柱面及球面坐标系中散度旋度的

来源：九壹网

柱面及球面坐标系中散度、旋度的应用

摘要：曲而坐标系中散度与旋度在物理学中有着广泛的应用。特别在流体力学、电磁学、电动力学等学科，它们主要是解决矢量场相关问题有力的数学工具，对我们学好物理学有很大帮助。本文应用了散度、旋度的一般左义，导岀了三维曲面标系柱面及球而坐标系中散度与旋度的解析式，并分别分析了英各自的物理意义。最后对柱而及球而坐标系中的散度、旋度在电场、磁场等矢量场中的应用进行了举例讨论。这对学习场论中的散度与旋度更易于能加深理解。关键词：散度旋度物理应用矢量场 0引言：

场论不仅仅是数学分析领域中的基础理论，而且在其他学科中都有广泛的应用。在物理学中，自从法拉第引入了场以来，它即成为一个基本概念.从经典的引力场、电磁场发展到规范场、量子场与意念场等各种场，甚至被应用到了经济、军事、社会等方方而而.

梯度、散度、旋度是矢量场中的精髓,这三个“度”从不同角度对于场的局部特征进行了深刻描述，弄清楚描述场的各个量及其彼此的相互关系，对分析任何物理场，都有极其重要的意义。

矢量场的散度和旋度是两个重要数学概念，它们通过表示场源与场的关系，因此能够确龙所研究的矢量场，因此散度与旋度是研究矢量场的重要的数学工具，必须深刻理解其泄义的内涵，才能对电磁场理论有深刻认识。研究柱而坐标系和球面坐标系中散度、旋度的表达式在电磁场理论中的应用有着非常重要的现实意义⑴5】。

1散度、旋度的精确定义及意义 1.1散度divergence的迫义及物理意义 1.1.1散度divergence的定义

矢量场2通过曲而£的通量仇可用下列的面积分得出⑹：

04 = JJ* A •

(S)

= || ACOSGLIS

式中&为2与而元亦的法线五之间夹角，dS = nds o

令f为一闭合曲而，它的体积记为AV,当£面逐渐缩小到空间一点P.用仇代表矢量场2在闭合而〈上的通量：

即

<5)

当△WTO时，加趋于0.假如两者之比表示为一个极限，则这极限值为矢量场瓜在P 点的散度，记作div A或

(^AdS

V A= lim 血=lim -------------- --------

矢量场的散度divergenc是个标量场。 1.1.2散度divergenc的物理意义

研究对象以不可压缩流体为例，当流速为兀的不可压缩流体，经过封闭曲而£的流量是

胪•廳。

利用散度的左义表明（M°）是流量对体积V的变化率，记它为広在点M（）的流量密度。若▽•彳（MJ〉0,说明在每一单位时间内一左数屋的流体从这一点流出，则称这一点为源。相反，若（M。）<0,说明流体在这一点被流入，则称这一点为汇。若在向量场2中每一点全有▽•彳二0,记2为无源场。 1.2旋度的泄义及物理意义 1.2.1 旋度 cylindrical 的定义

矢量场2沿闭合回路的线积分叫做环量，用r\\表示环量，则有⑺：

令廳为闭合曲线2：包用的面积，亓为廳的右旋单位法向矢虽设想回路2逐渐缩小, 最后缩到空间某点p.当山—0时，r\\也趋于o.若两者之比有一极限，则这极限值为矢量场広的旋度（它是个矢量）在斤上的投影。広的旋度记作ro（広或VxAo上述泄义可写作

jA-dT

习

”=lim

冥=

Iim

七厂

A* AO Av->0 iAo

矢量场的旋度cylindrical也是个矢呈:场。 1.2.2旋度cylindrical的物理意义

一刚体以角速度帀绕某轴旋转，角速度用的方向沿着旋转轴，英指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度矗的方向，英他四指指向旋转方向。若取;g旋转轴上一点O作为原点，刚体上任意一点P的线速度v能表示为v = wxr，其中r = op是P 的径向呈:。设P的坐标为（兀沙,乙），便有7 = （x,y,z），又设0=（“；.,、叫」亿）。于是

v =（忖一 wzy,wzx-wxz,wxy-wyx）t

所以 rotv =（2vvv,2wv,2w.）= 2w

或

w= \\/2rotv

该式表明线速度向量0的旋度除去一个常数因子1/2外，就是旋转的角速度向量可见。的旋度与证成正比，这同时道岀了旋度这个名称的来源。

2曲面坐标系-一-柱面及球而坐标系中的散度和旋度的推导

柱而及球面坐标系中的散度与族度的推导有方法颇多，采用传统方法就是通过它的积分形式，利用微元法或高斯公式计算积分而导岀的2儿此方法的优点是比较直观。本文应用哈密顿算子的若干性质给出散度及旋度更严密的数学推导。 2.1哈密顿算子的几个公式

