维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年 后勤工程学院学报 第１期 文章编号：１６７２—７８４３（２００７）Ｏ１—００５７一Ｏ３ 大整数乘除运算在ＰＣ机上的实现 高 峰 ，王玉柱 ，桑林琼 ，施 然２ （１．后勤工程学院后勤信息工程系，重庆４０００１６；２．兰州军区联勤部，兰州７３００００） 摘要 大整数在要求高精度的应用中非常有用。特别是大质数和一般大整数有一个 极为重要的应用，就是关于计算机数据加密。在计算机数据加密技术中，常会遇到大整数的 算术运算问题。由于所使用的机器和所用语言的，大整数的“乘”“模”两种运算很难运 用高级语言中的“乘”“除”运算。提出了一种逐位存储、按字节运算的方法，并用Ｃ＋＋实 现了大整数的十进制乘除法运算，之后将提出的算法与类似算法的时间复杂度进行了比较， 最后给出了算法的运行时间。 关键词数据加密；大整数运算；ｃ＋＋；ＰＣ机 中图分类号：ＴＰ３０１．６ 文献标识码：Ｂ 现有大整数乘法算法主要思想是将大整数拆分为一至多位后分别计算部分积再累加。对于拆分为 多位的算法，若被乘数和乘数都是ｎ位，其最优时间复杂度为０（１］，ｌａｇ２’）一０（ｉ．￣１．５８５），但在拆分大整数时 使用了递归算法，使得程序的执行效率大打折扣 ¨。除法则都是用被除数减除数，直到余数小于除数 为止，但多数算法是基于二进制，使得进行的比较、减法和子函数调用次数比笔者所提出算法要大。 １ 多位十进制乘法的算法 １．１算法原理 首先。大整数乘法的运算数在本算法中以链表形式存储 。链表可以根据需要开辟内存，而不会 像数组那样必须预先定义数组长度，造成不必要的内存浪费。图１为链表图，链表由结点构成： 本算法中被乘数Ｐ和乘数ｇ的最大值 设为ｌＯ∞，并且是逆序存放的，乘积 也是 —ｐ￣．ｎｅｘｔ ｐ￣ｎｅｘｔ－．．￣ｎｅｘｔ 逆序存放的，如６２３，在计算机中表示为图 ｎｕｍ ｎｅｘｔ ｌ ＿一 Ｉ ｌ ｈＵｍ Ｉ ｎｅｘｔ Ｉ ｈｕｍ Ｉ ｎｕｌｌ Ｉ ２所示，其运算原理为： 图１链表围 将被乘数Ｐ和乘数口分别逆序存放在 两个链表中，对乘数ｑ的每一位都要用被 乘数Ｐ的每一位与之相乘，并将得到的部 分积累加到乘积链表 的对应位中。 １．２算法 ，ｌ ３ ｎｅｘｔ ｌ ２ ｌ ｎｅｘｔ ６ ｌ ｎｕｌｌ 图２链表存储结构示例 中存放乘积，－『代表当前取到乘数ｑ 的第几位。ｙｌ代表当前取到的乘数的某一位的值，ｉ代表当前取到被乘数Ｐ的第几位， 代表当前取到 的被乘数的某一位的值， 为部分积， ｉ＋＿『］代表乘积对应位的值，Ｃ代表当前进位。 １．３算法实现 ｆｏｒ（ｊ＝０ ＜，ｌ ＋＋） 收稿日期：２００６—０９—１３ 作者简介：高峰（１９８１一），男，重庆市南岸区人，硕士生。主要从事网络安全方面研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com ５８ 后勤工程学院学报 ｗ－－Ｏ ２０ｏ７年 ｛ ｉｆ（ｊ）ｓ＝ｓ一＞ｎｅｘｔ；／ 取ｑ的第．『位 ／ ｅｌｓｅ ｓ＝ｑ； ｛ ｉｆ（ｉ）ｔ＝ｔ一＞ｎｅｘｔ；／ 取Ｐ的第ｉ位 ／ ｅｌｓｅ￡＝Ｐ； ／ 取Ｐ的第ｉ位 ／ ＝ｔ一＞ｎ ｍ ｓ一＞ｒ／，／ｚｍ；／冰计算部分积 ／ ｆ０ｒ（ｒ＝ ， ＝Ｏ；后＜ｉ＋．，； ＋＋）ｒ＝ｒ一＞ｎｅｘｔ；／水部 ｊ＝ｏ ｊ＜ｑ位数 ／ 取ｑ的第．『位 ／ ｙｌ＝ｑ的第』个节点的数 值 ｉ＜ｐ位数 ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜玑；ｉ＋＋） 印的第 个节点的数值 ｗ［ｉ＋Ｊ１＋ 【 ＋＿Ｊ１％－－１０ ｃ≠０ 分积 存入 ［ｉ＋力中 ／ ｒ一＞ｎ“， ＋＝ ： ｃ＝（ｒ一＞ｎｕｍ）／ｌＯ；／；Ｉ＝计算进位冰／ ｒ一＞ｎ ｍ＝（ｒ一＞ｎ ｍ）％１０； ｗｈｉｌｅ（ｃ） ｛ ｒ＝ｒ一＞ｎｅＸｔ： ｒ一＞ｎ ｍ＋＝Ｃ： ｗ［ｉ吖＋削％ １０ ／ 处理进位ｃ ／ 围３乘法算法程序框圈 ｃ＝（ｒ一＞ｎ ｍ）／１０； ｒ一＞ｎ ｍ＝（ｒ一＞ｎ ｍ）％１０； ２ 多位十进制除法的算法 ］ ２．