平面向量在解析几何中的应用

徐小银

一、引言：

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。正因为如此，在高三专题复习课上，我们以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识。

二、背景:

向量知识在许多国家的中学数学教材中，早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后，向量虽然已进入中学，但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强.

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此，本节课这样设计：

1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性。

2、通过例3、例4两个问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

三、问题：

例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC中∠C=900，求证：ABACBC 证明：因为AC⊥BC所以ACBC0  又ABACCB，两边平方得：

222A AB22AC2ACCBCB222222ACCB B C 即ABACBC

评注：对照老教材，勾股定理推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言而喻。类似的命题还很多。

例2、利用向量知识来推导点到直线的距离公式。

已知点P坐标(x0,y0)，直线l的方程为 Ax+By+C=0，P

到直线l的距离是d，则d =Ax0By0CAB22 CB直线l的法向量n(A,B)，)，

证明：当B0时，在直线l上任取一点，不妨取P1(0,由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量P1P在向量n方向上的射影长度d，CP1P=（(x0,y0)，

BnCdP1P(x0,y0)Bn(A,B)AB22Ax0By0CAB22 当B=0时，可直接有图形证明（略）。

评注：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分

体现了向量的工具性和优越性。

四、问题的解决：

例3、（2000年全国高考题）椭圆

x29y241的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，

当∠F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

解：F1（－5,0）F2（5,0）,设P（3cos,2sin） F1PF2为钝角

∴ PF1PF2（53cos,2sin)(53cos,2sin)

222

=9cos－5＋4sin=5 cos－1<0

解得：55cos55 ∴点P横坐标的取值范围是（3535,） 55点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角

转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求PAPB的最大值和最小值。

分析：因为O为AB的中点，所以PAPB2PO,故可利用向量把问题转化为求向量OP22的最值。

解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：OA{1,0},OB{1,0}

OAOB0,OAOB1又由中点公式得PAPB2PO

2所以PAPB22(PAPB)2PAPB

2 =(2PO)2(OAOP)(OBOP)

y P C 22 =4PO2OAOB2OP2OP(OAOB) 2 =2OP2

又因为OC{3,4} 点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上, A o B x 所以OC5,CP2, 且OPOCCP 所以

OC2CPOPOC即CP 3OOPC7C故P220PAPB2222OP2100

所以PAPB的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。 例5、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(AB|AB|AC|AC|)，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） 0，＋，

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

ABAC、分别是与AB、分析：因为AC同向的单位向量，由向量加法的平行四边|AB||AC|AB形则知|AB||AC与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又是AC|ABOPOAAP(ABAC)，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一AC定通过△ABC的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

v2； （1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v1、v1（2） 求出角平分线的方向向量vv1v2 v2（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（x0,y0），其

xx0yy0方向向量为v(a,b)，其方程为} ab应用：（1999年全国高考题）如图，给出定点A(a,0) (a>0)和直线l：x=-1，B是直线

l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求C点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系

解：设B(-1,t)，则AB(1a,t),

y B C ①

从而直线AB的方程为：

xa1ay0t-1 O A x OA(a,0),OB(1,t),则直线OC的方向向量为2OAOB1t1t1t

v,)（,)(1,0)(2222OAOB1t1t1t1t 故直线OC的方程为：x1t12yt ②

由①、②消去t得：(1a)x22ax(1a)y20(0xa) 点评：从上述方法看出较原参要简单，且容易理解。

五、反思与讨论：

反思：由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：

第一、如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性。

第二、如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识。

第三、如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性。

最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。

探讨：例4、（2003年天津）已知常数a0，向量c(0,a)，i(1,0)，经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中

R．试问：是否存在两个定点E、F，使得PEPF为定值，若存在，求出E、F的

坐标；若不存在，说明理由．

（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得

点P到两定点距离的和为定值.

∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）. 因此，直线OP和AP的方程分别为 yax 和 ya2ax. 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(ya)2a2x2.

(ya2)2整理得 x218a2()21.„„① 因为a0,所以得：

（i）当a （ii）当022a时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

22时，方程①表示椭圆，焦点E(1122a,2a2)和F(1122a,2a2)为合乎

题意的两个定点； （iii）当a2211时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(aa21))和F(0,(aa2))2222为合乎题意的两个定点.

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是

(0),2a，求P的轨迹。

三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜

49a率之积等于

，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。