维普资讯 http://www.cqvip.com 第２４卷第１期 长沙交通学院学报 ． Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．１ ２ ００８年３月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＡＮＧＳＨＡ ＣＯＭＭＵＮＩＣＡ￣ＯＮＳ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｍａｒ．２ｏＯ８ 文章编号：１０００—９７７９（２００８）Ｏ１—００８１一ｏ４ 无约束优化问题的非单调自适应信赖域算法 李树君 ，张红霞 （１．长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙４１００７６； ２．中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙４１００７５） 摘要：对无约束优化问题提出一种非单调自适应信赖域算法，每次迭代充分利用当前的迭 代点包含的一次导数的信息自动产生一个信赖域半径．在一定的条件下，证明了该算法的收 敛性，并通过数值实验验证了该算法的有效． 关键词：无约束优化；自适应信赖域算法；非单调算法；全局收敛性 中图分类号：０２２１．２ 文献标识码：Ａ Ｎｏｎｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｒｕｓｔ－ｒｅｇｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ＬＩ Ｓｈｕ－ｊｕｎ ，ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇ—ｘｉａ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７６，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｅｎｔｒｌａ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｏｎｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｒｕｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ ｔｒｕｓｔ ｒａｄｉｕｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｅｆｆｅｃ— ｔｉｒｅ。 Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｒｕｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｈｔｍ；ｎｏｎｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｌｇｏｒｉｈｔｍ；ｇｌｏｂａｌ ｃｏｎ— ｖｅｒｇｅｎｃｅ 考虑无约束优化问题 ｍｉｎｆ（Ｘ）． （１） 其中ｆ：Ｒ 一Ｒ是二次连续可微函数．信赖域方法是一种迭代的方法，每次迭代要求计算信赖域子问题 ｍｉｍｐ （ｄ）＝ｇＴｄ＋ ，ｓ＿ｔ＿ ｌＩ≤△ ． （２） 其中ｇ ＝Ｖｆ（ｘ ），Ｂ 是近似于Ｈｅｓｓｉａｎ阵Ｖ ）的对称矩阵，△ 是信赖域半径。 传统的信赖域算法都是根据实际下降量与预测下降量的比值，人为的按常数倍来调节信赖域半径， 完全没有利用当前迭代点 处ｇ ，Ｖ Ｘ ）等信息，初始信赖域半径也只是不加分辨的给出一个常量 基于此，许多自适应信赖域算法被提出 加 ，Ｓａｒｔｅｎａｅｒ 提出了一个自动确定初始信赖域半径的ＩＴＲＲ 算法，Ｚｈａｎｇ［２］等提出了一种新的自适应信赖域算法信赖域半径选取机制为△ ＝ ，其中。＜ｃ＜ 收稿日期：２００７—１０—２１ 作者简介：李树君（１９８０一），男，长沙理工大学硕士生。 维普资讯 http://www.cqvip.com
