离散颗粒流应力关系实验研究
夏建新，毛旭锋，任华堂
（民族大学生命与环境科学学院，北京 100081）
摘 要：采用同心圆筒剪切实验装置，测量了离散颗粒剪切流动下的切应力值，研究体积浓度、粒径以及边界条件等因素对颗粒流动切应力的影响，分析了Savage和Bagnold颗粒流应力实验结果产生差异的原因．同时，基于已有成果，分析了颗粒应力关系变化的特点和规律，以及与颗粒应力密切相关的颗粒流流态．
关键词：离散，颗粒流，切应力，流态 自然界和工程实际中的许多问题，例如泥石流，滑坡、河流底部泥沙推移及海洋矿物的
－
管道输送等，都涉及离散非均匀颗粒在流体介质中的流动[12]．这种流动机理非常复杂，不同于通常意义上的流体运动，尤其是颗粒流动过程中的应力本构关系，不仅是反映颗粒流动本质的重要参数，而且是揭示颗粒流动状态的一个重要依据．
剪切室是研究相关介质中颗粒流动应力本构关系的重要实验方法．Bagnold[3]等很早就采用剪切室实验研究了中性悬浮小颗粒剪切条件下的切应力值，并提出了基于膨胀体模型的应力关系式，为认识水中离散颗粒流动机理提供了基础．Savage[4]随后也进行了类似的剪切实验，并与Bagnold的结果进行了比较，发现应力值有所不同．他同时还发现，流动过程中颗粒直径与剪切应力的关系所表现出的复杂性远远超出了Bagnold的预想．此外，Savage和Sayed[5]以及Hane和Inman[6]用剪切室观察到了颗粒流边界效应，结果表明，颗粒流中一般不存在无滑移边界条件．
但是，即使同样粒径颗粒在同样的浓度下剪切，颗粒流的几何状态、边界条件和颗粒性质（弹性恢复系数和表面摩擦等）都会造成结果的差异，实验不易做直接的比较．如Savag[4]与Bagnold[3]在剪切实验中采用的仪器、圆筒的旋转方式以及颗粒和液体均不相同，比较结果并不一定能反映真实情况；而且，颗粒均在仅有几个毫米狭长的区域内剪切，容易形成滞塞，应力值跳跃很大；每次更换颗粒后，实验仪器结构变动也会造成前后实验结果的差别，增加了对现象解释的难度．值得一提的是，颗粒流中一般不存在无滑移边界条件[6]，他们用圆筒的线速度代替颗粒的剪切流动速度，会一定程度上影响实验结果的准确性．
因此，在内外筒均能剪切的实验装置中进行实验，也许能对结果的解释有所帮助[4]．本实验中，内筒旋转完后，可直接进行外筒旋转实验，实验条件一致，有利于结果的比较；且颗粒在一个相对宽的区域剪切流动，不易造成滞塞，实验仪器结构稳定可靠；此外，通过追踪内外筒染色颗粒的流速，摆脱了颗粒发生相对滑移的影响，结果更为准确．利用该剪切室实验装置，测量离散颗粒中性悬浮剪切流动下的切应力值，研究体积浓度、粒径以及剪切方式等因素对颗粒流动切应力的影响，对Savage和Bagnold实验结果产生差异的原因进行了分析．最后，利用现有的成果，结合本次实验结果分析颗粒应力关系变化的特点和规律、以及与颗粒应力密切相关的颗粒流流态．
1 实验方法
实验在如图1所示的同心圆筒剪切室中进行，内外筒壁贴有橡胶，增大与颗粒间的摩擦，减小颗粒的滑移速度．内外筒直径分别为20cm和 27.8cm，均可旋转对颗粒产生剪切，旋转速度通过变频调速器连续可调．实验过程中，颗粒在圆筒内径向迁移缓慢，颗粒的位置相对稳定，颗粒的流速可通过跟踪筒壁染色颗粒流速统计平均得到．颗粒在受剪切过程中的
水利部岩土力学与工程重点实验室开放基金（G07-10）和国家自然科学基金 (50879096) 资助 E-mail: jxxia@vip.sina.com
扭矩值通过与圆筒连接的扭矩仪测量并输出，并可通过扭矩值计算得到颗粒在相应剪切条件下的切应力大小．
1. 三相电机; 2. 变频调速器; 3. 扭矩仪; 4. 外筒; 5. 内筒; 6剪切环; 7. 支架; 8.转盘；9.三相电机
图1 剪切室实验系统示意图
