人教A版2019高中数学选修2-1习题：第二章 第1课时椭圆的简单几何性质_含答案

2.2 椭圆

2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质

A级 基础巩固

一、选择题

x2y2

1．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则( )

a2b2

A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3，2)在椭圆上

D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 解析：由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上． 答案：C

x2y2x2y2

2．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(02599－k25－kA．等长的长轴 C．相等的离心率

B．相等的焦距 D．等长的短轴

解析：依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆

C2：焦距＝225－k－（9－k）＝8.

答案：B

x2y21

3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )

m22

38

A．1 B. C.3 D. 23解析：由题意得a2＝2，b2＝m，

c1

所以c2＝2－m，又＝，

a2

所以

2－m13＝，所以m＝. 222

答案：B

x2y2

4．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥xab→→

轴，直线AB与y轴交于点P，其中AP＝2PB，则椭圆的离心率为( )

A.3 2

B.2 2

1C. 3

解析：如图，△ABF1∽△APO，

1D. 2

则

|AP||AO|2a＝，即＝. |AB||AF1|3a＋cc1所以a＝2c.，所以e＝＝.

a2

答案：D

5．椭圆＋y＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点

4为P，则|PF2|的值为( )

A.3 2

B.3 D．4

x2

2

7C. 2答案：C 二、填空题

6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．

解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，

a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.

所以椭圆的标准方程是＋y＝1或＋x＝1.

44答案：＋y＝1或＋x＝1

447．已知椭圆

1

＋＝1的离心率为，则k的值为________． k＋892

2

x2

2

y2

2

x2

2

y2

2

x2y2

c2k＋8－91

解析：当k＋8＞9时，e＝2＝＝，k＝4；

ak＋84

c29－k－815

当k＋8＜9时，e＝2＝＝，k＝－.

a944

2

5

答案：4或－

4

x2y218．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点1，作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为a2b22A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

解析：因为x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1. 11设P1，，则kOP＝，因为OP⊥AB，所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－

221)，它与y轴的交点为(0，2)．所以b＝2，a2＝b2＋c2＝5，

x2y2

故椭圆的方程为＋＝1.

54

答案：

x2y2

5

＋＝1 4

三、解答题

9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． 2

(1)离心率是，长轴长是6；

3

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

x2y2y2x2

解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．

a2b2a2b2c2

由已知得2a＝6，e＝＝，所以a＝3，c＝2.

a3

所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.

x2y2x2y2

所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

9559x2y2

(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

a2b2

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，

x2y2

故所求椭圆的方程为＋＝1.

189

x2y2

10．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是椭圆的两

ab个顶点．若F1到直线AB的距离为

b7

，求椭圆的离心率．

解：依题意，直线AB的方程为＋＝1，

－ab即bx－ay＋ab＝0. 所以焦点F1到AB的距离d＝

|－bc＋ab|

xya2＋b2

，

所以

b|a－c|7

＝b. a2＋b27

2

2

两边平方，整理得8c－14ac＋5a＝0. 两边同除以a，得8e－14e＋5＝0， 151

所以e＝或e＝(舍去)．因此离心率为.

242

B级 能力提升

1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆

2

2

x2y2

＋＝1(a>b>0)两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2a2b2

2π

＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )

3

A.C.

x2y2

1215＋＋36

＝1 ＝1

B.D.

x2y2

1416＋＋57

＝1 ＝1

x2y2x2y2

解析：因为当点P在短轴端点时， S△F1PF2最大， 所以∠PF1F2＝

ππb，所以tan＝， 66c因为c＝3，所以b＝3，

x2y2

所以a2＝b2＋c2＝12，所以椭圆方程为＋＝1.

123

答案：A

x2y2

2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若

a2b2

∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )

A.

33

B. C.3 D．1 23

解析：记|F1F2|＝2c，则由题设条件，

知|PF1|＝

2c3

，|PF2|＝

4c3

，

2c|F1F2|2c3

则椭圆的离心率e＝＝＝＝. 2a|PF1|＋|PF2|2c4c3

＋33答案：B

x2y2

3．已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P(－2，1)在椭圆上，

ab→→

线段PF2与y轴的交点M满足PM＋F2M＝0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．

21

解：(1)因为点P(－2，1)在椭圆上，所以2＋2＝1.①

ab→→

又因为PM＋F2M＝0，M在y轴上，

所以M为PF2的中点，所以－2＋c＝0，c＝2. 所以a－b＝2，②

联立①②，解得b＝2(b＝－1舍去)，所以a＝4. 故所求椭圆C的方程为＋＝1.

42

(2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，

2

2

2

2

2

x2y2

y－y4y－3x×2＝1，x＝，x－x5

所以解得

y＋yx＋x3y＋4x2＝2×2，y＝5.00

11

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

所以3x1－4y1＝－5x0.

因为点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，所以－2≤x0≤2，

42所以－10≤－5x0≤10，即3x1－4y1的取值为[－10，10]．

x2y2