11-12(1)近代A参

课程名称： 近世代数 适用年级/专业： 09级数学与应用数学（师范） 试卷类别 开卷（ ）闭卷（√） 学历层次 本科 考试用时 120分钟 一、填空题（每小题3分，共24分）

1、 整环 2、a1 3、 |H|[G:H] 4、åxiayi其中xi,yiÎR 5、［4］ 6、 Zn 7、 （1） 8、n

二、(18分) 解：Z10的全部元素为{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]} 生成元是：[1]，[3]，[7]，[9]。……………(4分)

全部可逆元是：[1]，[3]，[7]，[9]，且[1]-1=[1]，[3] -1=[7]，[7] -1=[3]，[9] -1=[9]

……………………………………………(8分)

Z10中的所有零因子是：[2]，[4] ，[5]，[6]，[8]。……………(2分) Z10的全部子群有：H1={[0]}， H2={[0]，[2]，[4]，[6]，[8]}， H3={[0]，[5]}， H4=Z10。……………(4分) 三、 (8分) 证明 CR={r?R|rx(1) 因为对任意 (2) 对

,

, ,

所以,

,

. 从而CR为 的子环. ……………(4分)

xr,\"x R} , 所以

. 故

.……………(2分)

（3）\"x,y CR，则yÎCR，从而yx=xy，即CR={r?R|rx交换子环。 ……………………………………………(2分)

1

xr,\"x R}是R的一个

四、(10分) 证明：（1）由(e)e，即eker是一个非空集合；

a,bker，即(a)e，(b)e，得(ab1)(a)(b1)(a)[(b)]1ee1e

即ab1ker，所以ker是G的子群。 ………………(6分)

（2）gG,aker，(gag1)(g)(a)(g1)(g)(g1)(gg1)(e)e

即gag1ker，故ker是G的不变子群。 ………………(4分) 五、（18分）证明： (2,x)(2)(x)2a0a1xa2x2anxnaiZ

f(x)f(x)为常数项是偶数的整系数多项式，………………3分

2. 证明：若有理想S真包含(2,x)，即(2,x)SR[x]，则存在常数项为奇数的整系数多项式

g(x)S，g(x)(2,x)，显然g(x)1(2,x)S，故[g(x)1]g(x)S，即1S，由此得到SZ[x]，所以(2,x)为Z[x]的最大理想． ………………6分

3. 解：(2,x)不是R[x]的主理想，

否则可设(2,x)(p(x)),p(x)R[x]，那么s(x)R[x],2p(x)s(x),（*）

t(x)R[x],xp(x)t(x),（**）

由（*），p()x0，p(x)a，又由（**）得，p(x)1，但1(2,x)，矛盾。 故(2,x)不是R[x]的主理想. ………………………6分 4. 解：若RQ，(2,x)是R[x]的主理想， 这是因为，

2与x互素，那么s,tR,12stx,即1(2,x)，从而Q1(2,x)，又(2,x)Q，故

(2,x)Q(1). ………………………3分

六、（22分）证明：(1) R是复数域C的子集，xabi,ycdiR,

xy(ac)i(bd)R

2

且xy(acbd)i(adbc)R 故R为C的子环，又R含有单位元1，且是交换的无零因子环，

故R为整环。 ……（4分）

*22R为欧氏环，取欧氏映射:RZ0:ab3a3b验证即可。…（4分）

（2）(1) I的一个元是一个单位当且仅当1：

11，假定ab3是一个单位，那么1，但a23b2是一个正整数，

22222同样也是一个正整数，因此1；

反过来，假定a23b21，a,bZ，那么b0,a1，即1是单位。……（4分） (3) 设为R的满足22224的元, 若不是素元，则存在R中的真因子,，使、

. 而||2||24. 设ab3, 则||2a23b2.故||21或4（不管a,b是什么整数，a23b2都不等2）。若||21，则1或1，此时为可逆元，矛盾. 若||24，则||21，从而1或1，此时为可逆元，矛盾. 故一定是R的素元。 ………………（6分）

(2) 因为422(13)(13)，且24,134,134，

2222,13,13都是R的素元，故4在R中有两种不同的分解. ............................(4分)

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