Fig.1 A schematic of the experimental shear cell device
实验选用粒径分别为5mm和7mm的两种聚氯乙稀圆颗粒进行，颗粒密度为1.02g/cm3，弹性恢复系数为0.65．实验分三组进行，各选取1000g大小颗粒分别进行，然后将两种颗粒按1:1混合实验，测量颗粒在不同剪切条件下的应力值．实验过程中向颗粒中加入一定体积的水，以保证颗粒中性悬浮，并在受剪切过程中体积浓度不变．实验分别选择30％，40％，50％和56％四种浓度进行，实验结果中，已将相应水的切应力值减去．
2 实验结果
自然界中，快速颗粒流是十分少见的[7]，因此，本次实验主要针对颗粒低流速、低剪切率条件下，不同浓度、粒径以及剪切方式对颗粒剪切应力的影响．相比快速颗粒流，颗粒在低速流动条件下的碰撞应力不大，主要以摩擦应力和滑动应力为主，尤其当颗粒浓度较大时，颗粒的摩擦应力占主导作用． （1）颗粒浓度对剪应力的影响
图2是小颗粒在不同浓度条件下，颗粒的剪切率与切应力之间的关系．对于中慢速颗粒流动，颗粒浓度对颗粒剪切应力影响是显而易见的．中慢速颗粒流中，摩擦应力与颗粒浓度密切相关，尤其当颗粒浓度超过某临界浓度后，该应力急剧增大，这一点可由沈寿长的摩擦应力项和线性浓度λ的表达式得到诠释[8]．当(C0/C)5
1/3
>2时，λ<1，λ5较小；但当颗
粒浓度继续增加时，λ>1，λ迅速增大，颗粒的摩擦应力也随之剧增．本次实验中，颗粒的λ>1，颗粒摩擦应力相应较大，从图2中可以清楚地看到，颗粒剪切应力随颗粒体积浓度增大而明显增大，这主要与颗粒浓度增大后摩擦应力增大有关．
除了对颗粒应力大小产生影响外，颗粒浓度对颗粒应力的性质也有重要影响。观察发现，当颗粒浓度由低变高时，颗粒间接触也更加紧密和频繁，因此，颗粒内部应力的性质也会发生相应的改变。
320240
剪切应力(N/m2)剪切应力(N/m2) Cv=30% Cv=40% Cv=50% Cv=56% Cv=30% Cv=40% Cv=50% Cv=56%160120
(a)00
5
(b)15
剪切率(s)
-1
10
0
02剪切率(s)
4-1
68图2 颗粒剪应力与剪切率之间的关系 d=5mm（a）内筒旋转 (b)外筒旋转
Fig. 2 The relation between shear stress and shear rate d=5mm（a）inner rotating (b)outer rotating
(2) 粒径的影响
自然界中涉及到的颗粒流，通常是中慢速颗粒流，而且颗粒大小不一，分布不均．为此，除比较了不同粒径的单一颗粒情况，实验还进行了非均匀颗粒的剪切实验，比较中慢流速条件下，非均匀颗粒与均匀颗粒在切应力值上的不同．
400240
剪切应力(N/m2)剪切应力(N/m2) d=5mm d=7mm d=5+7mm d=5mm d=7mm d=5+7mm160
200
(a)0
5
-1
(b)15
剪切率(s)
10
80
0
剪切率(s-1)
48
图3 颗粒剪应力与剪切率之间的关系 Cv＝56％（a）内筒旋转 (b)外筒旋转 Fig.3 The relation between shear stress and shear rate Cv＝56％（a）inner rotating (b)outer rotating
图3是Cv＝56％时三种粒径条件下的实验结果。从图中可以看到，颗粒切应力与剪切率基本呈线性关系，和实验观察观察到的颗粒流动呈现稳定的层流的现象相符合．实验结果均显示，相同剪切速度下，小颗粒的切应力最小，大颗粒的切应力最大，而混合颗粒的切应力居二者之
当剪切率为12s-1时，三种条件下颗粒的切应力值分别为263Pa，279Pa和294Pa，间．以 Cv＝56％为例，
