安国市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 有下列四个命题：

①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（ A．①②

渐近线方程是（ A．y=±

xB．y=±

）B．①③）

C．xy=±2

x

D．y=±

x

C．②③

D．③④

x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的

2． 已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8

3． 如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

A

）

D

OB

C

A．

1 B．

1 2C．

11 2D．

1142【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．

4． 设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={y|y=2x}，则AB（ A．（0，+∞）

B．（1，+∞）

C．（0，1）D．（1，2）

）

）

5． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ A．1

B．

C．2

D．4

6． 集合Mx|x4k2,kZ，Nx|x2k,kZ，Px|x4k2,kZ，则M，

N，P的关系（ ）

A．MPN

B．NPM

C．MNP

D．MPN第 1 页，共 15 页

7． 等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（ A．3

B．

C．±

D．以上皆非

）

8． 已知数列{an}是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（ A．8

B．﹣8

C．11

D．﹣11

）

）

9． 已知A,B是球O的球面上两点，AOB60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为183，则球O的体积为（

A．81　　　　B．128　　　　C．144　　　　D．288【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．

10．下列命题中错误的是（

）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形　

11．已知a=5

，b=log2，c=log5，则（

）

A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．b＞a＞c

12．随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ A．1　

B．2

C．3

D．4

）

二、填空题

13．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为　　　　　　cm3．

14．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。第 2 页，共 15 页

15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－最小值4，则m＝________．

m （m∈R）在区间[1，e]上取得x16．已知集合Ax|0x≤3,xR，Bx|1≤x≤2,xR，则A∪B＝ ▲ ．17．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）=　　．18．　

=　　　　　　．三、解答题

19．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式；（2）设数列（3）设Cn=　

的前n项和为Pn，求证：Pn＜；

，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与

的大小．

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20．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

21．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（Ⅰ）求证：CE∥平面ADF；

（Ⅱ）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2求BK的取值范围．

．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，

22．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（n∈N*）．

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（1）求a2，a3，a4；

（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

acosB．

24．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为x2cos（y2sinìïx=2+tcosa为参数，[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的极坐标；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

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安国市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；

③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．

【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．　

2． 【答案】A

【解析】解：抛物线y2=8

x的焦点（2

，0），

，

．

双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8双曲线C的渐近线方程是y=±故选：A．

【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．　

3． 【答案】C【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

x．

x的焦点相同，c=2

双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2

21，扇形

OAC的面积为，所求概率为P24． 【答案】A

111．2【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）则A∪B=（0，+∞）故选：A．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．　

5． 【答案】B

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【解析】解：设圆柱的高为h，则V圆柱=π×12×h=h，V球=∴h=

．

=

，

故选：B．　

6． 【答案】A【解析】

试题分析：通过列举可知MP2,6,N0,2,4,6，所以MPN.考点：两个集合相等、子集．17． 【答案】C

【解析】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=3，

又数列{an}是等比数列，则a62=a3a9=3，即a6=±故选C　

8． 【答案】D

【解析】解：设{an}是等比数列的公比为q，因为a2=2，a3=﹣4，所以q=

=

=﹣2，

．

所以a1=﹣1，根据S5=故选：D．

【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．　

9． 【答案】D

【解析】当OC平面AOB平面时，三棱锥OABC的体积最大，且此时OC为球的半径．设球的半径为

=﹣11．

114R，则由题意，得R2sin60R183，解得R6，所以球的体积为R3288，故选D．

32310．【答案】 B

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【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．

∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．

对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为

，

∴截面三角形SAB的高为

=

故截面的最大面积为

．

．故B错误．

，∴截面面积S=

=

≤

对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．　

11．【答案】C【解析】解：∵a=5∴a＞c＞b．故选：C．　

12．【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，因为P（x1＜3）=P（x2≥a），所以3﹣2=4﹣a，所以a=3，故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．　

＞1，b=log2＜log5=c＜0，

二、填空题

13．【答案】　6　

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【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．　

14．【答案】

【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则

15．【答案】－3e【解析】f′（x）＝减，

。

=6．

=，

1mxm＋2＝，令f′（x）＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′（x）<0，f（x）单调递2xxx

当x>－m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f（x）min＝f（1）＝－m≤1，不可能等于4；

若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f（x）＝ln（－m）＋1，令ln（－m）＋1＝4，得m＝－e3（－min＝f（－m）e，－

1）；若－m>e，即m<－e时，f（x）min＝f（e）＝1－m＝－3e.

16．【答案】1－1，3]【解析】

试题分析：A∪B＝x|0x≤3,xRx|1≤x≤2,xR＝1－1，3]考点：集合运算【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．17．【答案】　1　．

【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，

mm，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，ee第 10 页，共 15 页

f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．　

18．【答案】　2　．

【解析】解：故答案为：2．

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．　

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1）∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n…∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n…∴nan+1﹣nan﹣2n=0∴an+1﹣an=2，

∴{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列 …由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，数列{an}通项公式an=2n﹣1；…（2）证明：由（1）可得

…

=（3）∴

=两式相减得=

，，

…

…

，

，

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=，

==∴∴∵n∈N*，∴2n＞1，∴∴

，…，

…

，

…

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有

（平方米），

米，则

可知，池底长方形宽为（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当

，即x=40时取等号，

所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．　

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中，CD∴EF

BA，正方形ABEF中，EF

BA．…

CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF．…

，∴CE2=BC2+BE2．

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又DF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，∴CE∥平面ADF． …（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=

∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…

又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD． …以B为原点，

、

、

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0）

=（2，2，0），

=（0，2，2）．

，F（0，2，2），A（0，2，0），

设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由又

，

，得

可取=（1，﹣1，1），…

=

，

=（0，﹣2，m），于是sinφ=

∵30°≤φ≤45°，∴结合0＜m＜2，解得0

，即…

]．…

，即BK的取值范围为（0，4﹣

【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．　

22．【答案】

【解析】解：（1）由an+1=

，可得a2=

=

，a3=

=

=，

a4=

（2）猜测an=

==．

（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a1=a，

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右边=

②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，即ak=

则当n=k+1时，ak+1==

．

故当n=k+1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有an=　

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分）解：（1）∵bsinA=由正弦定理可得：sinBsinA=∴B=

…

．

，

sinAcosB，即得tanB==

=a，猜测成立．

．

=

成立．

，

（2）△ABC的面积由已知及余弦定理，得又a2+c2≥2ac，

故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为　

24．【答案】

…

．

【解析】（Ⅰ）设D点坐标为(2cosq,2sinq)，由已知得C是以O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线OD与直线x+y+2=0的斜率相同，为(-1,1)，极坐标为(2,3p)．4223，故D点的直角坐标4（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

|2k2|1k22k24k10 k23，k23（舍去）

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设点B(2,0)，则kAB2022,22故直线l的斜率的取值范围为(23,22].

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