高中数学必修五试卷(含答案)

时间：120分钟满分：150分

、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 3x— 1

1. 不等式右广1的解集是）

（

3

W W

x

2

B. x

4

w

x

<2

C/

x

3

2 . （2017 存瑞中学质检）△ ABC 中，a= 1 , B=

45 °

D. 6,2 C . 5,2

2 2 A . 4,3

3 .若a<0 ,则关于 x的不等式x — 4ax— 5a >0的解为（A . x>5a 或 x< — B. x> — a 或 C. — ax<5a 1 1

a> 0, b> 0, 且lg（a + b）=— 1，则匚+匚的最小值是（

a b

10

C . 40

>2 或 x4

&ABC 2,则厶ABC外接圆的直径为（

w

=

D . {x|x<2}

）

D. 5a）

A.|

D . 80

Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若a1= 1,

）a3= 5, Sk+2 — Sk = 36,贝U k 的值为（

a, b, c € R, a>b，则下列不等式成立的

是

D . a|c|>b|c|

a3+ a6 + a10 + 玄仁=32,若 am= 8,贝U m 的值为（ 7.已知等差数列｛ an｝的公差为d（d^ 0），且

A . 12

rx+ yw 8,

&若变量x,

2y— xw 4,

y满足约束条件

x> 0, y> 0,

且z= 5y — x的最大值为a,最小值为b，则a— b的值是

A . 48 B . 30 C . 24 D . 16

N ），设Tno为数列｛Tn｝

q = 2, Sn 为{an}的前 n 项和，记 Tn= 17Sn 'n（n €

9.设｛an｝是等比数列，公比

an + 1

的最大项，贝U n°=（

）

og2（x+ 10 .设全集 U= R, A= {x|2（x— 1） <2} , B= {x|l

2

2

x

+

1）

> - log2（x2+ 2},

）

则图中阴影部分表示的集合为 （

）

A . {x|1w x<2}

B. {x|x》1}

C. {x|0D. {xX< 1}

11 •在等比数列{an}中，已知a2= 1,则其前三项的和 S3的取值范围是( A . ( — 3 — 1] C. [3,+s )

B . (— s, 0] U [1 ,+s ) D . (— s,— 1] U [3 ,+s )

)

1

12. (2017 •西朔州期末)在数列{an}中，a1 = 1, a*+1 = a*+ n+ 1,设数列匸 的前n项和为Si,若Snan

对一切正整数n恒成立，则实数m的取值范围为(

A . (3,+s )

B . [3 ,+s )

)

C . (2 ,+s )

D . [2 ,+s )

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. _______________________ (2017福建莆田二十四中期末)已知数列{ an}为等比数列，前n项的和为Sn,且a5= 4S4 + 3, a6= 4Ss + 3，则此数列的公比 q= .

14. _______________________________________________________________________ (2017唐山一中期末)若x>0, y>0, x+ 2y+ 2xy= 8,贝U x+ 2y的最小值是 ___________________________________ .

15.

如右图，已知两座灯塔

3a km，灯塔A在观察站C的北偏

A和B与海洋观察站 C的距离都等于

东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°则灯塔A与灯塔B的距离为 _______________ .

16. _______________________ 已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边，a = 2,且(2 + b)(sinA — sinB) = (c— b)sinC, 则厶ABC面积的最大值为 .

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17. (10分)(2017山西太原期末)若关于x的不等式ax2 + 3x— 1>0的解集是,x舟(2) 求不等式ax2 — 3x+ a2 + 1>0的解集.

~~1

18. (12分)在厶ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且a>c.已知BA BC= 2, cosB = 3, b = 3. 求：

(1)a 和 c 的值；

(2)cos(B— C)的值.

1

19. (12分)(2017辽宁沈阳二中月考)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且cosA = 3.

B+ C

(1) 求 sin2—2 + cos2A 的值； (2) 若a = .3，求bc的最大值.

20. (12分)(2017长春^一高中期末)设数列{an}的各项都是正数，且对于 n € N*，都有a? + a2 + a3+- +

an= S2，其中Sn为数列｛an｝的前n项和.

(1)求 a2；

⑵求数列｛an｝的通项公式.

x+ 2yw 2n,

21.

数 z= x+ y, z的最大值记作Zn.

,y> 0

若数列｛an｝的前n项和为Sn, ai = 1，且点(Sn, an)在直线zn = x+ y 上.

(1)证明：数列｛an— 2｝为等比数列； ⑵求数列｛Sn｝的前n项和Tn.

22. (12分)某投资商到一开发区投资 72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出 出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 收入一前n年的总支出一投资额).

