA43∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（1）解法一：∵一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线yax2bxc经过O、A两点

c0，16a4b0 b4a„„„„„„1分

解法二：∵一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线yax2bxc经过O、A两点

∴抛物线的对称轴为直线x2 xb2a2

b4a„„„„„„1分

（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为yax ∴点D的坐标为（2，4a） ①当a0时，

24ax

14

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点„„„„„„2分 ∴D'O⊥OD

∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 OD2⌒⌒⌒2„„„„„„3分

∴点D的纵坐标为2

4a2

a12，b4a212

∴抛物线的解析式为y ②当a0时， 同理可得：OD2x22x„„„„„„4分

2

12x2 抛物线的解析式为y2x„„„„„„5分

12x2x或y432 综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y12x2x

2 （3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线y∠OBA

12x2x上时（如图2）

2

15

∵点B是⊙D的优弧上的一点 ∠OBA ∠POA1243∠ADO45 ∠OBA60

过点P作PE⊥x轴于点E

tan∠POE EPOE

yxtan603xyy3xx1423x20， 由解得：（舍去） 12y0yx2xy164322 ∴点P的坐标为42 ②当点P在抛物线y3，643„„„„„„7分 12x2x上时（如图3）

2

同理可得，y3x

y3xx20x1423， 由解得：（舍去） 12y0yx2xy164322 ∴点P的坐标为423，643„„„„„„9分

 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 42

3，643或423，643



16