2599－k25－kA．等长的长轴 C．相等的离心率B．相等的焦距 D．等长的短轴
解析：依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆
C2：焦距＝225－k－（9－k）＝8.
答案：B
x2y21
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
m22
38
A．1 B. C.3 D. 23解析：由题意得a2＝2，b2＝m，
c1
所以c2＝2－m，又＝，
a2
所以
2－m13＝，所以m＝. 222
答案：B
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥xab→→
轴，直线AB与y轴交于点P，其中AP＝2PB，则椭圆的离心率为( )
A.3 2
B.2 2
1C. 3
解析：如图，△ABF1∽△APO，
1D. 2
则
|AP||AO|2a＝，即＝. |AB||AF1|3a＋cc1所以a＝2c.，所以e＝＝.
a2
答案：D
5．椭圆＋y＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点
4为P，则|PF2|的值为( )
A.3 2
B.3 D．4
x2
2
7C. 2答案：C 二、填空题
6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．
解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，
a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.
所以椭圆的标准方程是＋y＝1或＋x＝1.
44答案：＋y＝1或＋x＝1
447．已知椭圆
1
＋＝1的离心率为，则k的值为________． k＋2
2
x2
2
y2
2
x2
2
y2
2
x2y2
c2k＋8－91
解析：当k＋8＞9时，e＝2＝＝，k＝4；
ak＋84
c29－k－815
当k＋8＜9时，e＝2＝＝，k＝－.
a944
2
5
答案：4或－
4
x2y218．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点1，作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为a2b22A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：因为x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1. 11设P1，，则kOP＝，因为OP⊥AB，所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－
221)，它与y轴的交点为(0，2)．所以b＝2，a2＝b2＋c2＝5，
x2y2
故椭圆的方程为＋＝1.
54
答案：
x2y2
5
＋＝1 4
三、解答题
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． 2
(1)离心率是，长轴长是6；
3
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
x2y2y2x2
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
a2b2a2b2c2
由已知得2a＝6，e＝＝，所以a＝3，c＝2.
a3
所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
x2y2x2y2
所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
9559x2y2
(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
a2b2
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
x2y2
故所求椭圆的方程为＋＝1.
1
x2y2
10．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是椭圆的两
ab个顶点．若F1到直线AB的距离为
b7
，求椭圆的离心率．
解：依题意，直线AB的方程为＋＝1，
－ab即bx－ay＋ab＝0. 所以焦点F1到AB的距离d＝
|－bc＋ab|
xya2＋b2
，
所以
b|a－c|7
＝b. a2＋b27
2
2
两边平方，整理得8c－14ac＋5a＝0. 两边同除以a，得8e－14e＋5＝0， 151
所以e＝或e＝(舍去)．因此离心率为.
242
B级 能力提升
1．已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆
2
2
x2y2
＋＝1(a>b>0)两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2a2b2
2π
＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )
3
A.C.
x2y2
1215＋＋36
＝1 ＝1
B.D.
x2y2
1416＋＋57
＝1 ＝1
x2y2x2y2
解析：因为当点P在短轴端点时， S△F1PF2最大， 所以∠PF1F2＝
ππb，所以tan＝， 66c因为c＝3，所以b＝3，
x2y2
所以a2＝b2＋c2＝12，所以椭圆方程为＋＝1.
123
答案：A
x2y2
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若
a2b2
∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
33
B. C.3 D．1 23
解析：记|F1F2|＝2c，则由题设条件，
知|PF1|＝
2c3
，|PF2|＝
4c3
，
2c|F1F2|2c3
则椭圆的离心率e＝＝＝＝. 2a|PF1|＋|PF2|2c4c3
＋33答案：B
x2y2
3．已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P(－2，1)在椭圆上，
ab→→
线段PF2与y轴的交点M满足PM＋F2M＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
21
解：(1)因为点P(－2，1)在椭圆上，所以2＋2＝1.①
ab→→
又因为PM＋F2M＝0，M在y轴上，
所以M为PF2的中点，所以－2＋c＝0，c＝2. 所以a－b＝2，②
联立①②，解得b＝2(b＝－1舍去)，所以a＝4. 故所求椭圆C的方程为＋＝1.
42
(2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，
2
2
2
2
2
x2y2
y－y4y－3x×2＝1，x＝，x－x5
所以解得
y＋yx＋x3y＋4x2＝2×2，y＝5.00
11
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
所以3x1－4y1＝－5x0.
因为点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，所以－2≤x0≤2，
42所以－10≤－5x0≤10，即3x1－4y1的取值为[－10，10]．
x2y2