(1) 该厂从第几年起开始盈利？

(2) 若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以 出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以

16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

48万元

12万元，以后每年支

(12分)已知点(x, y)是区域x>0, (n€ N +)内的点，目标函

50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总

答案与解析

1. B由> 1,可得空——1> 0,所以

2 — x

2 — x

3x— 1 —2(— x碁0,即皱—> 0,所以炉【x

—3

— 3 4

戶0,

|x — 2 工 0,

2— x 2 — x

3

解得4< x<2.

1 . 1 +10；〔 •1+1= 故选B.

a b (a + b)=

1 .

当a = b=気时，\"=”成立，故选 C.

、 5— 1

5. A T ai= 1, a3= 5，…公差 d= -2~ = 2, ••• an= 1 + 2(n— 1) = 2n — 1,

Sk+2 — Sk= ak+2 + ak+1 = 2(k+ 2) — 1 + 2(k+ 1) — 1 = 4k + 4 = 36, • k = 8,故选 A. 6. 7.

•- a$= 8.又 am= 8, • m= 8.

C •- a>b, #7>o, • T

+VT+V 故选 C.

B 由等差数列的性质知， a3 + a6 + aio+ ai3 = 4比=32,

& C

如图所示，当直线 z= 5y — x经过A点时z最大，即a= 16,经过C点时z最小，即b =— 8, • a— b= 24,故选C.

列{「}的最大项为T2,则n 0= 2,故选A.

2

2

9. A Sn= ai； —V = ai(2n— 1),

2 — 1

V)

, an +1 = a1 2 ,

n= 2时取等号，.••数

10. A 由 2(x— 1) <2，得(x — 1) <1.解得 01

2

2

•- A= {x|0 — Iog2(x + 2), 得 log 2(x2 + x+ 1)0, 则』x2+ 2>0,

.^2 + x+ 1• B= {x|x<1} . • ?uB= {x|x> 1}. •••阴影部分表示的集合为 (?uB) n A= {x|1< x<2}.

1

11. D 设数列{an}的公比为q,则a2= aiq = 1, • q = T ,

ai

• S3= ai + a2+ a3= ai + aiq + aiq2= ai + 1 + ~，当 ai>0 时，S3》1 + 2 1 ai •- = 3,当且仅当 ai = 1 时,

解得x<1.

取等号；当ai<0时，S3< 1-2 = - 1,当且仅当ai=- 1时，取等号

故S3的取值范围是(一a, — 1] U [3 ,+^ ). 12. D a1= 1, an+1 一 an = n+ 1,

an= (an— an 1)+ (an1 一 an2)+ …+ 但2一 a1)+ a1

---

=(n — 1 + 1) + (n — 2+ 1) + …+ (1 + 1) + 1 =n+ (n — 1) + (n — 2) + …+ 2+ 1 = 当n = 1时，也满足上式，

n 1 ,

n n+ 1 --an =

2

丄=2 = 2p一丄、 an n(n+ 1) W n + 1 丿'

1—2+ 2 - 3+•••+ 1―丄=

2 2 3 n n+ 1

丄)

n+ 1 )

T Sn2，故选D. 13. 5

解析：由题可得 a5— a6= 4S4— 4S5=— 4a5,

--a6 = 5,・• q = 5.

5a

14. 4

解

x+ 2y 2

又 2xyw —,

•/ x + 2y+ 2xy= 8,

i'x + 2y \\ • x+ 2y + —丿》8,

• 4(x+ 2y)2+ x+ 2y-8 > 0, • x+ 2y > 4,

当且仅当x= 2y= 2时，等号成立. • x+ 2y的最小值为4.

15.3a km

解析：由题意知，/ ACB = 120°

• AB2= 3a2+ 3a2-2 . 3ax . 3acos120°= 9a2, • AB= 3a km. 16. .3

解析：由正弦定理及(2 + b)(sinA—sinB)= (c— b)sinC,得(2 + b)(a — b) = (c— b)c,又 a = 2, • b2 + c2— a2= be.由余弦定理得 沁=畫 J= 2bi= 1，- A = 60°

又 22= b2+ c2— 2bccos60°= b2+ c2— bc > 2bc— bc, • bc< 4.当且仅当b= c时取等号.

1

1

{3 • &ABC=

^bcsinAW

4 x _23= .3.

17.解：(1)依题意，可知方程 ax2 + 3x— 1 = 0的两个实数根为 舟和1,

1 3 1 1

• 1+

1

=—

a 且 2

x 1

=—

a 解得

a=— 2,

••• a的值为一2,

⑵由(1)可知，不等式为一 2x2- 3x+ 5>0 ,即即 2x2 + 3x— 5<0, •.•方程 2x2 + 3x— 5 = 0 的两根为 x1 = 1, x2=— 2 •不等式ax2— 3x+ a2+ 1>0的解集为

5

18.解：⑴由BA BC= 2 得 cacosB = 2,

1

又 cosB = 3 所以 ac= 6.

