广西壮族自治区崇左市县中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是（ ） A．10 B．12 C．13 D．14

参：

D

【考点】数列的应用．

【分析】由题意可知，此数列由一个1，两个2，3个3…组成，欲求第100项，需求自然数列前n项和不大于100时的最大n值，再列举出第100项． 【解答】解：因为1+2+3+…+n=n（n+1）， 由n（n+1）≤100， 得n的最大值为13，

即最后一个13是数列的第91项， 而14共有14项， 所以，第100项应为14． 故选D．

2. 设i为虚数单位，则复数的虚部是（ ）

A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i

参：

C

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则答案可求．

【解答】解： =，则复数的虚部为﹣1．

故选：C．

3. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积

为1，则双曲线的方程是

A．

B．

C． D．

参： B 略

4. 直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )

A. 9

B. 1

C. 4

D. 10

参：

A 【分析】

将点的坐标代入直线方程：

，再利用乘1法求最值

【详解】将点的坐标代入直线方程：

，

，当且仅当时取等号

【点睛】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。 5. 在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=（ ） A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

参：

C

【考点】余弦定理．

【分析】本题考查的知识点是余弦定理，观察到已知条件是“在△ABC中，求A角”，固这应该是一个解三角形问题，又注意到a2=b2+bc+c2给出的三角形三边的关系，利用余弦定理解题比较恰当． 【解答】解：∵a2=b2+bc+c2 ∴﹣bc=b2+c2﹣a2

由余弦定理的推论得：

=

=

又∵A为三角形内角 ∴A=120° 故选C

6. 如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）

A. B. C. D.

参：

D

7. 给出下列结论：

(1) 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；

（2）在回归分析中，可用指数系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果

越好；（其中） （3）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效

果越好；

（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．

以上结论中，正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

参： C 略

8. 若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（ ） A．

B．

C．2

D．2

参：

A

【考点】两点间的距离公式．

【分析】联立

，解得交点（1，2），代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．再利用两点之间的距

离公式、二次函数的性质即可得出．

【解答】解：联立

，解得x=1，y=2．

把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．

∴m=﹣5﹣2n．

∴点（m，n）到原点的距离d==

=

，当n=﹣2，m=﹣1时，

取等号．

∴点（m，n）到原点的距离的最小值为

． 故选：A．

9. 已知函数

有极大值和极小值，则实数的取值范围是 （ ）

A．

B．

C．

或

D．

或

参：

D

10. 若

，且

，则下列不等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．

13. 已知直线，直线平面，则直线与平面的位置关系是 _______.

参：

D

参：

略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，正

的中线AF与中位线DE相交于点G，已知

是

绕边DE旋转

14. 两条平行直线与间的距离是_________．

形成的一个图形，且

平面ABC，现给出下列命题：

①恒有直线平面； ②恒有直线平面； ③恒有平面

平面

。

其中正确命题的序号为____________________。 参： ①②③

略

12. 已知点A（-4，-5），B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程

参：

参：

略 15. 若函数

在

上是单调函数，则的取值范围是____________。

参：

16. 函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在区间（-∞，）内单调递减，则a的取值范围

是 ．

参：

(－∞，－1]． 17. 在△ABC中，分别为三个内角A , B ,C所对的边，设向量

，

若

，则角 A 的大小为

参：

60

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. （2016秋?湛江期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c?cosA+a?cosC=2b?cosA．（Ⅰ）求cosA； （Ⅱ）若

，b+c=4，求△ABC的面积．

参：

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．

（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）

代入c?cosA+a?cosC=2b?cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA

即：sin（A+C）=2sinBcosA?sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…

（Ⅱ）由余弦定理

，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）

上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．

所以△ABC的面积是

．…（10分）

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19. （12分）圆具有性质：设M、N是圆C：x2

+y2

=r2

关于原点对称的两个点，P是圆C上任意一点，直

线PM，PN的斜率kPM，kPN存在，则kPM?kPN=﹣1，类比上述性质，在椭圆C：+=1中，写出相类似

的性质，并给出证明．

参：

由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即kPM?kPN=﹣，

证明如下：设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（﹣m，﹣n），进而可知，

又设点P的坐标为（x，y），

则kPM=

，kPN=

∴kPM?kPN=

，?

=

，

将y2=b2（1

﹣

），n2=b2

（1﹣

）代入得kPM?kPN=﹣

．

20. 已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点

（1）分别过A，C两点作抛物线E的切线，求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直；

（2）过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值.

参：

（1）设过点

的直线方程为

，

，

由

得，即

.

恒成立，则

-------2分

设抛物线E在A、C两点处的切线的斜率分别为，

由得

令得， 同理得

--------4分

则

.

故抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直. ---------------6分

（2）由（1）知

，

同理得

， ------------------8分

=32 -----10分

当且仅当即时取等号

∴四边形ABCD的面积的最小值为32. ---------------------12分

21. 设是一个公差为2的等差数列，

成等比数列.

(1) 求数列的通项公式； (2) 数列满足

，设

的前n项和为，求.

参：

解：（Ⅰ）由a1,a2,a4成等比数列得：（a1+2）2=a1(a1+6). ----------- 2分

解得a1＝2…4分 数列{an}的通项公式是an=2n(n∈N*) ------------------6分 （Ⅱ）

=n·22n

=n·4n(n∈N*)Sn=1·4+2·42+…+n·4n ①4Sn=1·42+…+（n-1）4n+n4n+1②, ①-②得-3Sn=

-n·4n+1

，即Sn=

-----------12分

22. 已知函数（

），

（）.

（1）讨论

的单调性；

（2）设，

，若（）是的两个零点，且，试问曲线

在点

处的切线能否与轴平行？请说明理由.

参：

（Ⅰ）

(1)当

时，

，

在

单调递增，

(2)当时， 有

(Ⅱ)

假设

在

处的切线能平行于轴.

∵

由假设及题意得：

 



④

由-得，

即

由④⑤得，

令，

.则上式可化为，

设函数

，则

,

所以函数在

上单调递增.

于是，当所以

在

时，有

，即

与⑥矛盾.

处的切线不能平行于轴.