高中数学专题讲义-空间几何体的表面积和体积

板块三.空间几何体的表面积

和体积

典例分析

空间几何体的表面积和体积计算

棱柱

【例1】 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）

A．6a2 B．12a2

C．18a2

D．24a2

【例2】 长方体的全面积为11，12条棱长度之和为24，则长方体的一条对角线长为（ ）

A．23 B．14 C．5 D．6

【例3】 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为2，3，6，这个长方体的对角线长为_____.

【例4】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底边的夹角为45角，则此三棱柱的

体积为 （ ） A．6 B． 26 C．66 D． 63【例5】 （四川）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为

3，则该正四棱柱的体积等于 ． 3

【例6】 长方体点的三条棱长分别为a，b，c(abc)，分别过这三条棱中的一条

及其对棱的对角面的面积分别记为Sa，Sb，Sc，则（ ）

A．SaSbSc B．SaScSb C．SbScSa D．ScSbSa

【例7】 （陕西10）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体

的体积为（ ） A．

2 6 B．2 3 C．3 3 D．

2 3

【例8】 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面

积．

【例9】 （四川文12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一

个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）

A．2 B．22 C．32 D．42

【例10】 在体积为15的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，SABC的体积为3，

则三棱锥SA1B1C1的体积为（ ） A．1 B．

【例11】 直三棱柱ABCA1B1C1各侧棱和底面边长均为a，点D是CC1上任意一点，连结

A1B，BD，A1D，AD，则三棱锥AA1BD的体积（ ）

3 C．2 D．3 21A．a3

6A1B．33a 6C1C．33a 12D．

13a 12B1DABC

【例12】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1:V2 ．

C1A1V1B1CFAEBV2

【例13】 （上海春季）有两个相同的直三棱柱，高为

2，底面三角形的三边长分别为3a、4a、a5aa0． 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小

的是一个四棱柱，则a的取值范围是 ．

【例14】 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E,F,G，

则棱锥BEFG的体积与平行六面体体积的比值为________．

【例15】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C，若V1:V2:V31:4:1，则截面A1EFD1的面积

为 ．

D1A1DAEFBE1F1B1CC1

棱锥

【例16】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为2，则三棱锥的全面积是多少？

【例17】 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为1的正四面体的体积是

________；

【例18】 已知正三棱锥的侧面积为183 cm2，高为3cm． 求它的体积．

【例19】 已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的全面

积与体积．

【例20】 正棱锥的高增为原来的n倍，底面边长缩为原来的

A．缩为原来的

1，那么体积（ ） n1 B．增为原来的n倍 nC．没有变化 D．以上结论都不对

【例21】 （辽宁11）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱

锥PGAC体积之比为（ ）

A．1 B．1∶1 ∶2 C．2∶1

棱台

【例22】 正三棱台ABCA1B1C1中，已知AB10，棱台的侧面积为203，O1，O分别为上、

下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，D1DA60，求上底面的边长．

【例23】 已知三棱台ABCA1B1C1中SABC25，SA1B1C19，高h6．

⑴求三棱锥A1ABC的体积VA1ABC ⑵求三棱锥BA1B1C1的体积VBA1B1C1 ⑶求三棱锥A1BCC1的体积VA1BCC1

C1A1CB1 D．3∶2

AB

【例24】 正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为，求棱台上、下底的边长．

【例25】 已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_______．

圆柱 【例26】 轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求全面积． 圆锥 【例27】 轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥．已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积．

83【例28】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为求圆锥的表面积． π．

3

【例29】 将圆心角为120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．

h【例30】 如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，h1,若将圆锥倒置后，圆

3锥内水面高为h2，求h2.

SC'B'D'ABh1A'h2CD

圆台

【例31】 已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．

【例32】 图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体

称为圆柱容球，求证：在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的是圆柱全面积的

S'2，球的表面积也32． 3

旋转体 【例33】 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到

一几何体，求该几何体的表面积（其中BAC30）．

A

OCB

【例34】 如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD22，

AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

CDAB

【例35】 如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD2cm，下底BC10cm，底角

ABC60，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积．

lEAFDC60B

【例36】 在ABC中，AB2，BC3，ABC120（如图所示），若将ABC绕直线BC2旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） DBCA

9A．π

27B．π

2

5C．π

23D．π

2 球体

【例37】 球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）

A．

1 2B．1 C．2 D．3

【例38】 一平面截一球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离4，求该球的表面积与

体积．

【例39】 直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的小球，如果不计损

耗，可铸成这样的小球的个数为（ ） A．5

B．15

C．25 D．125

【例40】 （年西城区期末考试12）若A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直

径的小圆周长为2π，则此球的表面积为___________，A，B两点间的球面距离为__________．

【例41】 已知一个球的直径为d，一个正方体的棱长为a，如果它们的表面积相等，则（ ）

A． da且V球V正方体 B． da且V球V正方体 C． da且V球V正方体 D． da且V球V正方体

【例42】 已知球的表面积为20π，球面上有A、如果ABAC2，BC23，C三点．B、

则球心到平面ABC的距离为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2

【例43】 平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是

（ ） A．20π B．

【例44】 （全国II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与

球的表面积的比为（ ） A．

【例45】 设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，ABBCCDDA3，

球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ） A．86π B．6π C．242π D．722π

【例46】 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上

第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

【例47】 球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，已知球

4163π500π C．100π D． 333993 B． C． D． 1616328π的半径为R，且A，C两点的球面距离为R，A，B两点及B，C两点的球面

2π距离均为R，球心到这个截面的距离为6，求球的表面积．

3