2020年重庆市中考数学试卷(b卷)含答案解析

2020年重庆市中考数学试卷（B卷）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．5的倒数是（ ） A．5

B．

C．﹣5

D．﹣

2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）

A．长方体 B．圆柱体

C．球体 D．圆锥体

3．计算a•a2结果正确的是（ ） A．a

B．a2

C．a3

D．a4

4．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（ ）

A．65°

B．55°

C．45°

D．35°

5．已知a+b＝4，则代数式1++的值为（ ） A．3

B．1

C．0

D．﹣1

6．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

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A．1：2

B．1：3

C．1：4

D．1：5

7．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ） A．5

B．4

C．3

D．2

8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）

A．18

B．19

C．20

D．21

9．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）

（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米

B．24米

C．24.5米

D．25米

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10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程

+A．﹣1

＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）

B．﹣2

C．﹣3

D．0

11．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻

折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）

A．

B．3

C．2

D．4

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）

A．

B．8

C．10

D．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．计算：（）1﹣

﹣

＝ ．

14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为 ．

15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率

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是 ．

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2

，以点

O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达B地．

18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为 元．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．

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19．（10分）计算：

（1）（x+y）2+y（3x﹣y）； （2）（

+a）÷

．

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．

（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数； （2）求证：BE＝DF．

21．（10分）每年的4月15日是我国全民教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级 平均数 中位数 众数 合格率

七年级 7.4 a 7 85%

八年级 7.4 b c 90%

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；

（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．

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22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除； 3不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

23．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣究该函数的性质． x y

… …

﹣4 ﹣

﹣3 a

﹣2 ﹣2

﹣1 ﹣4

0 b

1 ﹣4

2 ﹣2

﹣3

4 ﹣

… …

的图象并探

（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）： ①函数y＝﹣

的图象关于y轴对称；

有最小值，最小值为﹣6；

②当x＝0时，函数y＝﹣

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

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（3）已知函数y＝﹣x﹣式﹣

＜﹣x﹣

的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等

的解集．

24．（10分）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元． （1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加

a%．求a的值．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣析式为y＝﹣

x+2．

，0），直线BC的解

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移

个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2

（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26．（8分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN积

的

面．．以

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2020年重庆市中考数学试卷（B卷）

参与试题解析

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．5的倒数是（ ） A．5

解：5得倒数是， 故选：B．

2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）

B．

C．﹣5

D．﹣

A．长方体 B．圆柱体

C．球体 D．圆锥体

解：A、六个面都是平面，故本选项正确； B、侧面不是平面，故本选项错误； C、球面不是平面，故本选项错误； D、侧面不是平面，故本选项错误； 故选：A．

3．计算a•a2结果正确的是（ ） A．a

B．a2

C．a3

D．a4

解：a•a2＝a1+2＝a3． 故选：C．

4．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（ ）

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A．65°

B．55°

C．45°

D．35°

解：∵AB是⊙O的切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°，

∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°， 故选：B．

5．已知a+b＝4，则代数式1++的值为（ ） A．3

解：当a+b＝4时， 原式＝1+（a+b） ＝1+×4 ＝1+2 ＝3， 故选：A．

6．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

B．1

C．0

D．﹣1

A．1：2

B．1：3

C．1：4

D．1：5

解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2， ∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．

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∴△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：C．

7．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ） A．5

B．4

C．3

D．2

解：设还可以买x个作业本， 依题意，得：2.2×7+6x≤40， 解得：x≤4

．

又∵x为正整数， ∴x的最大值为4． 故选：B．

8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）

A．18

B．19

C．20

D．21

解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3， 第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4， 第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5， ……

∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20， 故选：C．

9．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则

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信号塔AB的高度约为（ ）

（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米

B．24米

C．24.5米

D．25米

解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米， ∴设EF＝x，则DF＝2.4x． 在Rt△DEF中，

∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782， 解得x＝30，

∴EF＝30米，DF＝72米， ∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD， ∴四边形EFCM是矩形，

∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米． 在Rt△AEM中， ∵∠AEM＝43°，

∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米， ∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米． ∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米． 故选：D．

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10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程

+A．﹣1

＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）

B．﹣2

，

C．﹣3

D．0

解：不等式组整理得：

由解集为x≥5，得到2+a≤5，即a≤3， 分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即2y﹣2＝a， 解得：y＝+1，

由y为非负整数，且y≠2，得到a＝0，﹣2，之和为﹣2， 故选：B．

11．如图，在△ABC中，AC＝2

，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻

折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）

A．

B．3

C．2

D．4

解：如图，延长BC交AE于H，

∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°， ∴∠ACB＝120°，

∵将△ACB沿直线AC翻折，

∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，

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∵∠DAE＝∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝15°， ∴∠CAE＝30°，

∵∠ADC＝∠DAE+∠AED， ∴∠AED＝45°﹣15°＝30°， ∴∠AED＝∠EAC， ∴AC＝EC，

又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC， ∴△ABC≌△EBC（SAS），

∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°， ∴∠ABE＝90°，

∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC， ∴AH＝EH，BH⊥AE， ∵∠CAE＝30°， ∴CH＝AC＝∴AE＝2

，

，AH＝

CH＝

，

∵AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴BE＝

＝2

，

故选：C．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）

A．

B．8

C．10

D．

解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，

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∴∠BHC＝90°，

∵点D（﹣2，3），AD＝5， ∴DE＝3， ∴AE＝

＝4，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，

∴∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°， ∴∠CBH＝∠DCH，

∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°， ∠CPD＝∠APO， ∴∠DCP＝∠DAE， ∴∠CBH＝∠DAE， ∵∠AED＝∠BHC＝90°， ∴△ADE≌△BCH（AAS）， ∴BH＝AE＝4， ∵OE＝2， ∴OA＝2， ∴AF＝2，

∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°， ∴∠APO＝∠BAF， ∴△APO∽△BAF， ∴

，

∴＝，

∴BF＝， ∴B（4，）， ∴k＝

，

第15页（共30页）

故选：D．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．计算：（）1﹣

﹣

＝ 3 ．

解：原式＝5﹣2＝3， 故答案为：3．

14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为 9.4×107 ． 解：94000000＝9.4×107， 故答案为：9.4×107．

15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是

．

解：列表如下

1 2 3

1 3 4

2 3 5

3 4 5

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，

所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为＝， 故答案为：．

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2

第16页（共30页）

，以点

O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 3π ．（结果保留π）

﹣

解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，

∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝2∴BO＝DO＝

，∠ABD＝∠ADB＝60°， ，

∵以点O为圆心，OB长为半径画弧， ∴BO＝OE＝OD＝OF，

∴△BEO，△DFO是等边三角形， ∴∠DOF＝∠BOE＝60°， ∴∠EOF＝60°，

∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S﹣

×3﹣

﹣π．

）＝3

﹣π，

扇形

OEF）＝2×（×12﹣×3

故答案为：3

17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关

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系如图所示，则乙比甲晚 12 分钟到达B地．

解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x米/分． 则有：7500﹣20x＝2500， 解得x＝250，

25分钟后甲的速度为250×＝400（米/分）． 由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米）， 86分钟乙的路程为86×300＝25800（米）， ∴

故答案为12．

18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为 1230 元．

解：设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，（x，y，z均为非负整数），则第一时段返现金额为（50x+30y+10z），

