高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用 打印

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点. （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义

（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可

正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比

，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果

时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点

处的导数（或变化率），记作 ，即

。

（Ⅱ）如果函数

在开区间（

）内每一点都可导，则说

在开区间（

） ， ）

内可导，此时，对于开区间（这样在开区间（

）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数

在开区间（

）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做

或

， 即

内的导函数（简称导数），记作

。

认知： （Ⅰ）函数

的导数

在点

是以x为自变量的函数，而函数 处的导数

是

的导函数

在点

处的导数

时

是一个数值；

的函数值。

（Ⅱ）求函数 ①求函数的增量

当

在点 处的导数的三部曲：

；

②求平均变化率

；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义： 函数率。

（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数 若函数续）。

在点

处可导，则 ）内可导，则

在点

处连续；

）内连续（可导一定连

在点

处的导数

，是曲线

在点

处的切线的斜

在开区间（ 在开区间（

事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，

记

（Ⅱ）若函数

反例：

在点

处连续，但在点

在点

处连续，但

在点

,则有

即

在点 处连续。

处不一定可导（连续不一定可导）。

处无导数。

事实上， 在点 处的增量

当 时， ， ；

当 时， ，

由此可知，

不存在，故 在点 处不可导。

2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式1 常数的导数：

公式2 幂函数的导数：

公式3 正弦函数的导数：

公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

。

。

（c为常数），即常数的导数等于0。

（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

公式6 指数函数的导数： （Ⅰ）

（Ⅱ）

（2）可导函数四则运算的求导法则 设

为可导函数，则有

；

。 ；

法则1

法则2

；

法则3

3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则 设

，

。

复合成以x为自变量的函数 ，等于已知函数对中间变量

的导数

，则复合函数

，乘以中间变量u对自

对自变量x的导数变量x的导数 即

引申：设

（2）认知

，

。

， 复合成函数 ， 则有

（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出第二层中间变量中间变量

，由第一层中间变量 的函数结构设出

的函数结构设出

，由

，由此一层一层分析，一直到最里层的

为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系

为自变量x的简单函数

的简单函数的链条：

（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

；

二、导数的应用 1、函数的单调性

（1）导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数

在某个区间内可导，则若

为增函数；若

，则在这一区间上为常函数。

为减函数；若在某个区间内恒有

（2）利用导数求函数单调性的步骤 （Ⅰ）确定函数

（Ⅱ）求导数

（Ⅲ）令 当函数。

（3）强调与认知

时，

，解出相应的x的范围

在相应区间上为增函数；当 ；

的定义域；

时 在相应区间上为减

（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式的取值范围为B，则应用

（Ⅱ）在某一区间内

（或

）是函数

在这一区间上为增（或减）

确定的x的取值集合为A，由 ；

确定的x

函数的充分（不必要）条件。因此方程函数划分单调区间时，除去确定

的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对

的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导

点，它们也可能是增、减区间的分界点。

举例： （1） （2）+∞）内递增。

在点x=0处连续，点x=0处不可导，但

在（-∞，0）内递减，在（0，

是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，

。

2、函数的极值

（1）函数的极值的定义 设函数

是函数

如果对记作

极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： （Ⅰ）函数的极值点取得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

