(版)北师大版七年级下册第12讲轴对称图形尖子班

第12讲轴对称图形

轴对称现象 轴对称性质

轴对称图形

线段垂直平分线 设计图案

知识点1轴对称现象

1.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的局部能够互相重合，那么称这个图形是

轴对称图形.

2.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于

这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴

【典例】

.

1.以下图形中，是轴对称图形的是 ____________，其中只有1条对称轴的是________，有3

条对称轴的是________，有2条对称轴的是________．〔只要求写图形序号〕

【答案】〔1〕〔2〕〔3〕；〔1〕；〔2〕；〔3〕

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【解析】解：观察上述几幅图可发现， 〔1〕〔2〕〔3〕都可以沿某条直线翻折，且直线两旁的

局部能够完全重合，都是轴对称图形 .

画出它们的对称轴如下：

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1

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其中只有

故答案为：〔1〕〔2〕〔3〕；〔1〕；〔2〕；〔3〕．

【方法总结】

判断一个图形是否是轴对称图形， 只需把这个图形沿着某条直线翻折，

能够互相重合，那么它是轴对称图形，反之那么不是轴对称图形

2.如下图的图形中，属于轴对称图形的有

__________________．

1条对称轴的是〔 1〕，有3条对称轴的是〔 2〕，有2条对称轴的是〔 3〕．

如果直线两旁的局部

.

__________________；两个图形成轴对称的有

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【答案】①③④⑧⑩；②⑤⑦⑨

【解析】解：属于轴对称图形的有 ①③④⑧⑩；

两个图形成轴对称的有 ②⑤⑦⑨．

故答案为：①③④⑧⑩；②⑤⑦⑨．

【方法总结】

轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系：

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2

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【随堂练习】

1．〔2021秋?和县期末〕如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于

直线l对称，那么这个英语单词的汉语意思为 ____．

【解答】解：如图，

这个单词所指的物品是书．

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3

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故答案为：书．

2．〔2021?大连一模〕如图，四边形

ABCD中，AB=BC，点C关于BD的对称点

E恰好落在AD上，假设∠BDC=α，那么∠ABC的度数为______〔用含a的代数式

表示〕．

【解答】解：如下图，连接

BE，

∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上， BC=BE=AB，DE=DC，

∴△BCD≌△BED，∠A=∠AEB，

∴∠BCD=∠BED，

又∵∠BED+∠AEB=180，°

∴∠A+∠BCD=180°，

∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，

又∵∠ADC=2∠BDC=2α，

∴∠

ABC=180°﹣2α，

故答案为：180﹣°2α．

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4

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3．〔2021春?肇源县期末〕如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后， B、D两

点落在B′、D′点处，假设得∠AOB′=70，°那么∠B′OG的度数为_____．

【解答】解：根据轴对称的性质得：

∠B′OG=∠BOG 又∠ AOB′=70，°可得∠B′OG+∠BOG=110°

∴∠

B′OG=×110°=55．° 知识点

2

轴对称的性质 对应点：折叠后重合的点；

对应线段：折叠后重合的线段；

对应角：折叠后重合的角

. 轴对称的根本性质：

成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称轴垂直平分，等，对应角也相等，且关于直线对称的两个图形全等

. 【典例】

如图，△ABC和△A′B′关C于′直线m对称，〔1〕结合图形指出对称点．

〔 2〕找出其中相等的线段和相等的角.

〔3〕连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

【解析】解：〔1〕由图可知，对称点有

A和A′，B和B′，C和C′；

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对应线段相 5

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〔2〕相等的线段： AB=A′B，′AC=A′C′,BC=B

′C′;

相等的角：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′;〔3〕连接AA′，线段AA′被直线m垂直平分.

【方法总结】

1.此题考查了轴对称的性质，准确掌握对应点、对应线段的含义是解题的关键，还需清楚，

对应点的连线被对称轴垂直平分 .

2.两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形全等 .

注：关于直线对称的两个图形一定全等，而全等的两个图形不一定对称 .

2.如图，将四边形纸片 ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点 周长为12，△ECF的周长为

3，求四边形纸片

ABCD的周长.

【答案】略

【解析】解：由折叠的可知， △ABE和△AFE关于直线 AE对称，

那么△ABE≌△AFE.

AF=AB

，EF=BE．

四边形纸片 ABCD的周长为:

CABCD=AB+BC+CD+AD

=AB+

〔BE+CE〕+〔CF+DF〕+AD

AF=AB

，EF=BE ∴原式=AF+EF+CE+CF+DF+AD

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F处．假设△AFD的

6

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=〔AF+DF+AD〕+〔EF+CE+CF〕

=C△AFD+C△CFE

∵△AFD的周长为 12，△ECF的周长为3，

∴CABCD

=C△AFD+C△CFE

=12+3

=15.