８２ 长沙交通学 院学报 第２４卷 １， ＝ｒａｉｎ… ｌ，１｝．之后，他ｆｉＬＥ提出△ ＝ ｇ ｋＤ暹 的信赖域选取机制 ］，其中Ｐ为非负整数， 是 使得 ＝Ｂ ＋ 是正定矩阵的最小非负整数．其他的自适应半径选取机制可参考文献［４—７］．作者修 正了Ｌｉ 提出的信赖域选取机制，该选取机制充分利用前面迭代点的信息，且不需要计算含 就能获得 个自适应的信赖域半径，与文献［２，３，５—７］相比，在一定程度上减少了算法的计算量，同时也避免了 文献［４］中当ｇ ＝ｇ ≠０时△ ：。。的情形．结合自适应信赖技术和非单调的思想给出了求解问题式 一（１）的一种新算法． １非单调自适应信赖域算法 通过求解信赖域子问题式（２）可以得到试探步ｄ ，在此基础上，引入非单调的思想，定义 （ ）＝ ｆ（ｘ姒）） ｍ。 ， ａｘ Ｈ），其中ｒｅ（Ｏ）：０，０≤ｍ（尼）＜￣ｍｉｎ｛ｍ（ｋ一１）＋１， ｝，尼≥１，Ｍ是非负常整数・实 际下降量定义为Ａｒｅｄ￣＝厂（ ｍ））一厂（ ＋ｄ ），预测下降量为Ｐｒｅｄ ： （０）一 （ｄ ）．具体算法为： 步骤１ 给定Ｘ０∈Ｒ“，Ｂｏ∈Ｒ “， ＞０，０＜叼＜１，０＜Ａ＜１，Ｍ＞０，令ｍ（ｏ）＝０，ｉ＝０，尼：：０． 步骤２若ｌＩ ｇ ｌＩ≤ ，则终止算法． 步骤３ 取△ ＝Ａ ｍｉｎ｛可 ｌ ｌ＇ｌ Ｉ），求解信赖域子问题式（２）得到试探步 ，计 酋Ａｒｅｄ￣ 畀 ．一Ｐｒｅｄ一‘ ｋ步骤４若 ≥叼，则 ＝ ＋ｄ ，ｍ（ｋ＋１）：ｒａｉｎ｛ｍ（ｋ）＋１，Ｍ｝；否则，ｉ＝ｉ＋１，转步骤２． 步骤５修正 ， ０，尼：＝ｋ＋１，转步骤２． ２算法的收敛性分析 假设１ Ｈ ）对任意的ｋ，存在有界闭集 使得 ， ㈩∈ ． ） ）是一致连续的， ）和 是一致有界的．即对Ｖｋ， Ｋ＞０使得：ｌｌ ｌｌ＜Ｋ成立，且ＩＩ ）ｌｌ＜Ｋ也成立． １［１。 。（ ）≥ Ｉ ａｒｉｎ ）． 引理２ Ａｒｅｄ —Ｐｒｅ ＝０（Ｊ ＩｌＩ ）． 引理３非单调自适应信赖域算法是适定的，即该算法中步骤２和步骤４之间的内循环有限终止． 证明假设结论不成立，即该算法中步骤２和步骤４之间的内循环不有限终止．令ｋ（ ）为 处第ｉ 次内循环，则Ｆｋｆｆ）≤叼， ＝１，２，…，而且△ （ ） ， ＿÷。。． 又由引理１，２得： －Ｊｌ Ｐｒ ｅｄ 『“） ｌ ＿ ０ｌ （ ）一 （ｄ （ ））ｌｌ ≤。 ｌｍ０ｉ（ｎ△ ， ） 而Ｉ ｇ￣Ｉ）… 故当ｉ－－￣ｏｏ时，Ｉ （ ）一１ Ｉ ，即 （ ）－－－＋Ｉ，与 ）≤叼＜１矛盾．所以假设不成立，该算法是适定的． 引理４若假设１成立，则对ｖ尼， 一Ｃｋ＞０满足：一 （ ）≥ ｌＪ ｇ ＩＩ ２． 证明 由假设１和引理１得： （ ≥ １ ＩＩ ａｒｉｎ ｝≥ ｍｉｎ Ａ￣ｍｉｎ｛ ）， ）≥ 维普资讯 http://www.cqvip.com
第１期 李树君，等：无约束优化问题的非单调自适应信赖域算法 １ Ｉ ｌｇ Ｉ［２ｍｉｎ｛Ａ ｍｉｎ｛ ，－）， ）≥ Ｉｌ ｇ ｌ Ｉ・ 其中 ＝ ｉｎ｛Ａ ｍｉｎ｛１， ｝，１｝，Ａ 表示 处内循环结束时Ａ的值・故引理４是成立的・ 引理５ 引 Ｉｆ， ｝是单调非增且收敛的． ．定理１若假设１成立且 ＝Ｏ，则该算法要么有限终止于某个ｌＩ ｇ ｌＩ＝Ｏ，要么产生无穷点列，使 得： ｌ帅ｉｎｆｌ Ｉｇ ｌＩ＝Ｏ． ∞ 证明若结论不成立，￣ｌｉ．ｍｉｎｆ ｌＩ ｇ ｌＩ≠ｏ，则对任意后，存在 ｏ＞９使得ｌ Ｉｇ ｌＩ≥ ｏ．由引理４可知： Ｐｒｅ ＝一 （ ）≥ Ｉｌ ｌＩ ≥ ｉｎ｛Ａ ｍｉｎ｛１， ｝，１｝ ＞ｏ・ （３） 由非单调自适应信赖域算法的步骤４和式（３）可得： ｆ（ｘｆ（＾））一ｆ（ｘ ＋ ）￣＞－ｑＰｒｅｄ ≥ ｉｎ｛Ａ＾ｍｉｎ｛１，ｔｑ，ｌ｝ ｚ＞ｏ・ 即 ｆ（＾）） ＋ ）＋＆ｉｎ｛Ａ ｍｉｎ｛１， ｝，１｝ ，故可得： （ ＋ ））≤ （ （ ）））一２￣ａｎｉｎ｛Ａ （ ）ｍｉｎ｛１， ｝，１｝ ・ （４） 而｛ （ ）｝是收敛的，故式（４）表明：Ａｆ（＾） ． 令ｄ令ｆ 是子问题式（（＾）是子问题式（２）在△ ＝ ＝△ｆ（＾）＝ Ａ÷Ａｊｌ（”＾） ｍｉｎ｛ －ｉ Ｉ）时的解．由 算法的机制可知： ：—Ａｒ ｅｄｔ（￣）＜＇７．类似引理３中当ｉ一∞时ｌ ｒ＾㈤一１ ｌ— 的证明，可得当ｚ（后）一∞时 Ｐｒｅ ｄ （ ） ， 、， 、， 、 ． （ 一１，则当ｋ充分大时有 ＇７，这－－￣ｒ，（”＜＇７矛盾．故假设不成立，即有ｌ ｎｆ ｌＩ ｇ＾ｌＩ＝ｏ． ３数值实验 由给出的非单调自适应信赖域算法对文献［１１，１２］中１Ｏ个模型的数值实验结果，实验中采用 ＢＦＧＳ修正曰 ，其他参数的取法为： ＝１０～，田＝Ｏ．７５，Ａ＝Ｏ．１５，ｍ（Ｏ）＝Ｏ．在表１中，给出了文献［９，１Ｏ］ 中提供的模型名称，Ⅳ表示模型中变量的数量，ｆ－ｉｔｅｒ和ｇ－ｉｔｅｒ分别表示实验中目标函数及其梯度的迭代 次数， 表示非单调参数 表示按非单调自适应信赖域算法得到的目标函数的最优值． 表１数值实验结果 模型名称 Ⅳ Ｍ＝０ Ｍ＝５ ．１ ．１。 ＡＩＲＣＲＦＴＢ ６．８２１ ４ Ｘ１０一 ６．０２２ ０ Ｘ１０一 ＡＬＵＮＩＴＵ ５．７１５ ０ Ｘ１０。 ５．７１５ ４ Ｘ １０。 ＢＥＡＬＥ ６．２１３ １ Ｘ１０— ６．２１３ １ Ｘ１０—１５ ＢＩＧＧＳ６ ２．４２１ ８ Ｘ１０一 ２．２５９ ６ Ｘ１０一 Ｂ０Ｘ３ ６．９５５ ９ Ｘ １０一 ６．９５５ ９ Ｘ１０一 ＰＥＮＡＩ Ｙ—Ｉ ２．５００ ０ Ｘ１０一 ３．６６５ １ Ｘ１０－５ ＣＨＥＢＹＱＵＡ ７ １．４５０ ２ Ｘ１０－１３ １．８９５ ６ Ｘ１０一“ ０ＳＢ０ＲＮＥＡ ２２ ４．０１３ ８ Ｘ１０— ４．０１３ ８ Ｘ１０‘ ＭＡＮＣＩＮ０ １００ ３．４９７ ０ Ｘ１０— ８．６５９ １ Ｘ１０－１２ ＶＡＲＧＩＶＡＬ ５０ ７．８４９ ７ Ｘ １０。 ７．１２６ ５ Ｘ １００ 维普资讯 http://www.cqvip.com