（Ⅲ）当函数

在区间

上连续且有有限个极值点时，函数

在

内的

是区间

内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处

附近的所有点，都有

。

，则说

是函数

的一个极小值，

在点

附近有定义，如果对

附近的所有点，都有

；

，则说

的一个极大值，记作

极大值点，极小值点交替出现。

（2）函数的极值的判定 设函数

可导，且在点

处连续，判定

，右侧

是极大（小）值的方法是

，则

为极大值；

（Ⅰ）如果在点

（Ⅱ）如果在点

附近的左侧

附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；

注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数

（3）探求函数极值的步骤： （Ⅰ）求导数

（Ⅱ）求方程

的实根及

不存在的点；

；

的导数研究中悟出这一点。

考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极小值。

在这一点取得极大值，若左负右正，则

3、函数的最大值与最小值 （1）定理 若函数内连续的函数

认知：

在闭区间上连续，则

在 上必有最大值和最小值；在开区间

不一定有最大值与最小值。

（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

（Ⅲ）若

在开区间

内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值

即为最大（小）值。

（2）探求步骤： 设函数

在

上连续，在

内可导，则探求函数

在

上的最大值

与最小值的步骤如下： （ I ）求

（ II ）求

（ III ）将所求最小值。

引申：若函数

在

上连续，则

的极值或最值也可能在不可导的点处取得。

的各极值与

，

比较，其中最大者为所求最大值，最小者为

在定义区间端点处的函数值

，

；

在

内的极值；

对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化： （ I ）求出

的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

（ II ）计算并比较最大值与最小值。

（3）最值理论的应用

在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点

满足

，并且

在点

处有极大（小）值，

而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

四、经典例题 例1、设函数

在点

处可导，且

，试求

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

（ 为常数）。

解：注意到

当 ）

（1） ；

（2）

=A+A=2A

（3）令

，则当

时

，

∴

（4）

点评：注意的增量

的形式是多种多样的，但是，不论

的本质，在这一定义中，自变量x在 选择哪一种形式，相应的

处

也必须选择相

应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。 若自变量x在

处的增量为

，则相应的

，

于是有 ；

若令

例2、

，则又有

（1）已知

，求 ；

（2）已知

解： （1）令

，则

，求

，且当 时， 。

注意到这里

∴

（2）∵

∴

①

注意到 ，

∴由已知得 ②

∴由①、②得

例3、求下列函数的导数 （1）

； （2）

；

（3）

； （4） ；

（5）

解： （1）

（2） ∴

； （6）

，

（3） ，

∴

（4） ，

∴

（5） ，

∴

（6） ∴当 ∴当

时， 时，

；

∴ 即

。

点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例4、在曲线C：C关于该点对称。

解： （1） ∴当 又当

时， 时，

取得最小值-13

上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线

∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；

（2）证明：设

为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为

且有 ∴将 ∴点 ∴

注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线

求证：两曲线在公共点处相切。

证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合， 设上述两曲线的公共点为 ∴ ∴

， ，

，则有 ，

，

，其中

，且均为可导函数，

，

坐标为方程

的解

代入

①

的解析式得

∴ ，

∴

于是，对于 对于

有 ，有

； ①

②

∴由①得 由②得

，

∴

，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，

∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。

例6、

（1）是否存在这样的k值，使函数

递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

（2）若间。

解： （1） 由题意，当 ∴由函数 即 整理得

时 的连续性可知

，当x∈(2,+∞) 时

，

，

恰有三个单调区间，试确定

在区间（1，2）上

的取值范围，并求出这三个单调区

解得 验证：

或

（Ⅰ）当 ∴若

时， ，则