存在一定的差别．产生这种现象的原因可能与剪切表面的曲率增大(颗粒直径与剪切宽度的比值)有关，随着颗粒直径的增大，剪切面曲率也增大，颗粒产生流动所需要的剪应力也可能逐渐增大．而对于混
合颗粒，小颗粒可能在流动过程中易进入大颗粒间的缝隙中，减小了与剪切面的摩擦，导致颗粒的剪切应力相比大颗粒略小．
高剪切速率下颗粒应力与颗粒粒径的平方关系．但Bagnold[3]类似的剪切实验结果显示，
随后Savage经实验[4]后发现，颗粒应力与颗粒粒径的关系还取决于颗粒的浓度，当颗粒浓度较小时，颗粒应力与颗粒粒径关系不大，而当颗粒浓度增大到54％，切应力与粒径的指数关系甚至超过了2．而本次实验中发现，浓度对不同粒径颗粒切应力变化规律未造成影响，只是在应力差值上略有差别，这可能与本次实验选用的颗粒粒径较大及流速较慢有关． （3）边界条件对实验结果的影响
图4是不同边界条件（不同旋转方式）对颗粒切应力的影响．实验中发现，内筒旋转条件下，颗粒的剪切率要大于外筒旋转时颗粒的剪切率，颗粒的切应力也相应较大．以Cv＝30％,d=5mm为例，当内筒旋转时，颗粒的剪切率最高可达10.5s-1,,对应的切应力值为121Pa，而同样条件下，外筒剪切时，剪切率最高只能达到6.3s-1，对应的切应力只有72Pa． 通过实验观察发现，产生上述结果的原因可能与离心作用有关。外筒剪切时颗粒受到的剪切面积要大，颗粒更易产生的离心效应，也更易发生相对滑移，造成外筒旋转时颗粒的剪切率和切应力均要小于内筒旋转时的结果．外筒剪切停止后发现，靠近内臂的颗粒要少于外筒颗粒，离心作用减小了内筒壁对颗粒的剪切。
140250
内筒旋转 内筒旋转
外筒旋转 外筒旋转 70
125
(b)(a) 0
04812051015 -1-1
剪切率(s)剪切率(s)
图4 颗粒剪应力与剪切率之间的关系 （a）Cv＝30％,d=5mm（b）Cv＝40％,d=7mm Fig.. 4 The relation between shear stress and shear rate （a）Cv＝30％,d=5mm（b）Cv＝40％,d=7mm
剪切应力(N/m2)
Savage[4] 在类似实验中，也将内筒剪切的实验结果和Bagnold[3]的实验结果（外筒剪切）作了比较，结果发现内筒剪切时，颗粒的切应力值略大于外筒旋转时的切应力值．他认为实验结果的差异来源于实验装置结构和颗粒材料性质（如弹性恢复和表面摩擦等）的差别．本次实验是在同一实验装置中进行，实验的基本条件一致．通过对比发现，除了上述原因外，还可能存在其它两个原因：第一，与二者实验中边界条件差异有关，通过实验发现，边界条件的差异会给结果带来巨大的差别；第二，与剪切方式有关，与内筒剪切条件相比，外筒剪切时颗粒受到的剪切面积要大，颗粒更易产生的离心效应，也更易发生相对滑移，造成外筒旋转时颗粒的剪切率和切应力均要小于内筒旋转时的结果．对于Bagnold的实验，在高剪切（最高达到100s-1）条件下，颗粒相对筒壁的滑移可能已经发生，而这可能是造成二者实验结果差异的另一个重要原因．
3 颗粒应力和颗粒流态 通过实验发现，颗粒浓度、粒径以及剪切方式等条件对颗粒切应力值均有不同程度的影
剪切应力(N/m2)响．实际上，这些条件与颗粒的流动状态密切相关，影响也决定了颗粒的流动方式．另一方面，颗粒的流动状态又决定颗粒相互作用的方式，即颗粒内部应力的性质．
颗粒应力是颗粒流研究的核心内容，颗粒流中颗粒之间相互作用的方式决定了颗粒内部应力的性质，颗粒间相互作用的方式一般可分为静态支撑、相对滑动、扩散和碰撞等．静态支撑接触时，颗粒靠接触传递压力，靠内摩擦承受剪切应力；滑动接触时，颗粒之间有相对滑动和挤压，分别出的切应力和正应力；颗粒扩散是运动颗粒位置变化引起流场中动量变化和传递；碰撞接触主要靠颗粒的瞬时接触传递能量，形成颗粒碰撞剪切应力和碰撞离散压力． 通过以上分析可以知道，颗粒流动过程的应力并非单一的，可能是多种性质力的组合，主要取决于颗粒相互作用的方式，即颗粒的流动状态．不同流动方式下颗粒的接触方式不同，内部应力的性质也存在差异，对此，王光谦等将各种流态颗粒应力统一起来[9]，得到