VxVF=0

V-(F^)= VF J + FV-ii

(1) (2) (3)

(4)

\\7x(Fa) = VF xa + FVxa

V(^x^)=(Vx^) ^-(Vx^).«

2.2柱而及球面坐标系中的梯度

设正交曲线坐标为W1，W2,W3,垂直于坐标而=常数的弧元为

dsx = h}du^ds2 = h2du2,ds3 = h3clu^其中九是u{ulyu3的函数，称为拉梅系数。给楚数量场戶（绚

“2,\"3 ），则它的梯度为

—- OF — 6F — OF t Vr = W] -------------- €2 丘3

hAduA h2du2 hyduy

其中:为三族正交世面上的单位切矢量。

在梯度公式中，令尸（绚上2山3）= %，即得推论：

2.3主要引理引理1

—=vx(vW1)=o 证：应用推论及公式（1）,有

引理2

hjj

证：应用公式（4）及引理1,有 Z —> \\

C —> =V・ e 2 /z2 e 3 =▽ x ©2 < y &3 “3 —▽ X 住3 、兀3 c —> “2 =6_6=0

2.4柱而犁而睜系中卫勺散度

设方=绚：+ “2；2 + ©：3,为了利用上述一些结果，我们将&改写为

——> —> ——>

N = （/22/?3^1）7V- + （力彳也色）7^— + （力冲/佝）产- h2h3 /?3/?I /?j /?2 于是利用哈密顿算子的线性、公式（2）.引理2及梯度公式，得

\"• ■ —>

(hJh© ) J + ▽•

+ ▽•

T T T

=▽(/丛“ )• ~rr+▽(钉也2 )•占-+卡 h2h3 hJhhAh2d(hAh2a3)e3 e3 duy h3 h}h2

-二_L. + du} h}

hh^d(h,h}a2)e2

du^

-•-—— +・・・

0(/啟口)* 6(側心)| 弟”W3)

砧小3 L 6U\\ Oil2 Oily

直角坐标系中，hx = h2 = /?3 = 1 ：

(Is、= dxy ds2 = dy, ds3 = d乙,

—一 da. 6a、 g

所以

= — + ——+ —; dx dy dz

柱面坐标系中,hr = \\,hd = r,/?. = 1 ：

dsr = dr.dse = rdds, = dz , ▽沽=丄

迷心+丄些+匹所以 r dr r dO dz ；

球面坐标系中，hr = \\Ji0=rJidsr = dr.ds0 = rd0. dsp =厂sin Ocl(p: 1/f

1 6(sin 矶) dr rs\\nO dO

所以 2.5 柱而犁而睜系中』勺旋度设ci = a} e\\ + a2 e2 + a3 ,为了汁算它的旋度，把&改写为 =（恥1）才+ （力2“2 ）才+ （尽

他）才

于是利用公式（3）,引理1及梯度公式，得 Vxfl =Vx +Vx (/hajil + Vx (h3a3 )—

十 ---

rsin^ d(p o

云

h\\ …力2

抵

卫心严（T严（T#

• —F ------------------- : --------- -- +

処Q空+迤述色X£L dit2 h2 du3 h3

d(b2a2) e3 e2 ------------ x — dUh2 3 fh

8（〃心）勺| 6（念如）

02 dux 力］ du2 h2 0（%3） 6(心2) T 1 3（也） 6（也） e+ 1

6（也） ■ 咖勺） du2 6# 3 勺+ ---- 如 du{ du2 肩凉业3 1 d o d hjijb ou{ du2 6ig hg /i2a2 h3a3 直角坐标系中:Aj =h2 = /i3 = 1 ：

所以

ds、= dx, ds= = dy, ds、= dz.:

柱面坐标系中：hr = \\.hd =r.hz =1 ；

dsr = dr,ds0 = rdd.dsz = dz.:

所以

d d(p

球面坐标系中:

hr = lJs = rJ° = rsine； Vxa =

所以

r2sin^

J d dr

Cldsr = dr.dse = rd0. dsp = rsin Od(p: rsin Ge

(? d_ d(p rsin Oct.

3散度和旋度在物理上的应用

物理上散度和旋度应用相当广泛|2国，而以球坐标系和柱坐标系中的散度和旋度应用的地方最多，由以下几例说明这一点。例1

均匀分布于半径为。的无穷长直导线，电流为/,求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。⑻

解：作一半径为，•的圆，使其垂直于导线，且圆心在导线轴上。由对称性可知，任圆周上的各点的磁感应强度的数值相等，并且沿着圆周的环绕方向，

当r>a时，通过圆内的总电流为/,由安培环路定律得

• dl = 2m'B = p(J 因而B = //0Z/2^-,在柱坐标系中写成矢

量式为

B = ^-e(r>ci)

岔八

式中吊为圆周环绕方向单位矢量。

若r<«,则通过圆内的总电流为

7 1 i

TrrJ = 7D\"―=— 加-a

应用安培环路怎律得

7 j

彳”・ d： = 2mB = 因而

用柱坐标的公式求△的旋度,

当 r>a 时，得 VxB = -—（rB.k = 0（r > a）

dz r dr ' 当 r7ttr '

例2有一个无穷长直导线，载电流为/,求磁场的矢势和磁感应强度•

解：作图如下

取导线沿Z轴方向,设P点到导线的垂直距离为/?,电流元到P点的距离为 JR' + 才,则

A = A/7 4

「业

冷冷z1 +尺2

此积分发散的。计算这两个点之间的矢势之差值就能免除其发散。若取尺）点的矢势值为0, 同

解：假设平面电磁波在没有电荷电流分布的空间中传播，所以可知势的方程 2

VA-

-—k xB = -cek xB co

4 •结论

本文主要研究了曲面坐标系中散度与旋度在物理学中-一电磁学、电动力的应用。首先应用了散度、旋度的一般定义，并由哈密顿算子的性质导导出了三维曲面标系柱面及球面坐标系中散度与旋度的解析式，并讨论其各自的物理意义。然后把柱面和球面坐标系中的散度、旋度应用在电场、磁场中得出了无穷长直导线，空间％点的磁场强度以及无穷长直导线的磁感应强度，还求解了平而电磁波的势。曲面坐标系中散度与旋度在电磁场理论中的应用，着十分重要的现实意义。

5 •参考文献

[1] 梁昆淼，数学物理方法，人民教冇岀版社，北京，197&

[2] 盛振华，矢量分析与数学物理方法，湖南科技岀版社，湖南，1982. [3] 毕徳显，电磁场理论，电子工业岀版社，1985.

[4] 赵凯华，陈熙谋.电磁学（第二版）.高等教育出版社，北京，1985.

[5] EW.Byron.R.W.Fuller.,物理学中的数学方法，熊家炯，曹小平译，科学出版社，北京, 1982. [6] 曾谨言,量子力学导论（第二版），北京大学出版社，北京，1998. [7] 周世勋，量子力学，上海科学技术岀版社，上海，1961. [8] 郭硕鸿,电动力学，高等教育出版社,北京，1982.

[9] 曾瑾言,钱伯初,量子力学专题分析（上），高等教育出版社,北京，1990. [10] 梁灿彬，电磁学（第二版），髙等教育出版社，北京，2004. [11] 钱伯初，量子力学，电子工业出版社，北京，1993. [12] 苏汝坚，疑子力学，复旦大学岀版社，上海，1997. [13] Baym.G, Lectures on Quantum Mechanics, Benjamin, 1978. [14] Bohm, D., Quantum Theorjr New York, Prentice-halL 1951. [15] 尹鸿钧，量子力学，中国科学技术大学出版社，合肥，1999.

The application of cylindrical and spherical coordinate divergence and curl

Abstract: divergence and curl in the surface coordinate system is widely used in physics・ Special in fluid mechanics, electromagnetism, electrodynamics and disciplines・ They are mainly to solve the vector field related problems a powerful mathematical tool, is of great help for us to learn physics. The general definition of divergence, curl, are applied in this paper to derive the 3D surface standard formula of Department of cylindrical and spherical coordinates divergence and curl, and their physical meaning are analyzed. Finally the application of cylindrical and spherical coordinates of divergence, curl in the electric field .magnetic field. vector field for the discussion of some examples・ The divergence and curl in the field theory of learning more easily to deepen understanding ・ Key words: divergence： curl； Physics application： vector field

% = — F • Ao

CD 因此，只需给泄了矢量£）,就能够确泄平而电磁波。场强E和斤为

B = VxA = ik xA

— 6A — — E = -V（p-— = -ik（p + icoA

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