由余弦定理，得 a2+ c2= b2+ 2accosB. 又 b = 3,所以 a2+ c2 = 9 + 2 x 2= 13.

ac^ 6, 解；2

+ c2

= 13,

得 a

=

2

,

c

= 3

或 a

=

3

,

c

= 2.

因 a>c，所以 a= 3, c= 2.

⑵在△ ABC中, sin B=訪—cos2

B =

由正弦定理，得

c 2,2.2 4.2 sinC

=bsinB = 3

X 3 =

9 .

因

a = b>c,所以 C是锐角，因此 cosC = 1 — sin2

c

7 =

9.

是 cos(B 一 C)=

cosBcosC+sinBsinc=1

x 9+竽x

节=筹

19. 解：(1)在厶ABC 中，T cosA = 3,

2B + C

1 2 1 2 • sin — + cos2A =尹—cos(B + C)] + 2cos A— 1 =尹 + cosA) + 2cos A — 1 =—- ⑵由余弦定理知a2= b2+ c2— 2bccosA,

1

• 3= b + e

22

9

3be=3be，

3

当且仅当b=c=2时，等号成立,

2be

A

—

2 4

••• be的最大值为9

4

20. 解：(1)在已知式中，当 n = 1 时，a3 = af,： a^o, • ai = 1, 当 n》2 时，a3+ a； + a3+…+ a*= £,① a3 + a3 + a3 +…+ a： i= i，②

①一②得 a¥= an(2ai + 2a2+…+ 2an-1+ an). -an

>0 , • an=

2a1

+ 2a2

+

…+

2an - 1

+

an

，即 an= 2Sn — an,

•- a2= 2(1 + a2)— a2,解得 a2=— 1 或 a2= 2,

T an>0

a2= 2.

2 *

(2)由(1)知 an= 2Sn— an(n€ N )，③ 当 n》2 时，a2-1 = 2Sn-

1 — an-1，④

③一④得 a：— a2

—1 = 2(Sn — Sn-1)— an

+

an- 1

T

= 2an

— an

+

an- 1

= an

+

an- 1

.

an

+

an-1

>0 ,• an

—

為-1

= 3 ,•数列｛

an｝是等差数列，首项为 1 ,公差为

21.

：(1)证明：由已知当直线过点(2n,0)时，冃标函数取得最大值，故 2n.

•方程为x+ y= 2n. -(Sn, an

)在直线 Zn=

x

+

y

上，…

Sn

+

an

= 2n•①

• Sn-1 + an -1 = 2(n — 1), n A 2•②

由①一②得，2an— an—1 = 2, n A 2. • an—1 = 2an— 2, n A 2.

3

•数列｛an— 2｝是以一1为首项，1为公比的等比数列. (2)由(1)得 an

- 2

=

—

2 * 1

,• an

= 2

— ~ ° 1

T S

n

+

an

= 2n

,「・ Sn

=

2n

—

an

=

2n

— 2

+

f ° 1

—1

1,可得an= n・解zn=

又T

an1

-

= ^^ = 1, nA2, a1 — 2=— 1

—

4

2an

1—

— —

2

2

2(an — 2) 2

触

=[0 + 2 + …+ (2n— 2)] + —n 2n — 2 1 2 2 =

—n

- +

-

2

1 n—1

T=

n

— +—

n

1 .

--Tn = 1

—

2

+ 2 + 0 +

…+ 2n-2 +

- nfn — 1

22. 解：由题意知 f(n)= 50n— 12n +

4 — 72=— 2n2+ 40n — 72.

(1)由f(n)>0，即一2n2+ 40n— 72>0，解得240

-

2

n+

36，

••• n+ 36 > 2 nx 36

12,当且仅当n= 6时取等号

f

n — n ,

L< 40 2X 12= 16. n 因此方案①共获利 16X 6+ 48= 144(万元)，此时n= 6.

方案②：f(n) = — 2(n— 10)2 + 128.从而方案②共获利 128 + 16= 144(万元)•比较两种方案，获利都是万元，但由于第一方案只需 6年，而第②种方案需要 10年，因此，选择第①种方案更合算.

2. C T S^ABC =

gacsinB= 2,

• Jx 1X〒c= 2 ,• c= 42,

• b2= c2 + a2— 2accosB = 32 + 1 — 2x 1 x 4 2^^\" = 25,

• b= 5,.••外接圆的直径为SinB= 5 * * * * = 5.2,故选C. 2

3. B (x+ a)(x— 5a)>0. ■/ a<0, /• — a>5a. ••• x> — a 或 x<5a，故选 B.

1

4. C 若 lg(a + b) = — 1,则 a + b=石,

144