二元函数的极值与最值解读

二元函数的极值与最值解读

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值

(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的必要条件： 设zf(x,y)在点(x0,y0)处可微分且在点(x0,y0)处有极值，则f'x(x0,y0)0，f'y(x0,y0)0，即(x0,y0)是驻点。

(3) 二元函数取得极值的充分条件：设zf(x,y)在(x0,y0)的某个领域内有连续上二阶偏导数，且f'x(x0,y0)f'y(x0,y0)0，令f'xx(x0,y0)A，

f'xy(x0,y0)B，f'yy(x0,y0)C，则

当B2AC0且 A<0时，f(x0,y0)为极大值； 当B2AC0且A>0，f(x0,y0)为极小值；

B2AC0时，(x0,y0)不是极值点。

注意： 当B2－AC = 0时，函数z = f (x, y)在点(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论

例1 求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．

【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

【解】先求函数的一、二阶偏导数：

z2zz2z2z23x2y，2y2x．26x, 2, 2． 2xyxxyy3x22y0,zz再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组

xy2y2x0.22（，）求得驻点(0，0)、． 33

利用定理2对驻点进行讨论：

(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点．

22（，）(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－40, 且A0,则 33224f（，） 为函数的一个极小值． 3327例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求zz(x,y)的极值点和极值.

【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。

【解】 因为 x26xy10y22yzz2180，所以

2x6y2yzz2z0， xx 6x20y2z2yz0,x令 z 得

0yzz2z0. yyx3y0, 3x10yz0,x3y,故 

zy.将上式代入x26xy10y22yzz2180，可得

x9,y3, 或 z3x9,y3, z3.

2zz22z由于 22y22()2z20，

xxxz2zzz2z 622y22z0,

xxyyxxyzz2zz22z 20222y22()2z20，

yyyyy

2z所以 A2x12z，B(9,3,3)6xy12z，C2(9,3,3)2y(9,3,3)5， 3故ACB2z(9,3)=3.

110，又A0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为366类似地，由

2z A2x12z，B(9,3,3)6xy12z，C2(9,3,3)2y5， (9,3,3)3可知ACB2值为 z(-9, -3)= -3.

110，又A0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大366【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。 2．二元函数的条件极值

拉格朗日数乘法：设f(x,y),(x,y)在点(x,y)某领域内有

00连续偏导数，引入辅助函数 F(x,y,)f(x,y)(x,y) 解联立方程组

Fxf'x(x,y)'x(x,y)0Ff'y(x,y)y'(x,y)0y(x,y)000

得(x,y)可能是zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值点

例3经过点(1,1,1)的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．

【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。 【解】设所求平面方程为

xyz1,abc(a0,b0,c0)．

因为平面过点(1,1,1)，所以该点坐标满足此平面方程，即有

1111． (1) abc设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则

V1abc6．

(2)

原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数

L(a,b,c)1111abc(1)． 6abc求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

1bc0,26a1ac0, 26b1ab0.c26由此方程组和（9）解得a = b = c = 3．

由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面

x + y + z = 3．

与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为

Vmin1393. 62例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：

R1514x32y8xy2x210y2．

⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；

⑵ 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．

【解】⑴ 利润函数为

L(x,y)R(xy)1513x31y8xy2x210y2，

求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

L138y4x0,x L318x20y0.y解得x0.75，y1.25．则(0.75,1.25)为L(x,y)惟一的驻点．

又由题意，L(x,y)可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为L(0.75,1.25)39.25万元．

因此，当电视广告费与报纸广告费分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25万元，此即为最佳广告策略．

⑵ 求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件

xy1.5下， 求L(x,y)的最大值．作拉格朗日函数

F(x,y)L(x,y)(x,y)

1513x31y8xy2x210y2(xy1.5)．

求函数F(x,y)的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

F138y4x0,x F318x20y0.y并和条件xy1.5联立解得x0，y1.5．这是惟一的驻点，又由题意，

L(x,y)一定存在最大值，故L(0,1.5)39万元为最大值．

【评注】 本题也可由xy1.5，解得y1.5x，代入目标函数转换成一元函数求解。

3．二元函数的最值

二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。

例5:（2007数学一）求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D上的最大值和最小

值，其中：D{(x,y)x2y24,y0} 。

【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。 【详解】 因为

fx(x,y)2x2xy2，fy(x,y)4y2x2y，解方程：

2fx2x2xy0,  得开区域内的可能极值点为(2,1). 2fy4y2xy0其对应函数值为f(2,1)2.

又当y=0 时，f(x,y)x2在2x2上的最大值为4，最小值为0. 当x2y24,y0,2x2，构造拉格朗日函数 F(x,y,)x22y2x2y2(x2y24)

Fx2x2xy22x0,53解方程组 Fy4y2x2y2y0, 得可能极值点：(0,2),(,)，其

22Fx2y240,对应函数值为f(0,2)8,f(537,). 2247比较函数值2,0,4,8,，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.

4【评注】当x2y24,y0,2x2，y24x2代入目标函数转换成一元函数求解更简单。

例3:（2005数学二）已知函数z=f(x,y) 的全微分dz2xdx2ydy，并且f(1,1,)=2.

y2求f(x,y)在椭圆域D{(x,y)x1}上的最大值和最小值.

42【解】 由题设，知

ff2x，2y， xy于是 f(x,y)x2C(y)，且 C(y)2y，从而 C(y)y2C， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 f(x,y)x2y22. （下略）