圆规作图(经典)

無尺之圖—只用圓規的作圖

摘要：

數學課本在尺規作圖之後，提到了拿破崙用圓規四等分圓周，老師又說尺規作圖可以作的事，圓規作圖也可以作出來。我實在非常驚訝所以便開始進行圓規作圖的研究。

我先將蒐集到的資料中已經研究過的圓規作圖，依序模擬研究一遍，並加以證明。再將平常尺規作圖的一些圖，只用圓規在繪圖軟體GSP上作圖。

藉著實際作圖，我驗證了圓規作圖的可行性。不過也體會圓規作圖的複雜，所以每次挑戰出一種圖形之後，實在太有成就感！整個研究提升了我的幾何功力，這是我最大的收穫。

壹、研究大綱：

我們先將資料中已經研究過的圓規作圖，依以下順序模擬研究一遍：

一、等線段作圖 二、對稱點作圖 三、垂直作圖 四、平行四邊形作圖 五、反演點作圖 六、等分線段作圖 七、第四比例項作圖 八、弧中點作圖 九、圓與直線交點作圖 十、兩直線交點作圖

上列的十項作圖法，已經完成所有尺規作圖可以做到的圖，接著我們研究課程中常做的作圖：

十一、找線上其他點 十二、找圓心 十三、作垂足

十四、作角平分線 十五、作正方形 十六、作垂心 十七、作重心 十八、作內心 十九、作外心 二十、作五邊形 二十一、作九點圓 1

貳、研究過程：

我們先訂定A(BC)為以A為圓心，BC為半徑的圓。

一、給定A,B兩點，做出AB的任意整數倍。

(一)方法：做B(AB)和A(AB)交於一點C

做B(AB)和C(BC)交於一點D 做B(AB)和D(BD)交於一點E 則AE=2AB

將B當做原A，E當做原B， 則可做出AB的任意整數倍。

(二)證明：∵AB=AC=BC=BD=CD=BE=DE

∴∠ ABC=∠ CBD=∠ DBE=60° ∴∠ABC+∠ CBD+∠ DBE=180° ∴ABE三點共線，AE=2AB

如此類推，可做出AB的任意整數倍。

二、給定A,B,C兩點，C在AB外，做出C對AB的對稱點。

(一)方法：做A(AC)和B(BC)交於另一點D，

D即為所求

(二)證明：設AB和CD交於E

∵AC=AD ∴∠ ACD=∠ ADC

∵AC=AD，BC=BD，AB=AB ∴⊿ ABC⊿ ABD ∴∠ BAC=∠ BAD ∵AE=AE

∴⊿ ADE⊿ ACE

∴CE=DE，∠ CEA=∠ DEA ∴∠ CEA+∠ DEA=180° ∴∠ CEA=∠ DEA=90° ∴D為C對AB的對稱點

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三、給定A,B兩點，做出C點，使AC⊥AB。

(一)方法：做B(AB)和A(AB)交於一點D，

做BD往D方向延長一倍到C(作圖法1)， C即為所求。

(二)證明：∵AB=AD=BD

∴∠ B=∠ BAD=∠ ADB ∵CD=BD=AD

∴∠ ACD=∠ CAD=(180°-∠ ADC/2) =(180°-(60°+60°)/2)=30° ∴∠ CAB=∠ CAD+∠ BAD=90° ∴AC⊥AB

四、給定A,B,C為不共線三點，做出D點，使ABCD成為一平行四邊形。

(一)方法：做C(AB)和A(BC)交於一點D，D位於∠ ABC內側，

D即為所求。

(二)證明：∵AB=CD，AD=BC

∴ABCD成為一平行四邊形。

五、作圖法6─給定圓外一點A及O(OB)，做A對O(OB)的反演點D(即滿足若OA交O(OB)

於C，則OC2=OD*OA)

(一)方法：做A(AO)交O(OB)於E,F

做E(OE)，F(OF)交於另一點D， D即為所求。

(二)證明：∵EO=FO=ED=FD

∴OD為EF的中垂線 ∵AE=AF

∴A在EF的中垂線上 ∴A,O,D三點共線

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∵AE=AO，OE=DE

∴∠ AEO=∠ AOE=∠ DOE=∠ ODE ∴⊿ AEO⊿ EOD ∴AE:EO=EO:OD ∴EO2=AE*OD ∵AE=AO，EO=OC ∴CO2=AO*OD

六、給定A,B兩點，做C使nAC=AB(n為正整數,n≧2)

(一)方法：做AD=nAB(作圖法1)