１算法原理 （１）将除数的非０最高位移到与被除数的非０最高位相同位置； （２）若被除数大于或等于除数， 则商对应位加１，被除数减去除数，将其余数赋值给被除数；否则，即被除数小于除数，除数右移一位； （３）重复步骤（２）、（３），直到除数恢复原值为止。 ２．２算法 算法的输入：被除数（ ），除数（ ） 算法的输出：商（ｓｈａｎｇ），余数（ｔｅｍｐ） 算法的输入和输出都用字符串来表示。 先取 的连续７１，或７１，＋ｌ（对应于高位有余数情况）位 作为当前被除数赋值给ｔｅｍｐ，当ｔｅｍｐ＞＝ｃｓ时。说明可以给 圈４除法算法程序框图 ｓｈａｎｇ的对应位＿ｌｚ ｌ，加１之后当前被除数ｔｅｍｐ要减去一个除数 的值，重复此操作直到当前被除数 ｔｅｒａｐ的值小于除数 为此，之后将ｔｅｍｐ中剩下的小于 的部分赋回给 。 ２．３算法实现 ／ 将字符串ｓｔｒｌ中从８ｔａｒｔ Ｙｔ：始到ｅｎｄ为止（含ｅｎｄ）的子串放在ｓｔｒ２中 ／ ｖｏｉｄ ｓｕｂｓｔｒ（ｃｈａｒ ｓｔｒｌ，ｃｈａｒ；Ｉ＝ｓｉｒ２，ｉｎｔ ｓｔａｒｔ。ｉｎｔ ｅｎｄ） ／ 计算ｓｔｒｌ—ｓｔｒ２，结果放在ｓｔｒｌ中；Ｉ＝／ ｖｏｉｄ Ｓｕｂｓｔｒ（ｃｈａｒ ｓｔｒｌ，ｃｈａｒ ｓｔｒ２） ／冰比较字符串代表数值大小，返回值１：ｓｔｒｌ＞ｓｔｒ２。一１：ｓｔｒｌ＜ｓｔｒ２。０：８ｔｒｌ：８ｔｒ２冰／ ｉｎｔ Ｓｔｒｅｍｐ（ｃｈａｒ冰ｓｔｒｌ，ｃｈａｒ冰ｓｔｒ２） 维普资讯 http://www.cqvip.com ９ 主函数部分 引： ｆｏｒ（ｉ＝Ｏ√＝Ｏ； ＜＝ｍ一，ｌ； ＋＋） ｛ ｓｕｂｓｔｒ（ｂｃｓ，ｔｅｍｐ，ｉ－ｊ，ｉ＋ 一１）； ／ｊｌ‘取被除数的ｎ或者ｎ＋１位到ｔｅｍｐ ｊｌ‘／ ｉｆ（Ｓｔｒｃｍｐ（ｔｅｍｐ， ）＞＝Ｏ） ／ｊｌ‘被除数＞＝除数ｊｌ‘／ ｛ ｗｈｉｌｅ（Ｓｔｒｃｍｐ（ｔｅｍｐ，ｃｓ）＞－－ｏ）／ｊｌ‘ｓｈａｎｇ对应位＋１，ｔｅｍｐ一＝ ｛ ｊｌ‘／ ｓｈａｎｇ［ｉ］＋＝１； Ｓｕｂｓｔｒ（ｔｅｍｐ， ）； ｝ ｆｏｒ（ｋ＝ｉ—ｊ；ｋ＜ｉ＋ｎ；｜ｊ｝＋＋） ／ｊｌ‘将ｔｅｍｐ赋值给６ 对应位ｊｌ‘／ ｊｌ‘（ｂｃｓ＋ｋ）＝ｊｌ‘（ｔｅｍｐ＋＿『一ｉ＋ｋ）； ｉｆ（ｊｌ‘（ｔｅｍｐ＋ｉ）！＝ｏｌ ｌ『＝１； ｅｌｓｅ＿『＝０； ｝ ｅｌｓｅ／ｊｌ‘被除数＜除数 ／ ｛ ＿『＝Ｉ； ｝ ｝ ３ 算法性能分析 ３．１十进制整数乘法复杂度 在本算法中，一个十进制数ｎ需要的存储空间为ｒｌｏｇｎ－］个字节，加上一个指针（４字节），共需存储 空间为５・ｒｌｏｇｎ］。取乘数ｑ的第 位操作需要对ｓ赋值ｎ次，取被乘数Ｐ的第ｆ位操作需要对ｔ赋值ｎ ・ｍ次，计算部分积 要做两个一位数乘法ｎ・ｍ次，部分积存入乘积 中需要对ｒ赋值（ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ ＋１）／２次，计算进位需要ｍ・ｎ次除法和ｍ・ｎ次求余运算，所以对于ｍ位和ｎ位十进制数相乘（ｍ＞ ｎ），本算法时间复杂度为：ｎ＋４・ｎ・ｍ＋（ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ＋１）／２ ０．５・ｍ ＋０．５・ｎ ＋５・ｎ ＋５・ｍ・ ｎ。参考文献中，文献［５］算法时间复杂度为１６・ｍ・ｎ。文献［６］算法时间复杂度为１１・ｍ・ｎ。由不等 式０．５ｍ ＋０．５ｎ ＋５ｍｍ＜ｌ１ｍｎ可知，当（６一 ５）ｎ＜ｍ＜（６＋￣，／３５）ｎ时，本算法运算时间较短。 ３．２＋进制数除法复杂度 在本算法中，预先定义好ｂｃｓ、∞、ｓｈａｎｇ和ｔｅｍｅ￣个数组用来存放被除数、除数、商和余数。对于被除 数为ｍ位，除数为ｎ位的十进制数，要调用ｓｕｂｓｔｒ函数（ｍ—ｎ＋１）次，每次需要ｎ次赋值。３・ｎ次加减； 调用Ｓｕｂｓ￣函数（０．２５・（ｍ—ｎ＋１））次，每次需要３．５・ｎ次赋值，９・ｎ次加减；调用函数ｓｔｒｃｍｐ（０．７５ （ｍ—ｎ＋１））次，每次需要０．５・ｍ次比较；主函数还要进行ｍ—ｎ＋１次赋值，２．７５・（ｍ—ｒｔ＋１）次加 减，所以时间复杂度为：（ｍ—ｎ＋１）（７．