【教案】高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第三章3.1.2椭圆的简单几何性质-教学设计

课程基本信息 课题 椭圆的简单几何性质 书名：高中数学人教A版选择性必修第一册 教科书 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 教学目标： (1) 通过绘制椭圆草图，先观察并思考椭圆的范围，它具有怎样的对称性，椭圆上哪些点比较特殊和如何选取适当的量定量刻画椭圆的扁平程度这几个问题，发展直观想象素养； (2) 通过对椭圆标准方程的分析和研究，初步掌握在解析几何中是怎样用代数手段研究曲线性质的方法，逐步领会解析法（坐标法）的数学思想，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算素养； (3) 能利用椭圆的几何性质解决一些简单的数学问题，发展数学建模素养． 教学重点：椭圆简单的几何性质，包括椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；逐步领悟解析法（坐标法）的数学思想． 教学难点：掌握利用曲线方程研究椭圆性质的方法，熟悉离心率等一系列椭圆相关概念及其相互关系． 教学过程 时间 3分钟

教学环节 主要师生活动 问题1：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能带着大家复习一下这些内容？ 师生活动：教师提出问题，学生回忆椭圆的定义和标准方程，并请每个同学都写出一个具体的椭圆方程． （一） 温故知新 设计意图：通过对前一节内容的复习，引出课题．从方程的角度，通过坐标法研究椭圆是本节课的主线，为后面内容的展开埋下伏笔．

问题2：观察教科书图3.1-7，我们一起来研究椭圆的几何性质． 追问（1）：你能从图上看出它的范围 吗？ 师生活动：教师提出问题，学生能答出：椭圆围在一个矩形内．教师再请学生补充完整：椭圆位于四条直线xa,yb所围成的矩形 （二） 里，说明椭圆是有范围的． 追问（2）：刚刚的结论我们是从图中直接观察出来的，那同学们能否利用我们上节课学习的椭圆标准方程，通过代数方法来论述其范围呢？ 师生活动：教师引导学生利用方程变形和不等式的性质进行推导，并补充运用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围． 追问（3）：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），请同学们思考这种美来自于什么呢？ 师生活动：教师引导学生思考，并能回答出椭圆的美来自于对称性． 追问（4）：请同学们思考椭圆具有怎样的对称性呢？ 师生活动：教师引导学生讨论交流，争取能完整地说出椭圆的轴对称性和中心对称性． 追问（5）：我们不能只满足于观察得到的结果，数学结论必须通过代数方法去论述，请同学们仿照讨论椭圆范围的方法，来研究其对称性． 12分钟 探索研究

师生活动：教师引导学生利用椭圆方程进行推导，以y代y，方程不变．这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称．同理，以x代x，方程也不变，这说明如果点P(x,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2(x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称．以x代x，以y代y，方程也不变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P所以椭圆关于原点3(x,y)也在椭圆上，对称． 并引导学生得到最后的结论：椭圆关于x轴、y轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 追问（6）：请同学们根据自己上课伊始书写的标准方程绘制出椭圆，你认为如何画比较准确，椭圆上哪几个点比较特殊，应该要先绘制出来呢？ 师生活动：由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点．教师启发学生与一元二次函数的图像的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义． 追问（7）：同学们能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？ 师生活动：由学生自主探究,求出四个顶点坐标．即令x0,得yb．因此B1(0,b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点．同理，令y0,得xa．因此A1(a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点．因

为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点． 教师引导学生，得到线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 设计意图：引导学生观察并思考椭圆的范围，对称性，顶点这几个问题；在得到结论后，鼓励学生利用椭圆方程和坐标法，给出代数证明，逐步形成运用坐标法研究思考几何问题的解析几何思维模式，深化数形结合思想． 问题3：请同学们互相看一下同桌画的椭圆，大家绘制的形状一样吗？再回忆我们在学习椭圆定义的第一节课，老师发给每个小组的细绳都是同样长的，但大家画出的椭圆形状都一样吗？ 师生活动：教师引导学生思考形状不一样的原因，同学们不难发现，两个定点间距离的不同影响了椭圆的扁平程度． 追问（1）：通过绘制椭圆的小实验，和同学们推导的结论，请推广到所有椭圆，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 师生活动：教师可以利用信息技术，绘制椭圆，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平．类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变． 方案1：引导学生观察动画并得到结论，如果同学们一致认为利用a和c这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度．则给出离心率的概念：

我们把椭圆的焦距与长轴长的比ec． ac称为椭圆的离心率，用e表示，即a方案2：如果有的同学们认为利用a和b这两个量也可以达到相同的效果，这里可以稍作补充： a和c都来自于椭圆定义，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性，为后续学习做好铺垫． 追问（2）：同学们能根据椭圆中a和c这两个量的关系，得到离心率的范围吗？ 师生活动：教师引导学生得到结论：因为ac0，所以0e1． 追问（3）：我们得到了离心率，它的变化是如何影响椭圆形状的呢？ 师生活动：教师引导学生得到结论：e越接近１，a越接近c，ba2c2就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2y2a2． 设计意图：通过绘制椭圆的活动，和观察椭圆的动画，启发学生发现影响椭圆形状的量；在得到离心率概念后，再通过代数方法去论述其变化与椭圆形状的关系，巩固运用坐标法研究几何问题的思维模式．

求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答．

5分钟 （三） 解：把原方程化成标准方程，得 x2y21 2516例题讲解 于是a5，b4，ca2b23． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a10和2b8，离心率3e，两个焦点坐标分别是F1(3,0)和F2(3,0)，四个顶点坐标分别是5A1(5,0),A2(5,0)， B1(0,4)和B2(0,4)． 设计意图：巩固学生对本节课椭圆简单几何性质相关内容的掌握，熟练椭圆标准方程化简的基本技能，深化对长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的坐标等一系列概念及其关系的理解，并为后续的椭圆几何性质应用做好铺垫． （四） 2分钟 1.知识总结:本节课我们共同研究了椭圆的范围、对称性、顶点和离心率,掌握这些性质是解决有关问题的基础． 2. 数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解

，这是我们这节课研究椭圆几何性质的方法.它体现了归纳总结 析法（坐标法） 解析几何的核心思想，也是未来我们研究其他曲线的思维模式.