做D對A(AB)的反演點C(作圖法5) C即為所求

(二)證明：∵AC*AD=AC*nAB=AB2

∴nAC=AB

七、給定A,B,C,D,E,F六點，做G,H，使AB/CD=EF/GH

(一)方法：若EF<2AB，則在平面上任取一點O

做O(AB)，O(CD) 在O(AB)上取一點I 做I(EF)交O(AB)於一點J，

以適當長s為半徑，做I(s)，J(s)，使這兩 圓皆交O(CD)於兩點

設I(s)交O(CD)於G，使G位於∠ IOJ內， 設J(s)交O(CD)於H，使H位於∠ IOJ外， GH即為所求

若EF≧2AB，則作nAB，使nAB>EF(作圖法1) 用nAB，nCD代替AB,CD，用上述方法可做出

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(二)證明：∵IO=JO，IG=JH，OG=OH

∴⊿ OGI⊿ OHJ ∴∠ IOG=∠ JOH ∴∠ IOJ=∠ GOH ∵IO:JO=GO:HO=1 ∴⊿ IOJ⊿ GOH ∴IO:OG=IJ:GH ∴AB:CD=EF:GH

八、給定O(OA)及圓上另一點B，做弧AB中點F

(一)方法：做平行四邊形ABOC，ABDO(作圖法4)

做C(CB)，D(AD)交於E 做C(OE)交AB於F F即為所求

(二)證明：設r=OA，a=OC，b=AD，h=OE

∵CO∥AB，OD∥AB ∴C,O,D三點共線 ∵CE=ED

∴∠ COE=90°，OC=OD ∴CE2=OC2+OE2 ∴b2=h2+a2

∵AD2+OB2=2AO2+2DO2 (平行四邊形對角線平方和等於四邊平方和) ∴b2+r2=2r2+2a2 ∴h2+a2+r2=2r2+2a2 ∴h2=r2+a2

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∴OF⊥CD ∴OF⊥AB

∵OF通過O且垂直於AB，F在O(AO)上 ∴F為AB中點

九、給定O(OA)及兩點B,C，做O(OA)和BC的交點M,N

(一)方法：(1)若O在BC外

做O對BC的對稱點O'(作圖法2) 做O(OA)，O'(OA)交於M,N

M,N即為所求(若此兩圓沒有交點，則O(OA)和BC沒有交點。) (1)若O在BC上

在圓上找一點D，做D對AB對稱點E(作圖法2) 做DE的中點M,N(作圖法8) M,N即為所求

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(二)證明：(1)∵OM=ON=O'M=O'N

∴MN為OO'的中垂線 ∵BC為OO'的中垂線 ∴M,N在BC上 ∵M,N也在O(OA)上 ∴M,N為O(OA)和BC的交點 (2)∵AB為DE的中垂線 ∴OD=OE，E也在O(OA)上

∵一弧的中點及圓心連線為所對的弦的中垂線 ∴M,N在DE的中垂線AB上

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十、給定A,B,C,D四點，做AB和CD的交點F

(一)方法：作C,D對AB的對稱點C',D'(作圖法2)

做E使CC'D'E為平行四邊形(作圖法4) 做x使得D'E/DD'=C'D'/x(作圖法7) 做D(x)和D'(x)交於F F即為所求

(二)證明：∵CC'⊥AB，DD'⊥AB，DE∥CC'

∴DD'∥CC'，D,D',E三點共線 ∵C'D':C'E:ED'=D'F:FD:D'D=1:1:(DD'/x) ∴⊿ C'D'E⊿ DD'F

∴∠ FD'D=∠ C'D'E，∠ FDD'=∠ C'ED'=∠ DCC' ∴F在CD，C'D'上 ∵DF=D'F

∴F在DD'的中垂線上 ∴F在AB

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十一、給定點A,B，作出AB上的其他點

(一)方法：作B(AB)與A(AB)交於E,F

分別以E,F為圓心，任意長為半徑， 畫圓交於C,D兩點 C,D皆在AB上

(二)證明：∵AB=AE=AF=BE=BF

∴AB為EF的中垂線 ∵DE=DF=CE=CF ∴CD為EF的中垂線 ∴A,B,C,D共線

十二、給定一圓c，求此圓之圓心

(一)方法：在c上任選兩點B,C(BC要夠大)