；若

， 则

， 符合题意；

（Ⅱ）当 时，

显然不合题意。

，

于是综上可知，存在

（2） 若 若

，则 ，则

使 在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。

，此时

，此时

只有一个增区间 ，与题设矛盾；

，与题设矛盾；

只有一个增区间

若 ，则

并且当 时， ；

当

∴综合可知，当

时， 时，

恰有三个单调区间：

减区间

点评：对于（1），由已知条件得

；增区间

，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知

条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例7、已知函数并且极大值比极小值大4. （1）求常数

（2）求

的极值。 的值；

，当且仅当

时，

取得极值，

解： （1） 令 ∵ ∴

在 或 得方程

处取得极值 为上述方程的根，

，

故有 ∴

，即

①

∴ 又∵ ∴方程 ∴方程 ∴

仅当

时取得极值， 的根只有

或

，

无实根，

即

而当 ∴

时，

的正负情况只取决于

与

恒成立，

的取值情况

当x变化时， 的变化情况如下表：

+ 0 — 1 0 极小值 (1，+∞) + 极大值 ∴

在

处取得极大值

②

，在

处取得极小值

。

由题意得 整理得

于是将①，②联立，解得

（2）由（1）知，

点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根

的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数

例8、 （1）已知值；

的最大值为3，最小值为-29，求

的

”与“

在

处取得极值”的必要关系。

（2）设 ，函数 的最大值为1，最小值为

，求常数

解： （1）这里 令 （Ⅰ）若 当

的值。

，不然 与题设矛盾

，解得 ，则当 时，

或x=4（舍去）

时， ，

在

， 内递减

在

内递增；

又 连续，故当 时，

取得最大值

∴由已知得 而 ∴此时 ∴由 （Ⅱ）若

的最小值为

得

时

有最小值，故有

，则运用类似的方法可得 当

；

又 ∴当

时，

有最大值，

或

∴由已知得

于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求

（2） 令

得

，

解得 当 在

上变化时，

与

的变化情况如下表：

-1 (-1,0) + 0 0 — 0 极小值 + 1 极大值

∴当 时， 取得极大值 ；当

的单调性知 与

之中，

时， 取得极小值 。

由上述表格中展示的 ∴

最大值在

的最小值在 和 之中，

考察差式 即 故 由此得

，

的最大值为

，

考察差式

∴

的最小值为

，即 ，

由此得 ，解得

于是综合以上所述得到所求

五、高考真题 （一）选择题 1、设则 A、

分析：由题意得

，

，

，

（ ）。 B、

，

。

，„， ， ，

C、 D、

∴ ∴

2、函数 A、

分析： ∴当 当 因此

3、设

，

， ，

具有周期性，且周期为4，

，应选C。

有极值的充要条件为（ ）

B、

C、

D、

时， 时，令

且 得

； 有解，

才有极值，故应选C。

分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当 ，且

，则不等式

时，

的解集是（ ）

A、（-3，0）∪（3，+∞） B、（-3，0）∪（0，3） C、（-∞，-3）∪（3，+∞） D、（-∞，-3）∪（0，3）

分析：为便于描述，设且

的解集为（-∞，-3）∪（0，3），应选D。 ，则

为奇导数，当

时，

，

∴根据奇函数图象的对称性知，

二、填空题 1 过原点作曲线

的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。

分析：设切点为M ∴由曲线过原点得 ∴切点为

，则以M为切点的切线方程为

，∴

，

，切线斜率为 。

点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。

2 曲线

在点

处的切线与x轴，直线

所围成的三角形面积为

，则

= 。

分析： ∴曲线 即

在点

处的切线方程为

切线与x轴交点 又直线

，

，

与切线交点纵坐标为

∴上述三角形面积 由此解得

即

，

3 曲线

与 在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）

分析：设两切线的夹角为 ，将两曲线方程联立，解得交点坐标为

又

即两曲线在点

，

处的切线斜率分别为-2，3

∴ ，

∴

，应填 。

（三）解答题 1 已知

解析：先将 当 当

时， 时，

求导，

即

有两极值点。

没极值点。

。

，讨论导数

的极值点的个数。

有两根，于是 ，

为增函数，

本题考查导数的应用以及二次方程根、“ 解答： 令 1、当 即 不防设 于是

或

时，方程 ， ，得

”等知识。

有两个不同的实根

、

，

，从而有下表：

即此时

+ ↗ 0 — ↘ 0 + ↗ 为极大值 为极小值 有两个极值点；

2、当

，

于是此

3、当 而 故 ∴当

2 已知函数

即 时，方程 有两个相同的实根

，故当 时， ；当 时， ，因

无极值；

即 时，

，

，

为增函数。此时

时，

无极值； 有两个极值点；当

时，

无极值点。

的图象在点 的解析式；

处的切线方程为 。

（Ⅰ）求函数

（Ⅱ）求函数

解析： （1）由

的单调区间。

在切线上，求得 ，再由 在函数图象上和

得两个关于

（2）令

的方程。

，求出极值点， 求增区间， 求减区间。