故四边形

ABCD的周长为 15cm．

【方法总结】

此题考查的是图形的翻折〔轴对称的一种〕

，沿着翻折的那条线所在的直线相当于我们的对 称轴，根据轴对称的性质可知，

翻折前后的图形是全等的，

从而可得出一些线段之间的相等 关系，再将找到的这些相等关系和要求的线段之间建立联系，进行求解

. 【随堂练习】

1．〔2021秋?嘉祥县期末〕如图，点

P关于OA、OB的对称轴分别为

C、D，连

结CD，交OA于M，交OB于N．

1

〕假设CD的长为18厘米，求△PMN的周长； 2 〕假设∠AOB=48°，求∠MPN

【解答】解：〔1〕∵点P关于OA，OB的对称点分别为 C、D，连接CD，交 OA于M，交OB于N，

∴ PM=CM，ND=NP，

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7

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∵△ PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，

∴△PMN的周长=18cm；

2〕PC交OA于R，PD交OB于T

∵P关于OA、OB的对称点是点C、D

OA

垂直平分PC，OB垂直平分PD CM=PM，PN=DN

∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，

∵∠PRM=∠PTN=90°，

∴在四边形OTPR中，

∴∠CPD+∠O=180°，

∴∠CPD=180°﹣48°=132°

∴∠C+∠D=48°

∴∠ MPN=180°﹣48°×2=84．°

2．〔2021秋?南昌期中〕如图，O为△ABC内部一点，OB=3，P、R分别是点O

关于直线AB、直线BC的对称点．

1

〕当∠ABC为多少度时，PR=6，并说明理由；

（ 2〕当∠ABC不是〔1〕中的角度时，PR的长是小于6还是大于6，为什么？

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【解答】证：〔1〕当∠ABC=90°，PR=6，其理由是：

连接 BP、BR．

∵P、O关于直线AB对称，

PB=OB=3

，∠PBA=∠OBA． ∵R、O关于直线BC对称，

RB=OB=3

，∠RBC=∠OBC． ∵∠

ABC=90°， ∴∠PBA+∠OBA+∠OBC+∠RBC=2〔∠OBA+∠OBC〕=180°．

P

、R、B三点在同一条直线上 PR=PB+BR=3+3=6．

〔2〕PR的长度小于6．

理由如下：当∠ABC≠90时°，点P、B、R三点不在同一直线上，

所以，PB+BR＞PR，

PB+BR=2OB=2

×3=6， 所以， PR＜6．

3．〔2021秋?东平县月考〕如图，P在∠AOB内；点M，N分别是点P关于AO，12 / 2512

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BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，假设△PEF的周长为15，求MN的长．

【解答】解：∵点M是点P关于AO，的对称点， AO垂直平分MP，

EP=EM．

同理PF=FN． MN=ME+EF+FN，

∴MN=EP+EF+PF，

∵△PEF的周长为15，

∴MN=EP+EF+PF=15．

知识点3线段的垂直平分线

1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

.

2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 .

.

3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

【典例】

1.关于线段的垂直平分线有以下说法：

①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；

②线段的垂直平分线是一条直线；

③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；

10

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④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

.

其中，正确的说法有〔

〕 A.

3个

个

个

个 【答案】

B 【解析】解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；

②线段的垂直平分线是一条直线，正确；

③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．

错误，线段有2条对称轴：还有它本身 所在的直线．

④⑤是线段垂直平分线的性质和判定，正确

. 正确的个数是

4个. 应选：

B． 【方法总结】

1.

此题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：

条件

1，直线和线段垂直； 条件

2，直线经过线段的中点

. 2. 此题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定

.

2.

如图，直线 CD是线段AB的垂直平分线， P为直线CD上一点，假设△PAB的周长为PA=4，那么线段 AB的长为______．

14 / 2514

，

11

14

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【答案】6

【解析】解：直线CD是线段AB的垂直平分线， PA=4，

PA=PB=4，

∵△PAB的周长为 14，

PA+PB+AB=14，

4+4+AB=14，

AB=6．

故答案为：6．

【方法总结】

此题考查了垂直平分线的性质， 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出

相等的线段，再将题中给出的三角形周长表示出来，建立线段之间的关系，进而求解出待求

的线段长.

