章末复习
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立． 5．归纳、猜想、证明
探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解
题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．
题型一 归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然
后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证． 例1 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A．28 C．123 答案 C
解析 记an＋bn＝f(n)， 则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)， 则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18； f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a10＋b10＝123.
跟踪演练1 自然数按下表的规律排列
B．76 D．199
则上起第2 007行，左起第2 008列的数为( ) A．2 0072 C．2 006×2 007 答案 D
解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；
②第一行第n个数为(n－1)2＋1；
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1； ④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.
故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008. 题型二 直接证明
由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，近几年来一直是考查证明方法的热点与重点．
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用． 例2 已知a>0，求证：证明 要证11
a2＋a2－2≥a＋a－2.
B．2 0082 D．2 007×2 008
11
a2＋a2－2≥a＋a－2，
只需证11
a2＋a2＋2≥a＋a＋2.
1122a＋＋2， a＋a2＋2≥a
2
∵a>0，故只需证
1
即a2＋a2＋4
11a2＋a2＋4≥a2＋2＋a2＋
1
22a＋a＋2，
从而只需证2
11
a2＋a2≥2a＋a，
11
只要证4a2＋a2≥2a2＋2＋a2，
1
即a2＋a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
跟踪演练2 如图，在四面体B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
证明 (1)要证直线EF∥平面ACD， 只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD. 因为E，F分别是AB，BD的中点， 所以EF是△ABD的中位线， 所以EF∥AD，
所以直线EF∥平面ACD. (2)要证平面EFC⊥平面BCD， 只需证BD⊥平面EFC，
EF⊥BD，只需证CF⊥BD，
CF∩EF＝F.
EF∥AD，因为所以EF⊥BD.
AD⊥BD，又因为CB＝CD，F为BD的中点， 所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD. 题型三 反证法
如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
例3 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB、DF的中点．
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
(1)解 法一 如图(1)所示，取CD的中点G，连接MG，NG，设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
图(1)
则MG⊥CD，MG＝2，NG＝2， ∵平面ABCD⊥平面DCEF， ∴MG⊥平面DCEF，
∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
6
∵MN＝6，∴sin∠MNG＝3，
6
∴直线MN与平面DCEF所成角的正弦值为3.
法二 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示．
图(2)
则M(1,0,2)，N(0,1,0)， →＝(－1,1，－2)． ∴MN
→＝(0,0,2)为平面DCEF的法向量， 又DA
→·DA→MN6→→
∴cos〈MN，DA〉＝＝－3，
→||DA→||MN∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为 →，DA→〉|＝6. |cos〈MN
3
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN， ∵两正方形不共面， ∴AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， ∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
ππ
跟踪演练3 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋2，b＝y2－2z＋3，c＝z2－2xπ
＋6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
πππ
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋2＋y2－2z＋3＋z2－2x＋6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0，
这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，∴a，b，c中至少有一个大于0. 题型四 数学归纳法
1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换．
2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明．
例4 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图像上． (1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，
b1＋1b2＋1bn＋1
证明：对任意的n∈N＋，不等式b·b·…·b＞n＋1成立．
12n(1)解 由题意：Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， bb－1a2
a1＝b，即b＋r＝b，解得r＝－1. (2)证明 当b＝2时，由(1)知an＝2n－1， 因此bn＝2n(n∈N＋)，
2＋14＋12n＋1
所证不等式为2·4·…·2n＞n＋1. 3
①当n＝1时，左式＝2，右式＝2. 左式＞右式，所以结论成立． ②假设n＝k(k∈N＋)时结论成立， 2＋14＋12k＋1
即2·4·…·2k＞k＋1，
2＋14＋12k＋12k＋3
则当n＝k＋1时，2·4·…·2k· 2k＋12k＋32k＋3
＞k＋1·＝.
2k＋12k＋1要证当n＝k＋1时结论成立， 2k＋3
只需证＞k＋2成立，
2k＋1
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8成立，显然成立，
2＋14＋12k＋12k＋3
∴当n＝k＋1时，2·4·…·2k·＞k＋1＋1成立，综合①②可知
2k＋1b1＋1b2＋1bn＋1
不等式b·b·…·b＞n＋1成立．
1
2
n
1
跟踪演练4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)写出a2，a3，a4. (2)求数列{an}的通项公式． 1
解 (1)因为a1＝1，an＋1＝2an＋1， 113
所以a2＝a1＋1＝＋1＝，
2221137
a3＝2a2＋1＝2·2＋1＝4， 11715a4＝2a3＋1＝2·4＋1＝8.
2n－1
(2)解 法一 猜想an＝n－1，下面用数学归纳法证明．
2
21－1
证明 (1)当n＝1时，a1＝1－1＝1，满足上式，显然成立；
22k－1
(2)假设当n＝k时ak＝k－1，那么当n＝k＋1时，
2
2k－12k－1＋2k2k＋1－1112k－1
ak＋1＝2ak＋1＝2·k－1＋1＝2k＋1＝＝2k满足上式，即当n＝k
2k2＋1时猜想也成立．
2n－1
由(1)(2)可知，对于n∈N＋都有an＝n－1.
21
法二 因为an＋1＝2an＋1， 1
所以an＋1－2＝2an＋1－2， 1
即an＋1－2＝2(an－2)，
11
设bn＝an－2，则bn＋1＝2bn，即{bn}是以－1为首项，2为公比的等比数列， 1
所以bn＝b1·qn－1＝－n－1，
22n－1
所以an＝bn＋2＝n－1.
2
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理
(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论∀d∈M，d也具有某属性．
(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)． 2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：
原结论词 至少有 一个 至多有一个 反设词 一个也没有 至少有两个 原结论词 对所有x成立 对任意x不成立 反设词 存在某个x不成立 存在某个x成立
至少有n个 至多有n个 至多有n－1个 至少有n＋1个 p或q p且q 綈p且綈q 綈p或綈q 3.数学归纳法的应用必须注意以下两点： (1)验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”． (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程
中，要把归纳假设用一次或几次．
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同
科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。
二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。
审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。 三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。
四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。
对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范 第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。
第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。
第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，
结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。
第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。
