高考数学填空题的解题方法与技巧

填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．

学生在解答填空题时注意以下几点；

1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范； 2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些条件； 3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；

4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右． 总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．

基础训练

（1）设直线l平面，过平面外一点A作直线，

则与l,都成45角的直线有 条．

y B ·Q(2,1) ·P(x,y) A x （2）如下图所示，过点Q（2，1）的动直线l分别交

x轴、y轴于A、B两点，则线段AB的中点P有轨迹方程为： ． （3）若数列{an}中，a11,an13Sn(n1)，则Sn为： ． （4）对于满足0p4的一切实数x，不等式x2px4xp3恒成立，则x的取值范围是： xy20 （5）设实数x、y满足xy40，则|x2y4|的最大值是：

2xy50答案：（1）2 （2）2xyx2y0(x1)

（3）Sn4n1(nN*) （4）(,1)(3,) （5）21

典型例题

（一）直接法

直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．

例1、不等式(1x)(1|x|)0的解集是： 【解析】当x0时，原不等式等价于(1x)(1x)0，

∴1x1，此时应有：0x1； 当x0时，原不等式等价于(1x)20， ∴x1，此时应有：x1或1x0；

∴不等式(1x)(1|x|)0的解集是：{x|x1且x1}．

例2、在等差数列{an}中，a13,na55a813，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为：

【解析】设公差为d，则11(34d)5(37d)13，

5，∴数列{an}为递增数列， 952令an0，∴3(n1)0，∴n6，

59∴d∵nN*，∴n7，∴前6项和均为负值， ∴Sn的最小值为S6【题后反思】

由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”． （二）特殊值法

当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．

例3、函数yf(x)在（0，2）上是一增函数，函数yf(x2)是偶函数，

57则f(1),f(),f()的大小关系为： （用“<”号连接）

2275【解析】取f(x)(x2)2，则f()f(1)f()，

2229． 3x2y21的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角例4、椭圆94时，点P横坐标的取值范围是：

【解析】设P(x,y)，则当F1PF290时，点P的轨迹方程为x2y25，由此可得点P的横坐标x35，又当点P在x轴上时，F1PF20；点P在y

3535． x55轴上时，F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：【题后反思】

特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等． （三）数形结合法

根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．

例5、已知直线yxm与函数y1x2的图像有两个 不同的交点，则实数m的取值范围是： ． 【解析】∵函数y1x2的图像如图所示， ∴由图可知：1m2．

1312xax2bxc，若当x(0,1)时，f(x)可取得极大32b2值；当x(1,2)时，f(x)可取得极小值，则的取值范围是： y a1A(1,2) -1 1 y yx2 yx yx1 yx1

x 例6、设函数f(x)【解析】f/(x)x2ax2b，由条件知，f/(x)0的一个 根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，

f/(1)0a2b10b0∴f/(0)0，即 ab20f/(2)0(-3,1) … . ……… ……………… ………-2 -1 x a+2b+1=0 -2 a+b+1=0 如图所示，在平面直角坐标系xOy中作出上述区域，得点P（a，b）在图中的

b2阴影区域内，而的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线的斜

a1率，易知

b21kPA(,1)． a14【题后反思】

数形结合法，常用的有Venn图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等． （四）等价转化法

通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．

例7、若不论k为何实数，直线ykx1与圆x2y22axa22a40恒有交点，则实数a的取值范围是：

【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a，0）的距离小于或等到于圆的半径2a4，所以1a3 例8、计算37523752

【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之． 设

37523752x，两边同时立方得：x33x140，即：

(x2)(x22x7)0，

∵x22x70，∴x2，即375237522，因此应填2. 【题后反思】

在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题． （五）构造法

根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题．

例9、如果(1sin4)sin(1cos4)cos,((0,2))，那么角的取值范围是： ．

【解析】设函数f(x)(1x)4x，则f/(x)15x40，所以f(x)是增函数，

5由题设，得出f(sin)f(cos)，得sincos，所以(,)．

44例10、P是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内任意一点，AP与三条棱AA1，AB1，AD的夹角分别为,,，则coscoscoQ s R 222A1

P D1 C1

【解析】如上图，过P作平面PQQ/P/，使它们分别与平面B1C1CB 和平面C1D1DC平行，则构造一个长方体AQ/P/R/—A1QPR，故

B1 coscoscos1． 【题后反思】

B 222A Q/ P/ R/

C D

凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决．

（六）分析法

根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．

x2y21的左焦点F和左准线l为相应的焦点和准线的椭圆例11、以双曲线3截直线ykx3，所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是： ． 【解析】双曲线的左焦点为F（-2，0），左准线l为x3，因为椭圆截直线2所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线

333ykx3与x轴的交点（,0），故2，得0k．

kk2例12、（2007福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；③他至少击中目标1次的概率是10.14．

【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为(0.90.1)(0.90.1)0.9(0.90.1)0.9；②恰好击中目

3标3次的概率是重复试验，故概率为C40.930.1；③运用对立事件4次射

击，一次也没有击中的概率为0.14，从而至少击中目标一次的概率为10.14．故正确结论的序号为①、③． 【题后反思】

分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法．

五、限时课后练习

2（1）已知函数f(x)x32x5在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，且

3f(x)的导数记为f/(x)，则下列结论中，正确的是： ①f(1)；

2是方程f/(x)0的根； ②1是方程f/(x)0的根； ③有极小值32④有极大值f()； ⑤a0.5

3（2）设m、n是异面直线，则：①一定存在平面，使m且n//；②一定

存在平面，使m且n；③一定存在平面，使m、n到的距离相等；④一定存在无数对平面和，使m,n且．上述四个命题中，正确命题的序号是： ．

510i （用abi，a,bR的形式表示） （3）i是虚单位，

34i（4）设ab1，则logba,logab,logabb的大小关系是： ． （5）“x、y中至少有一个小于0”是“xy0”的 条件．

ab，2则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是： ．

（6）若记符号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*bx2y2（7）设椭圆221(ab0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直

ab于x轴的弦长等于点F1到直线l1的距离，则椭圆的离心率是： ． （8）设a(m1)i3j，bi(m1)j，其中i,j为互相垂直的单位向量，又

(ab)(ab)，则实数m= ．

（9）如果函数f(x)x2bxc对任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么

f(1),f(2),f(4)的大小关系是： （10）过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线与抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则

11 ． pqx2y21的长轴的两端点为M、N，点P在椭圆上，则PM与PN（11）椭圆43的斜率之积为： ．

1（12）方程sin(x)x的实数解的个数是： ．

443（13）不等式xax的解集为（4，b），则a= ，b= ；

2（14）已知函数f(x)x312x8在（-3，3）上的最大值与最小值分别为M、m，

则M+m= ．

（15）已知集合A{(x,y)|x2mx2y}，B{(x,y)|xy10,0x2}，如果AB，则实数m的取值范围是： ．

（16）定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x1)f(1)f(2)f(3)_f(4)f(5)f(6)f(7) ．

1，则f(x)x2y21的两个焦点，点P在双曲线上且（17）设F1，F2是双曲线4F1PF290，则F1PF2的面积是： ．

（18）在数列{an}中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an ． 答案：

（1）①②③④⑤；（2）①③④；（3）12i；（4）logabblogablogba；（5）必要不充分； （

6

）

a(b*c)(ab)*(ac)(或(a*b)c(a*c)(b*c)或(a*b)c(b*a)c)（答案不唯一）； （7）

1； （8）-2； （9）f(2)f(1)f(4)； 231； （12）3； （13）a，b36； 48 （14）16； （15）m1； （16）0； （17）1；

（10）4a； (11) （18） 2n13．