此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。

解答 （Ⅰ）由函数

的图象在点 ，即

，

处的切线方程为

知：

∴

即 解得

所以所求函数解析式

（Ⅱ） 令 当 当

或

时， 解得

时，

所以内是增函数。

3 已知 （Ⅰ）求

（Ⅱ）求

（Ⅲ）当取值范围。

在 内是减函数，在

是函数

与 的关系表达式；

的一个极值点，其中

的单调区间；

时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求 的

解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以

及函数与方程的思想，第2小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第3小题

是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。

解答： （Ⅰ） ∴ ∴

（Ⅱ）

；

，

是函数

的一个极值点

令

，得

与

的变化如下表：

— 0 + 0 极大值 — 1 单调递减 极小值 单调递增 单调递减 因此， 的单调递减区间是 和 ； 的单调递增区间是

；

（Ⅲ）由（Ⅱ） 即 令

且

，

，

即m的取值范围是 4

。

已知函数 （Ⅰ）求

（Ⅱ）设在

，函数

。

的单调区间和值域；

，若对于任意

成立，求

的取值范围。

，总存

，使得

解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，

（Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，

（Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若满足

解：

关系，从而达到求解目的。

成立，则二次函数值域必

（Ⅰ）由 得 或 。

∵ 则 ，

∴ ，

（舍去） 变化情况表为：

0 — ↘ 0 + ↗ 1

因而当 当

（Ⅱ） 因此 因此当 又 任给 则

，当

时 时，

为减函数；当 的值域为

；

时 为增函数；

时

为减函数，从而当

，即当

，

，存在

时有 时有 使得

时

由（1）得 又

或 ，由（2）得

故

的取值范围为 。

5 已知 ，函数

取得最小值？证明你的结论；

（1）当 为何值时，

（2）设

在

上是单调函数，求 的取值范围。

解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常规题型，方法求（Ⅱ）由（Ⅰ）

在

，解 上单调，而

的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对

，因此只要

即满足题设条件，从中解出

解答：（Ⅰ） 令 从而

当 变化时,

，

则

的范围。

，其中

的变化情况如下表

∴ 当 而当 ∴当 （Ⅱ）当

在 时 时+ ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 处取得极大值，

，

处取得极小值

在 ，当

时

为减函数，在

为增函数

，且

时

时

在

取最小值；

上为单调函数的充要条件是

，解得

综上， 在 上为单调函数的充要条件为 ,

即

的取值范围为） 。

6.已知 ，函数

（Ⅰ）当

（Ⅱ）求函数

答案：

时，求使 成立的 成立的 的集合；

在区间 上的最小值。

（Ⅰ）｛0，1，

｝

（Ⅱ）

解答： （Ⅰ）由题意， 当 当

时 时

, ,解得 ，解得 ｝

或

，

综上，所求解集为｛0,1,1+

(Ⅱ)设此最小值为m ① 当

时，在区间［1，2］上， ，

因为 则 ② 由 ③ 当

是区间［1，2］上的增函数，所以

时，在区间［1，2］， 知

；

），

时，在区间［1，2］上，

如果 从而

在区间（1，2）内，

；

在区间［1，2］上为增函数，由此得

如果 则 。

当 时， ，从而 为区间［1， ］上的增函数；

当 因此，当

时，

时，

，从而

或

为区间［ ，2］上的减函数

。

当 时， 故

当 时 .

综上所述,所求函数的最小值

7、 (Ⅰ)设函数

(Ⅱ)设正数

求 的最小值;

满足

。

，证明

解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（Ⅰ）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出

，解

得 ，再判断 与 时 的符号，确定 为极小值点，也

是函数的最小值，对（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明，但由

解答：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）

到 过渡是难点。

令

当 时，f′(x)<0, ∴f(x)在区间 是减函数；

当 时，f′(x)>0, ∴f(x)在区间 是增函数。

∴f（x）在

时取得最小值且最小值为

(Ⅱ)用数学归纳法证明

（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立；

(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 满足

当n=k+1时，若正数

,则

满足

令 则

由归纳假定知

,

为正数，且

①

同理，由 ,可得

综合①、②两式

≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ②

≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1).

