平面向量基础知识点总结

基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----AB(几何表示法)； ②用字母a、b等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。ax2y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则ABx2x1,y2y1，AB(x2x1)2(y2y1)2 3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

a|a|就是单位向量）

0,b与a同向方向---0,b与a反向性质：a//b(b0)ab(是唯一） 长度---|a|b a//b(b0)x1y2x2y10 （其中 a(x1,y1),b(x2,y2)）

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为性质：abab0

abx1x2y1y20 （其中 a(x1,y1),b(x2,y2)） 6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

ACab（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

2

DBab

三角形法则

——加法法则的推广： ABnAB1B1B2……Bn1Bn

即n个向量a1,a2,……an首尾相连成一个封闭图形，则有a1a2……an0 ②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a 差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a b

加法首尾相连减法终点相连,方向指向被减数

b= a+ (b)；

③平面向量的坐标运算：若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论： （1）若AD1(ABAC)，则D是AB的中点 2（2）或G是△ABC的重心，则GAGBGC0 7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB| 2、模的求法：

若 a(x,y)，则 |a|x2y2

22若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|(x2x1)(y2y1) 3、性质：

22（1）|a|2a； |a|b(b0)|a|b （实数与向量的转化关系） 22（2）ab|a||b|，反之不然

2（3）三角不等式：|a||b||ab||a||b| （4）|ab||a||b| （当且仅当a,b共线时取“=”）

即当a,b同向时 ，ab|a||b|； 即当a,b同反向时 ，ab|a||b| （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

2222即2|a|2|b||ab||ab|

8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；

（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

交换律：abba;

分配律：(ab)cacbc (a)·b=(a·b)=a·(b);

——①不满足结合律：即(ab)ca(bc)

②向量没有除法运算。如：abcbac，（4）已知两个非零向量a,b，它们的夹角为，则

aa都是错误的 abb2ab =|a||b|cos

坐标运算：a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y2 （5）向量ABa在轴l上的投影为：

︱a︱cos， （为a与n的夹角，n为l的方向向量） 其投影的长为AB//an|n| （

n为n的单位向量） |n|（6）a与b的夹角和ab的关系：

（1）当0时，a与b同向；当时，a与b反向

ab0ab0 （2）为锐角时，则有； 为钝角时，则有

a,b不共线a,b不共线9．向量共线定理：

向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

λa。

10．平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积：

①a·b=| a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。 ②|b|cos称为b在a的方向上的投影。

③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。

④若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则a•bx1x2y1y2

⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。 ⑥a和b的夹角公式：cos=

a•bab＝

x1x2y1y2x1y221

22xy2222⑦a•aa|a|2=x2+y2，或|a|=

xya22⑧| a·b |≤| a |·| b |。

(x1x2x3y1y2y3,)

3312.两个向量平行的充要条件：

符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb

x1x2坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，

yy21或x1y2-x2y1=0

在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。 |λ|=

|a||b|，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。

这就是实数乘向量中λ的几何意义。 13.两个向量垂直的充要条件：

符号语言：a⊥ba·b=0

坐标语言：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0



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