pxy=kT0λ5ρsdg+kT1λ3.5ρsd1.5g0.5du/dy+kT2λ2ρsd2du/dy （1）
pyy=kP0λ5ρsdg+kP1λ3.5ρsd1.5g0.5du/dy+kP2λ2ρsd2du/dy （2）
2
2
kT0，kT1，kP0，kP1和kP2是与颗粒浓度和材料特性有关的系数，d和ρS分别是颗粒
该本构关系最大的特点就是将颗粒不同流态的应力关的半径和密度，λ是颗粒的线性浓度．
系统一起来，同时存在流速梯度的零次项、线性相项和二次项．零次项时由于粗颗粒之间的静态支撑作用引起的，对应颗粒的静止或准静止态；二次项时由于颗粒之间的碰撞和扩散引起的，对应颗粒的快速流；而线性项则是由于颗粒之间的相对滑移和挤压作用引起的，对应颗粒的中慢速流动．
对于颗粒的流动状态判断，一些学者提出了各自的见解．Bagnold[3]采用颗粒惯性力和黏性力之比的无量纲数来衡量离散颗粒在液体中的高剪切流动状态，
λ1/2ρsd2(du/dy) （3） Ba=
ηη为流体的黏性系数．当Ba <40时，颗粒属于慢速流态，颗粒间的碰撞不予考虑；当Ba >450时，颗粒碰撞占优，颗粒处于快速流动状态，粒间流体作用可以忽略；在二者之间时，颗粒属于中速流，颗粒碰撞和流体黏性的影响都不可忽略．
Compbell[7]将颗粒刚性引入，将堆积紧密的密度流划分为弹性-准静态流、弹性惯性流、惯性-非碰撞流以及惯性-碰撞流，每种流态对应着不同的应力状况，提出了颗粒弹性与惯性
来判断高浓度颗粒中的颗粒流比的无量纲参数k*，结合颗粒平均接触时间tc和接触时间Tbc，
态
k （4） k*=23
ρsd(du/dy)k为颗粒刚性，实际上k*就是Bagnold惯性相和颗粒弹性应力的比值．当tc/Tbe=1时，颗粒间碰撞接触，此时颗粒处于惯性-碰撞流区；当tc/Tbe>1，颗粒处于惯性-非碰撞流；当tc/Tbe~k/⎡⎣ρsd
3
(du/dy)⎤⎦
1/2
时，颗粒间应力主要以力链形式存在，颗粒处于弹性-准静态流
状态．
尽管这些学者提出方法为颗粒流态的判断提供了方法，但是这些判断方法也有不完善之处，如Bagnold未能将颗粒的弹性恢复系数引入Ba中，而弹性很差的颗粒即使在快速流动条件下，相互接触的方式可能并非是惯性碰撞；另外，在剪切速率较小而绝对速度较大条件下（如颗粒滑移速度较大时，尽管颗粒的剪切速率很小，但绝对速度可以很大），尽管Ba值较小，但颗粒的碰撞频率较高，可以也可以进入完全碰撞区；而Compbell虽然将颗粒弹性引入，但未能考虑颗粒中存在液体介质情况，而液体介质有减缓颗粒摩擦和碰撞的作用．
简单快速地判断颗粒的流动状态和内部应力性质，对自然界和工农业过程中广泛涉及的颗粒流的机理研究和应用有很大帮助．但至今为止，尚未有一个同一的判断方法能将颗粒性质、粒间流体的各种因素引入同一个判断标准中，而这还需要广大科研工作者的共同努力．
4 结论
本文利用剪切室实验系统，测量离散颗粒中性悬浮剪切流动下的切应力值，研究体积浓度、粒径以及剪切方式等因素对颗粒流动切应力的影响，得出以下结论：
（1）颗粒浓度对颗粒流动切应力影响最大，而且还影响颗粒应力的性质．
（2）颗粒在低剪切率条件下流动，颗粒切应力与剪切率呈线性关系．相同剪切条件下，小颗粒的切应力最小，大颗粒的切应力最大，而非均匀颗粒的切应力居二者之间．
（3）相同条件下，内筒剪切时颗粒切应力较外筒剪切时大，可能与外筒剪切时，颗粒更易发生离心效应和相对滑移有关。
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