2020-2021学年浙江省宁波市江北实验中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设a，bR，那么“”是“”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
参：
B
由
得，
，即
，得
或
，即
或
，所以
“
”是“
”的必要不充分条件，选B.
2. 下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 ( ）
A． B． C． D．
参： B
3. 已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交
于点
，且
，则双曲线
的离心率的值是（ ）
A． B． C． D．
参：
B
4. 分别为双曲线 的左、右焦点，抛物线 的焦
点为 ，点P为双曲线M与抛物线N的一个交点，若线段 的中点在y轴上，则该双曲线的离心
率为 A．
B．
C．
D．
参：
B
5. 设是虚数单位，则复数(1－i)2－
等于 A．0 B．2 C．
D．
参： D
(1－i)2－
=－2i－=－2i－
=－2i－2i=－4i.
故选D.
6. 已知
都是区间
内任取的一个实数，则使得
的取值的概率是（ ）
参：
A
此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即
，则事件A的概率为
，故选
7. 已知，若
的取值范围是 A.
B.
C.
D.
参：
【知识点】指数函数幂函数B6 B8
【答案解析】C ∵
，f（x0）＞1，∴当x0≤0时，f（xx
0）=(
)0＞
1=()0，解得x0＜0；当x0＞0时，f（x0）=＞1，解得x0＞1．综上所述，x0的取值范围是（-
∞，0）∪（1，+∞）， 故选C．
【思路点拨】由，f（x0）＞1，知当x0≤0时，f（x0）=(
)x0＞1=()0，当
x0＞0时，f（x0）=＞1，由此能求出x0的取值范围．
8. 在
中，角A，B，C所对边分别为
，且
，面积
，则等于
( )
A. B.5 C.
D.25
参：
B
9. 正四面体ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点依次记为E，F，G，H．直线EG与FH的关系是（ ）A．相交且垂直 B．异面且垂直 C．相交且不垂直
D．异面且不垂直
参：
A
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】根据中位线定理即正四面体的性质得出四边形EFGH是菱形，从而得出结论．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点． ∴EF
，HG
AC，EH
BD，FG
BD，
又∵AC=BD，
∴四边形EFGH是菱形， ∴EG⊥FH，EG与FH相交． 故选：A．
10. 命题“若p则q”的逆命题是
（A）若q则p （B）若p则
q
（C）若
则
（D）若p则
参： A
根据原命题与逆命题之间的关系可得:逆命题为“若，则
”，选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于任意实数a、b，定义min{a，b}＝
，设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝
log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．
参： 1 略
12. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 .
参：
13. 已知集合
，则实数a的值为_____.
参：
2
14. 若三角形的三个内角的弧度数分别为
，则
的最小值为 ▲ ．
参：
略
15. （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为 ．（用数字填写答案）
参：
0
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】根据展开式中x4y4的得到的两种可能情况，利用二项展开式的图象解答． 【解答】解：（x+y）（x﹣y）7的展开式中x4y4的项为x×
+y（﹣1）3
，所以系数为
=0；
故答案为：0．
16. 函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）= ．
参：
（x＞﹣2）
考点：反函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．
解答： 解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，
把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．
故答案为：
（x＞﹣2）．
点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．
17. 已知点P是平面区域M：内的任意一点，P到平面区域M的边界的距离之和的取
值范围为 ．
参：
[]
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】设出P点坐标，得到P到可行域三边距离，由表达式看出，当a，b同时取得最小值0时，P到平面区域M的边界的距离之和有最小值；在数形结合得到动点在线段AB上时P到平面区域M的边界的距离之和有最大值，进一步转化为一次函数求得最大值． 【解答】解：设P（a，b）（a≥0，b≥0，），
则P到三角形三边距离之和为L=|a|+|b|+ =
=
．
∴当a=b=0时，L有最小值为
；
由图可知，在可行域内取点P，过P作PE⊥x轴，过P作PF⊥y轴，作PP′⊥AB于P′， 过P′作P′G⊥x轴于G，作P′作P′H⊥y轴于H， 则有PE+PF+PP′≤P′G+P′H， 由a≥0，b≥0，， 得a+b=a+=（1﹣
）a+．
∴当a=0时，
．
∴P到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为[]．
故答案为：[
]．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）
设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x.
（I）求f (π)的值；
（II）当－4≤x≤4时，求f (x)的图像与x轴围成图形的面积 参：
解：（1）由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)，故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对
称，则f(x)的图像如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝
4S△OAB＝4×＝4.
19. 已知函数
.
（1）求函数的单调递增区间； （2）设的内角
的对边分别为a、b、c，若c=，求
a,b的值
参：
略
20. （10分）（2015秋?黄冈月考）设命题p：?x∈，
﹣lnx﹣a≥0，命题q：?x0∈R，使得
x2
0+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
参：
考点： 复合命题的真假．
专题： 导数的综合应用；简易逻辑．
分析： 命题p：
，令
，利用导数研
究其单调性极值与最值，即可得出；命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=≥0，基础a的范围．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．即可得出．
解答： 解：命题p：，
令
，
=
，
∴fmin（x）=f（1）=，
∴
．
命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=4a2+24a+32≥0，∴a≤﹣4，或a≥﹣2． 命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真． （1）当p真q假，﹣4＜a＜﹣2；
（2）当p假q真，
综合，a的取值范围
．
点评： 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究其单调性极值与最值、一元二次方程有实数根
与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；
（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．
参：
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角． 【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，
（2）设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值．
【解答】解：（1）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），B（0，2，0），M（0，1，）， 所以
=（1，1，0），=（0，2，﹣1），|
|=
，|
|=
，
=2，
cos（
，
）=
=
，
（2）=（1，﹣1，0），=（1，1，0），
=（0，1，），
设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即
，
令x=1，则y=﹣1，z=2， 所以=（1，﹣1，2），
则cos＜，＞===，
设直线BC与平面ACM所成的角为α，
则sinα=sin[﹣＜，＞]=cos＜，＞=．
【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．
22. （12分） 已知
（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)＜a2-3对任意的恒成立，求实数a的取值范围。 参：
解析：（Ⅰ）
令=0，
∴x=1 ················3分 当0＜x＜1时，
＞0，
单调递增；
当1＜x＜2时，
＜0，单调递减。
∴f(x)的单点增区间为（0，1），f(x)的单调减区间为（1，2） ···············6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x=1时，f(x)取得最大值，即f(x)max=a-1 ···············8分
∵f(x)＜a2-3对任意的恒成立
∴a-1＜a2-3， ···············10分 解得a＞2，a＜-1
∴a的范围为（-∞，-1）∪（2，
+∞） ···············12分
