平面向量在解析几何中的应用
0 引言
高三数学复习课教学，是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师，如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，是高三数学复习课必须追求的目标.因此，结合自己高三数学教学的实际情况，进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识. 1 背景
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点.而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索研究系性学习教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此，本节课这样设计：
1）教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思
维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性. 2）通过问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担. 2 问题
例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.
已知点p坐标（x■，y■），直线l的方程为ax+by+c=0，p到直线l的距离是d，则d=■.
证明：当b≠0时，在直线l上任取一点，不妨取p■（0，-■），直线l的法向量■=（a，b），由向量的射影长知识得点p到直线l的距离等于向量■在向量■方向上的射影长度d， ■=（x■，y■+■），
∴d=■·■=（x■，y■+■）·■=■ 当b=0时，可直接有图形证明（略）.
点评：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性.
例2.（2009浙江文）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点为f，
右顶点为a，点b在椭圆上，且bf⊥x轴，直线ab交y轴于点p.若■=2■，则椭圆的离心率是（ ） a.■ b.■ c.■ d.■
解析：对于椭圆，因为■=2■，则oa=2of，∴a=2c，∴e=■选d.
点评：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手.
例3.已知定点a（-1，0）和b（1，0），p是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求pa■+pb■的最大值和最小值. 图1
解：设已知圆的圆心为c，由已知可得：■=（-1，0），■=（1，0），
∴■+■=0，■·■=-1又由中点公式得■+■=2■
所以■■+■■=（■+■）■-2■·■=（2■）■-2（■-■）·（■-■）
=4■■-2■·■-2■■+2■·（■+■）=2■■+2 又因为■={3，4}点p在圆（x-3）2+（y-4）2=4上， 所以■=5，■=2，且■=■+■ 所以■-■≤■=■+■≤■+■
即3≤■≤7 故20≤■■+■■=2■■+2≤100 所以pa■+pb■的最大值为100，最小值为20.
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手. 3 反思
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发： 第一，如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性.
第二，如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识.
第三，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性.
最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识. [责任编辑：周娜]