【随堂练习】

1．〔2021?大渡口区二模〕如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+ BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，那么AF=___．

【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，

12

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D是AB的中点，DE⊥AB，

∴DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，∴∠ACE=∠ECG，

又∵EF⊥AC，EG⊥BC，

EF=EG

，∠FEC=∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG，

CF=CG，

在Rt△AEF和Rt△BEG中，

，

Rt

△AEF≌Rt△BEG〔HL〕，

AF=BG，

设CF=CG=x，那么AF=AC﹣CF=12﹣x， ∴12﹣x=8+x，

解得x=2，

∴AF=12﹣2=10．

故答案为：10．

BG=BC+CG=8+x， 16 / 2516

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2．〔2021?西城区二模〕如图，在四边形 ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB

于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．

【解答】解：连接BD，

E

为AB的中点，DE⊥AB于点E， ∴AD=BD，

∴∠DBA=∠A，

∵∠A=66°，∴∠DBA=66°，∵∠ABC=90°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=24°

AD=BC，

BD=BC，

∴∠C=∠BDC，

∴∠C=

=24°．

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3．〔2021春?西安期末〕如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延

长线上一点，连接

DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．

1

〕求证：DF是线段AB的垂直平分线； 2 〕当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．

【解答】〔1〕证明：∵∠A=∠ABE，

EA=EB

， ∵AD=DB，

DF

是线段AB的垂直平分线；

2

〕解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，

∴∠ EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．

知识点

4设计图案 【典例】

1.

如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴

对称图形，并画出相应的对称轴．

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【解析】解：参考图如以下图：

【方法总结】

此题是根据轴对称的概念对图形进行设计，

可以先在图中确定一条对称轴，

再添加相应的正 方形；也可以先添加好正方形，再画对称轴进行验证

. 【随堂练习】

1

．〔2021春?永新县期末〕如图，在正方形网格上有一个

△ABC． 1

〕画出△ABC关于直线MN的对称图形〔不写画法〕； 2 〕假设网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

【解答】解：〔 1〕如下图：△DEF即为所求；

〔2〕△ABC的面积：4×5﹣ ×4×1﹣×5×3﹣×4×1=20﹣﹣﹣．

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2．〔2021春?内乡县期末〕如图，点P在∠AOB内，请按要求完成以下问题．

〔1〕分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、

F；

〔 2〕假设△PEF的周长为20，求MN的长．

【解答】解：〔 1〕如下图：

2

〕∵点P与点M关于AO对称，点P与点N关于BO对称，∴EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20cm．

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综合运用

1.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂

黑一个，使整个图案〔包括网格〕构成一个轴对称图形，那么涂色的方法有______种

2. 如图，四边形

【答案】5种

【解析】解：如图：

可得使整个图案〔包括网格〕构成一个轴对称图形，那么涂色的方法有

5种．

ABCD中，AC垂直平分 BD，垂足为E，以下结论不一定成立的是 〔 〕

A.AB=AD

B.AC平分∠BCD C.AB=BD D. △BCE≌△DCE

【答案】 C. 【解析】解：∵AC垂直平分 BD，

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AB=AD

，BC=CD，选项A正确， ∵在△ABE和△ADE中， AB BE ADAE DE AE

∴△ABE≌△ADE, ∴∠BAE=∠DAE,

∴

AC平分∠BCD，选项B正确， ∴∠

BCE=∠DCE， 在Rt△BCE和Rt△DCE中，

BE ED

BC CD

,

∴

Rt△BCE≌Rt△DCE〔HL〕，选项D正确，应选：C．

2. 如下图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】解：轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，

能够与另一个图形重合．

轴对称图形的概念： 如果一个图形沿着一条直线折叠后两局部完全重合，

这样的图形叫做轴

对称图形．

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根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可知，

图〔1〕〔3〕〔4〕〔6〕〔8〕〔10〕是轴对称图形；图〔2〕〔5〕〔7〕〔9〕成轴对称．

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．试说明BC=2AB．

【解析】证明：∵DE是BC的垂直平分线，

BE=EC ，DE⊥BC，

∵∠A=90°，

DA⊥AB．

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴DA=DE，

又∵BD=BD，

∴△ABD≌△EBD，

AB=BE ，

BC=2AB．

4.，如图，

BD是∠ABC的平分线，足分别是 M、N．试说明：PM=PN．

AB=BC，点P在BD上，23 / 2523

PM⊥AD，PN⊥CD，垂

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【解析】证明：

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

AB BC 在△ABD和△CBD中， ∠ABD ∠CBD，BD BD

∴△ABD≌△CBD〔SAS〕，

∴∠

ADB=∠CDB，

∵点

P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴

PM=PN． 5.

如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，假设求 DE的长．

【解析】解：∵

BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC， DE=DF ， ∵∴S△ABC=28，AB=6，BC=8， S△ABC

S△ABD

S△BCD

126DE128DF28，

∴ 7DE=28．

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S△ABC=28，

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22∴ ∴ ∴

∴ DE=4．