平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用

在新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

一、知识整合

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

二、例题解析

x2y21的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时，点P例1、椭圆94横坐标的取值范围是___。

解：F1（－5,0）F2（5,0）,设P（3cos,2sin）

F1PF2为钝角

∴ PF（53cos,2sin)(53cos,2sin) 1PF2222

=9cos－5＋4sin=5 cos－1<0

解得：553535 ∴点P横坐标的取值范围是（） cos,5555点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为

向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

22

例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)+(y-4)=4上的一动点，求PAPB的最

22大值和最小值。

分析：因为O为AB的中点，所以PAPB2PO,故可利用向量把问题转化为求向量OP的最值。

解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：OA{1,0},OB{1,0} OAOB0,OAOB1又由中点公式得PAPB2PO

1

222所以PAPB(PAPB)2PAPB

2 =(2PO)2(OAOP)(OBOP)

22 =4PO2OAOB2OP2OP(OAOB) y P C 2 =2OP2

22

又因为OC{3,4} 点P在圆(x-3)+(y-4)=4上, A o B x 所以OC5,CP2, 且OPOCCP 所以OCCPOPOCCPOCCP

222即3OP7 故20PAPB2OP2100

所以PAPB的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

22OPOA(AB|AB|AC|AC|)，0，＋，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

ABAC、分别是与AB、分析：因为AC同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知|AB||AC|ABAC是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又|AB||AC|ABACOPOAAP()，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过

ABAC△ABC的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v1、v2；

vv21（2） 求出角平分线的方向向量v v1v2

2

（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（x0,y0），其方向

xx0yy0向量为v(a,b)，其方程为} ab例4、已知常数a0，向量c(0,a)，i(1,0)，经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R．试问：是否存在两个定点

E、F，使得PEPF为定值，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定

曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到

两定点距离的和为定值.

∵c(0,a)，，i2c=（1，－2λa）. i(1,0)， ∴ci=（λ，a）

因此，直线OP和AP的方程分别为 yax 和 ya2ax. 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(ya)2a2x2.

a(y)2整理得 x21.„„① 因为a1a()28220,所以得：

（i）当a2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2 （ii）当0a2时，方程①表示椭圆，焦点E(11a2,a)和F(11a2,a)为合乎题意

2222222的两个定点； （iii）当a2时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(aa21))和F(0,1(aa21))为合

22222乎题意的两个定点.

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是

a(0),2a，

求P的轨迹。

三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于4，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。 9例5．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线l与x

3

轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若OPOQ0，求直线PQ的方程；

（3）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明

FMFQ.

分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

x2ay2（1）解：由题意，可设椭圆的方程为221(a2).

a2c22, 由已知得解得a6,cc2(a2cc).2 所以椭圆的方程为x2y26621，离心率e3. （2）解：由（1）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为yk(x3).由方程组

x2y21, 得(3k21)x218k2262x27k60 yk(x3)依题意12(23k2)0，得63k63. 设P(xQ(x18k227k261,y1),2,y2)，则x1x23k21， ① x1x23k21. 由直线PQ的方程得y1k(x13),y2k(x23).于是

y1y2k2(x13)(x23)k2[x1x23(x1x2)9]. ③

∵OPOQ0，∴x1x2y1y20. ④ 由①②③④得5k21，从而k5665(3,3).

②

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所以直线PQ的方程为x5y30或x5y30

（2）证明：AP(x13,y1),AQ(x23,y2).由已知得方程组

x13(x23),yy,21x12y12511x 注意，解得 1,2226x2y2221.26因F(2,0),M(x1,y1)，故

11,y1)(,y2). FM(x12,y1)((x23)1,y1)(221,y2)，所以FMFQ. 而FQ(x22,y2)(2三、总结提炼

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。

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