长 沙交通学院学报 第２４卷 ］ ］ ］］］ ］ ］］） 三－ 数值结果表明，非单调信赖域算法求解此类问题具有较高的效率，特别是在迭代次数和精度上较之 传统的信赖域算法具有更好的结果，数值实验表明算法是稳定、可行的． 参考文献： ． ［１］Ｓａｒｔｅｎａｅｒ Ａ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｔｒｕｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｃｏｍｐｕ． ｉｒｎｇ，１９９７，１８（５）：１ ７８８—１ ８０３． Ｚｈａｎｇ Ｘ Ｓ，Ｃｈｅｎ ｚ Ｗ，Ｌｉａｏ Ｌ ｚ．Ａ ｓｅｌｆ－ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｕｓｒｔ ｒｅｉｏｎ ｇｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｏｐｅｒａｔｅ Ｒｅｓｅｒｃｈ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２００１，５（２）：５３—６２． Ｚｈａｎｇ Ｘ Ｓ，Ｚｈａｎｇ Ｊ Ｌ，Ｌｉａｏ ｚ．Ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｕｓｒｔ ｅｇｒｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ＂（Ｓｅｒｉｅｓ Ａ）， ２００２，４５（４）：６２０—６３１． 李改弟．一个自动确定信赖域半径的信赖域方法［Ｊ］．工程数学学报，２００６，２３（５）：８４３—８４８． 宇振盛，罗成新．带记忆信赖域方法的收敛性分析［Ｊ］．运筹与管理，２００４，１３（２）：１６—１９． Ｆｕ Ｊ Ｈ，Ｓｕｎ Ｗ．Ｎｏｎｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｒｕｓｔ－ｒｅｇｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐ￣ｅｄ Ｍａｔｈｅ－ ｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００５，１６３（５）：４８９—５０４． Ｓｈｉ ｚ Ｊ，Ｇｕｏ Ｊ ＨＩ Ａ ｎｅｗ ｔｕｓｔｒ ｒｅｉｏｎ ｍｅｔｇｈｏｄ ｆｏｒ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００７，２２（６）：１２６—１２８． 杨润生，李树君．一类优化问题的非单调信赖域算法［Ｊ］．运筹与管理，２００７，１６（５）：５３—５７． 袁亚湘，孙文瑜．最优化理论与方法［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９７． 陈小军，张１—７． 超．非线性方程组在几类计算问题中的应用［Ｊ］．长沙理工大学学报（自然科学版），２００６，３（４）： Ｄｉ Ｓ ａｎｄ Ｓｕｎ Ｗ．Ｔｒｕｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｍｏｄｅｌ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｕｎｅｏｎ－ ｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｏｆｔｗａｒｅ，１９９９，１２（６）：２３７—２６３． ［１２］ Ｍｏｒｅ Ｊ Ｊ，Ｇｒａｂｏｗ Ｂ Ｓ，Ｈｉｌｌｓｔｒｏｍ Ｋ Ｅ．Ｔｅｓｔ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｓｏｆｔｗａｒｅ［Ｊ］．ＡＣＭ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｏｆｔｗｈｒｅ，１９８１，７（１）：１７—２４． （上接第７６页） 参考文献： ［１］陈新．