作B(BC)與c交於D 作B(BC)與D(CD)交於F 作F(CF)與C(BC)交於E,G 作E(CE)與G(CG)交於A A即為所求

(二)證明：設c的圓心為A'，BC=BF=CD=DF=AE=AG=a，CF=EF=FG=b

∵∠BCA'=∠CBA'，∠BCF=∠BFC ∴⊿BCA'⊿CFB ∴A'D=A'C=A'B=a2/b

∵∠CGF=∠GCF，∠GCA=∠GAC ∴⊿CGF⊿CAG ∴AB=AD=AC= a2/b ∴A即為A'

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十三、給定A,B,C三點，作C對AB的垂足D

(一)方法：作C對AB的對稱點E(作圖法2)

作CE中點D(作圖法6) D即為所求

(二)證明：根據對稱性質可知，對稱點連線垂直於對稱軸且被對稱軸平分‧

十四、已知點A,B,C，求點D，使BD平分∠ABC

(一)方法：作B(AB)與BC交於E(作圖法9)

作E(BE)和A(AB)交於D D即為所求

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十五、給定點A,B，作一以AB為一邊的正方形

(一)方法：作B(AB)與A(AB)交於C

作C(AB)與A(AB)交於D 作D(AB)與A(AB)交於E 作E(CE)與B(BD)交於F 作E(AF)與A(AB)交於G 作G(AG)與B(AB)交於H ABHG即為所求

(二)證明：設AB為1

GA=AC=BC=AD=CD=DE=AE=AB=1 EF=CE=BE2BC2=3 AF=GE= BG=EF2AE2=2 ∵AB2+AG2=BG2 ∴GA⊥AB ∵AG=AB=BH=GH ∴ABHG為正方形

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十六、給定A,B,C三點，作⊿ABC的垂心

(一)方法：作AD,BE分別垂直於BC,AC(作圖法13)

作AD,BE的交點H(作圖法10) H即為所求

十七、給定A,B,C三點，作⊿ABC的重心

(一)方法：作AB中點E(作圖法6)

作DE=1/3AB D即為所求

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十八、給定A,B,C三點，作⊿ABC的內心

(一)方法：作∠BAC, ∠BCA的角平分線並交於I(作圖法10,14)

I即為所求

十九、給定A,B,C三點，作⊿ABC的外心

(一)方法：作A(AC),C(AC)交於D,E

作B(BC),C(BC)交於F,G 作DE,FG交於O O即為所求

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二十、給定B(AB)，作一個圓內接正五邊形

(一)方法：作B(AB)與B(AB)交於C

作C(AB)與B(AB)交於D 作D(AB)與B(AB)交於E 作E(CE)與A(AD)交於F 作E(BF)與B(AB)交於G,H 作L(HE)與D(GE)交於圓內一點I

以GI為半徑，在B(AB)上依次截取J,K,L,M四點 GJKML即為所求

(二)證明：設AB為1

GB=AC=BC=BD=CD=DE=BE=AB=1 EF=CE=BF=AE2AC2=3 DI=IL=GE= BF=EF2BE2=2

BI=22(32512)12=2 GI=GB2BI2=

10252 1025半徑為1的圓內接正五邊形的邊長：2cos54°=2

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二十一、給定A,B,C三點，作⊿ABC的九點圓

(一)方法：作出⊿ABC三高的垂足(作圖法13)

作出垂心H到三頂點的中點(作圖法6,16) 作出三邊的中點(作圖法6)(設其中之一為N) 作出⊿ABC三高的垂足的內心X(作圖法18) X(NX)即為所求

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參、討論：

本研究中的前十項作圖法，是為了以圓規作圖來達到與尺規作圖相同的目標，分別討論如下: 在只用圓規作圖時，因為沒有尺，於是我們必須利用第9及第10項的兩個作圖法來解決它。 但是從作圖法18的圖可知，圓規作圖是多麼的複雜！ 下列是我們嘗試用不同方法做作圖法18的圖：

一、尺規作圖：

二、GSP作圖

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三、Cabri作圖

結論：

將所有尺規作圖的步驟展開，都在重複做下列三件事：

(A)做兩圓交點 (B)做圓與直線交點 (C)做兩直線交點

其中(A)項很容易只用圓規作圖得到， (B)項在作圖法9中解決了， (C)項在作圖法10中解決了，

所以，所有尺規作圖可以做到的圖，圓規作圖都能做得到！

參考資料：

四、名人趣題妙解 九章出版社 五、陳創義個人網頁-尺規作圖

http://www.math.ntnu.edu.tw/~cyc/_private/m1102.doc 六、Geometric Construction with the Compass Alone

http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/compass.html 七、國中數學康軒版二下

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