即当n=k+1时命题也成立。

根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。

8 函数

，

（Ⅰ）用

（Ⅱ）证明：当

时,

、

、

表示m；

在区间

是曲线

内可导，导函数

在点

是减函数，且

，设

处的切线方程，并设函数

（Ⅲ）若关于x的不等式

求b的取值范围及a与b所满足的关系。

解答： （ I ） 即 因而

(Ⅱ)证明：令 因为

，

所以 因此

是

递减，所以

，则 递增,因此，当 ；

在点

在 上恒成立，其中a、b为实数，

处的切线方程为

时，

；当

时，

唯一的极值点，且是极小值点，可知 0即

；

的最小值为0

（Ⅲ） 解法一：

，即

是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。

对任意

成立的充要条件是

，

另一方面，由于 满足前述题设中关于 的条件，

利用(Ⅱ)的结果可知，直线的斜率不大于

，

的充要条件是：过点 与曲线 相切的

该切线的方程为： ，

于是 的充要条件是

综上，不等式 对任意 成立的充要条件是

显然，存在

①

使①式成立的充要条件是：不等式

②

有解，解不等式②得 ③

与 所满足的关系。

因此，③式即为 的取值范围，①式即为实数

（Ⅲ） 解法二：

，即

是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。

对任意

成立的充要条件是

令

。

，于是 对任意 成立的充要条件是

由 当

时，

得 ；当

时，

，所以，当

时，

取最小值。因此 成立的充要条件是 ，即

综上，不等式 对任意 成立的充要条件是

①

显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式②

③

有解，解不等式②得

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。

点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（Ⅰ），曲线为 即

在

∵ ∴ 由

递减 ∴

，

则 所以

是

的极值点，且为极小值点， 极小值为

，即

，则

∴

时

，当

时，

，

，因而

时恒成立，构造函数

；对（Ⅱ）即证明

则

在点

处切线斜率为

，切线方程

递增，则当

恒成立，

因而

9．设点

和抛物线

其中

；对（Ⅲ）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。

由以下方法得到： 上，点

在抛物线

到

上点的最短距离。

及

的方程；

到

的距离是

，点 到 上，点

在抛物线

上点的最短距离，„，点

到

的距离是

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明

解答：

是等差数列。

（Ⅰ）由题意得 设点

是

上任一点

则 令 则

由题意得： 即 又 解得 故

方程为：

在

上，∴

（Ⅱ）设点 是 上任意一点。

则 令

由题意得 即 又∵点 ∴ ∴ 即

下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，

在

上

，等式成立。

②假设n=k时，等号成立，即 则当n=k+1时，由（*）知：

又

∴

即当n=k+1时，等式成立 由①②知，等式 ∴

点评： （Ⅰ）设

为

是等差数列

成立

上任一点

∵ ，换句话说：在点 处 取得最小值。

令 ∴

（Ⅱ）方法同（Ⅰ）推导出：

10. 已知函数 （Ⅰ）求函数

（Ⅱ）假设对任意 不等式

解答： （Ⅰ）解：由 所以

的反函数

此为关键

然后用数学归纳法证明。

及

的导数

；

，

成立，求实数m的取值范围。

，得

，

（Ⅱ） 解法1 由

，得

①

即对于 恒有

设 ，于是不等式①化为

② 当

，

、

时，

，

所以

都是增函数。

，

因此当 时， 的最大值为 的最小值为

而不等式②成立当且仅当 ，即 ，

于是得

解法2：由 设 ③

于是原不等式对于

，得

，

，

恒成立等价于

由 注意到 从而可知

与

均在

， ，故有

，

上单调递增，

， ，

因此不等式③成立当且仅当 ，即