机械结构动态设计理论方法及应用［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９９７ ［２］Ｔｒｅｎｃｈ Ｗ Ｆ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｗｉｔｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｒ ｓｋｅｗ ｓｙｍｍｅｔｙ［Ｊ］．Ｌｉｒｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ｎｄ Ｉｔａｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２００４，３７７：２０７—２１８． ［３］周富照．几类约束矩阵方程及其最佳逼近［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００２． ［４］彭振赞．几类矩阵扩充问题和几类矩阵方程问题［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００３． ［５］ 伍华凤．一类约束矩阵方程问题和一类矩阵扩充问题［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００６． 关于子矩阵约束下矩阵方程问题的研究［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００６． ［６］ 龚丽莎．２００５． ［７］ 彭亚新．求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究［Ｄ］．长沙：湖南大学，ｖａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｅｅｎｔｏ‘ｓｙｍｍｅｔｒｒｉｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ［８］ Ｚｈｏｕ Ｆ Ｚ，Ｈｕ Ｘ Ｙ，Ｚｈａｎｇ Ｌ．Ｔｈｅ ｓｏｌ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ｎｄ ａＩｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２００３，３６４：１４７—１６０． ａｏ Ａ Ｐ．Ｂａｉ Ｚ Ｚ．Ｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆＡＸＢ＝Ｄ ｏｖｅｒ ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｅｍｉ－ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｉｒｃｅｓ ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏ Ｃｏｍ ［９］ Ｌｉｐｕｔａｆｉｏｎａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００３，２１（２）：１７５—１８２． ２００２，２４（１）：９—２０・ ［１Ｏ］ 廖安平，白中治．矩阵方程Ａ ＸＡ＝Ｄ的双对称最小二乘解［Ｊ］．计算数学，［１１］ ［１２］ Ｘｉｅ Ｄ Ｘ，Ｓｈｅｎｇ Ｙ Ｐ，Ｚｈａｎｇ Ｚ Ｚ．Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｂｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｅｍｉ－ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｒｅ‘ ８ｔｒｉｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００３，１２（１）：７１—８２． 田兆禄，谭艳祥，刘仲云．中心对称Ｍ一阵的线性方程组的迭代解法［Ｊ］．长沙交通学院学报，２００５，２１（２）：１－４． 周富照．中心对称矩阵的左右逆特征值问题［Ｊ］．长沙交通学院学报，２００４，２Ｏ（２）：１—６・ ［１３］ 赵人可，ｌｕｂ Ｇ Ｈ．Ｍａｔｉｒｘ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ：Ｔｈｅ Ｊｏｈｎｓ Ｈｏｐｋｉｎｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９６・ ［１４］ Ｇｏ