１２５ｎ＋０．３７５ｍ＋３．７５）。由于文献［５］和［６］中没有给出除法算 法具体算法，故无法计算其时间复杂度。 ・３．３运行时间 在ＣＰＵ频率１．５Ｏ ＧＨｚ，２５６ Ｍ内存计算机中，计算２个ｌ０ 的十进制数的乘积所需时间为 ０．０５４ ９４５ ｓ；计算被除数为ｌＯ帕，除数为１０ 的十进制数的商和余数所需时间小于１０～Ｓ。 （下转第７４页） 维普资讯 http://www.cqvip.com ２垒 直幽Ｊ－．亚ｌ＿盂ｒ＿ Ｌｊ 』Ｌ——————————————— 工 ［１０］龙广成，谢友均，陈瑜．养护制度对活性粉末混凝土（耻也００）强度的影响［Ｊ］－混凝土与水泥制品，２００１・（５）：１５—１６・ ［１１］ＺＡＮＮＩ Ｈ．１ｎｖ蛐ｔｉ ０ｎ ｏｆ Ｈｙｄｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｏｚｚｏｌａｎｉｃ Ｒｅａｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｒｅｅ￣ｔｉｖｅ Ｐｏｗｄｅｒ Ｃｏｎｃｒｅｔｅ（ＲＶＣ）Ｕｓｉｎｇ Ｓｉ ＮＭＲ［Ｊ］・ｃｅｍ蚰ｔ ａｎｄ咖明她 Ｒｅｓｅａｒｃｈ。１９９６，２６（１）：９３一－１００． ［１２］黄政宇，沈蒲生，蔡松柏．超高强钢纤维混凝土试验研究［Ｊ］．混凝土，１９９９（３）：３—７・ ［１３］陈万样．活性粉末混凝土（ＲＰｃ）的配制技术及其基本性能研究［Ｄ ３．南京：理工大学，２００３：２９—３３・ ［１４］林小松。杨果林．钢纤维高强－ｑ超高强混凝土［Ｍ］．北京：科学出版社，２００２：２３１—２３３・ ［１５］孙伟．钢纤维对高强混凝土地增强、增韧和阻裂效应的研究［Ｊ］．东南大学学报，１９９１，（Ｉ）：３２—３５・ ［１６］孙伟，严云．钢纤维硅灰高强混凝土的力学行为及界面特性［Ｊ］．中国科学，１９９２，２（Ａ）：２１７—２２４－ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅａｃｉｔｖｅ Ｐｏｗｄｅｒ Ｃｏｎｃｒｅｔｅ ２００（ＲＰＣ ２００） ＷＡＮＧ Ｑｉｆａｎ 。ＧＵＯ Ｚｈｉｋｕｎ ，ＸＩＡＮＧ Ｚｏｎｇｆａｎｇ ，ＳＨＡＯ Ｊｕｎ （１．Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ＆Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬＥＵ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００４１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｒｐｓ，ＰＬＡ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｓｃｉ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１０００７，Ｃｈｉｎａ） ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ａｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅ８ｅａｒｃｈ ｏｎ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅａｃｔｉｖｅ ｐｏｗｄｅｒ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｗ明ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈ ｗａｓ ｃｏｎｃｅｍｅｄ ｏｎ ｈｅ ｔｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ Ｓ／Ｃ（ｓａｎｄ ａｎｄ ｃｅｍｅｎｔ ｒａｉｔｏ），ｔｈｅ ｍｉｘｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｏｆ ｓｉｌｉｃａ ｆｕｍｅ ｏｒ ｃｒｕｓｈ ｑｕａｒｔｚ，Ｗ／Ｂ（ｗａｔｅｒ ｎｄ ａｂｉｎｄｅｒ ａｔｒｉｏ）ａｎｄ ｔｈｅ ｖｏｌｕｍｅ ｏｆ ｓｔｅｅｌ ｆｉｂｅｒ ｏｎ ｈｅ ｔｌｆｕｉｄｉｔｙ，ｆｌｅｘｕｒａｌ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｎｄ ｃａｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ５ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆＳｐｅｃｉｍｅｎｓ．Ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｃｈｎｏｌｅｇｙ，ｕａｌｔｒａ ｈｉｇｌｌ—ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｗｉｈｔ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｆｌｅｘｕｒｌａ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｗｅＩｅ ｕｐ ｔｏ １４５．６ＭＰａ ａｎｄ ２６．６８ＭＰａ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｔｅｎｇｔｒｈ ａｎｄ ｆｌｅｘｕｒａｌ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ０ｆ ＲＰＣ ａｄｄｉｎｇ ｗｉｔｈ ６％ｓｔｅｅｌ ｉｆｂｅｒ ｗｅｒｅ ｕｐ ｔｏ ２０１．３ＭＰａ ａｎｄ ７３．６７ＭＰａ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｒｅａｃｔｉｖｅ ｏｗｄｅｒｐ ｃｏｎｃｒｅｔｅ（ＲＰＣ）；ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ；ｓｔｒｅｎｇｔｈＩ ｆｌｕｉｉｔｄｙ （上接第５９页） 综合前人所提出的算法和数据结构，提出了一种新的计算大整数乘除运算方法。且在多数情况下，运算 时间占优，并用Ｃ语言实现了该算法。试验结果表明：笔者提出的快速算法运算速度高，编程容易，便 于在ＰＣ机上实现。可直接应用于素性判别、大数分解等计算数论领域和数据加密领域。 参考文献 ［１］谢冬青．大整数指数快速算法研究［Ｊ］．湖南大学学报，ｌ９９４，２１（２）：ｌ１６—１２ｏ． ［２］曾联明．用ｃ语言链表解决大整数运算的精度问题［Ｊ］．电脑学习。２００２，６（３）：３１． ［３］昊晓丽。吴峰．计算机中的大整数运算技术［Ｊ］．工程学院学报。１９９９。１５（２）：３５—３７． （４］谭浩强．Ｃ程序设计［Ｍ］．第２版．北京：清华大学出版社。１９９９：２７３—２８４． ［５］宋阳秋．超大整数运算的程序设计［Ｊ］．福建电脑，２００５，１１：１２５—１２６． ［６］石研。姚晟．大整数算术运算的实现［Ｊ］．安庆师范学院学报（自然科学版）。２００４，１０（２）：７５—７８． Ｔｈｅ Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｕｌｉｔ．ｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｏｆ Ｂｉｇ Ｉｎｔｅｇｅｒ ｏｎ ＰＣ Ｍａｃｈｉｎｅｓ ＧＡ０ Ｆｅｎｇ ，ＷＡＮＧ Ｙｕｚｈｕ ，ｓＡＮＧ Ｌｉｎｑｉｏｎｇ ，ＳＨＩ Ｒａｎ （１．Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃａｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬＥＵ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００１６，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｊ０ｉｎｔ ｏｇＬｉｓｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｌａｎｚｈ０ｕ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ａｒｅａ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００００．Ｃｈｉｎａ） ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｂｉｇ ｉｎｔｅｇｅｒ ｉｓ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｔｈｅ ｌｌｉｇｈ—ｐｒｅｃｉｓｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ｔｌＩｅ ｂｉｇ ｐｒｉｍｅ ａｎｄ ｃｏｍｍｏｎ ｂｉｇ ｉｎｔｅ． ｇｅｍ ｐＩａｙ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｄａｔａ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｃｒｙｐ－ ｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ．Ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ０ｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ ｐｒｏｇｒａｍｍｅ ｌａｎｇｕａｇｅｓ ａｖａｉｌａｂｌｅｔｌＩｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｏｆ ｂｉｇ 。ｉｎｔｅｇｅｍ ａｒｅ ｄｉ￣ｃｕｌｔ ｔｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｂｙ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈ—ｌｅｖｅｌ ｌａｎｇｕａｇｅｓ．Ｔｈｅ ａｕｔｈｏｍ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｔｏｒｅ ｅａｃｈ ｂｉｔ ｏｆｔｈｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｎｄ ａｃｏｍｂｉｎｅ ｅａｃｈ ｂｉｔ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ａｎｄ叩ｐｕｅｄ ｔｌＩｅ ｌａｇｏｒｉｔｈｎｍ ｏｆ ｄｅｃｉｍａｌ ｉｎｔｅｇｅｒ ｗｉｈ ｔＣ＋＋。ｔｈｅｎ ｃｏｍｐａ￣ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｏｆ ａｂｏｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｗｉｈ ｔｔｈａｔ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｄ．ｔｌｌｅ ａｕｔｈｏｒ８ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｒｔｌｓ－ Ｉｌｉｎｇ ｔｉｍｅ ｏｆｔｈｅ ａｂｏｖｅ ａｌ ｒｉｔｈ啪． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｄａｔａ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ；ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｇ ｉｎｔｅｇｅｒ；Ｃ＋＋；ＰＣ