第二时段摸到红球3x次，摸到黄球2y次，摸到绿球4z次，则第二时段返现金额为（50×3x+30×2y+10×4z），

第三时段摸到红球x次，摸到黄球4y次，摸到绿球2z次，则第三时段返现金额为（50x+30×4y+10×2z），

第18页（共30页）

＝12（分钟）．

∵第三时段返现金额比第一时段多420元，

∴（50x+30×4y+10×2z）﹣（50x+30y+10z）＝420， ∴z＝42﹣9y①， ∵z为非负整数， ∴42﹣9y≥0， ∴y≤

，

∵三个时段返现总金额为2510元，

∴（50x+30y+10z）+（50x+30×4y+10×2z）+（50x+30×4y+10×2z）＝2510， ∴25x+21y+7z＝251②，

将①代入②中，化简整理得，25x＝42y﹣43， ∴x＝

④，

∵x为非负整数， ∴∴y≥∴

≥0， ， ≤y≤

，

∵y为非负整数， ∴y＝2，34， 当y＝2时，x＝当y＝3时，x＝

，不符合题意， ，不符合题意，

当y＝4时，x＝5，则z＝6，

∴第二时段返现金额为50×3x+30×2y+10×4z＝10（15×5+6×4+4×6）＝1230（元）， 故答案为：1230．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．

19．（10分）计算：

（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；

第19页（共30页）

（2）（+a）÷．

解：（1）（x+y）2+y（3x﹣y）， ＝x2+2xy+y2+3xy﹣y2， ＝x2+5xy； （2）（＝（＝＝﹣

×． ++a）÷

）×

，

，

，

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．

（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数； （2）求证：BE＝DF．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵CF平分∠DCB， ∴∠BCD＝2∠BCF， ∵∠BCF＝60°， ∴∠BCD＝120°，

∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB， ∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，

第20页（共30页）

∴∠BAE＝，∠DCF＝，

∴∠BAE＝∠DCE， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝CF．

21．（10分）每年的4月15日是我国全民教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级 平均数 中位数 众数 合格率

七年级 7.4 a 7 85%

八年级 7.4 b c 90%

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 8 ；

（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．

第21页（共30页）

解：（1）由图表可得：a＝故答案为：7.5，8，8；

＝7.5，b＝＝8，c＝8，

（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800×（人），

答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人； （3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率， ∴八年级“法”知识竞赛的学生成绩更优异．

＝200

22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除； 3不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，6能被2整除， 675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；

（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由： 设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数）， ∴a+a+5＝2a+5， 当a＝1时，2a+5＝7， ∴7能被1，7整除，

∴满足条件的三位数有611，617， 当a＝2时，2a+5＝9， ∴9能被1，3，9整除，

∴满足条件的三位数有721，723，729， 当a＝3时，2a+5＝11，

第22页（共30页）

∴11能被1整除，

∴满足条件的三位数有831， 当a＝4时，2a+5＝13， ∴13能被1整除，

∴满足条件的三位数有941，

即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．

23．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣究该函数的性质． x y

… …

﹣4 ﹣

﹣3 a

﹣2 ﹣2

﹣1 ﹣4

0 b

1 ﹣4

2 ﹣2

﹣3

4 ﹣

… …

的图象并探

（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ﹣ ，b＝ ﹣6 ；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）： ①函数y＝﹣

的图象关于y轴对称；

有最小值，最小值为﹣6；

②当x＝0时，函数y＝﹣

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． （3）已知函数y＝﹣x﹣式﹣

＜﹣x﹣

的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等

的解集．

第23页（共30页）

解：（1）x＝﹣3、0分别代入y＝﹣故答案为﹣

，﹣6；

，得a＝﹣＝﹣，b＝﹣＝﹣6，

画出函数的图象如图：

，

故答案为﹣

，﹣6；

（2）根据函数图象： ①函数y＝﹣

的图象关于y轴对称，说法正确；

有最小值，最小值为﹣6，说法正确；

②当x＝0时，函数y＝﹣

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误． （3）由图象可知：不等式﹣

＜﹣x﹣

的解集为x＜﹣4或﹣2＜1．

24．（10分）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元． （1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加

a%．求a的值．

解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；

第24页（共30页）

根据题意得，解得：

，

，

答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+解得：a＝0.1， 答：a的值为0.1．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣析式为y＝﹣

x+2．

，0），直线BC的解

a%），

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移

个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2

（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣故点B、C的坐标分别为（3则y＝ax2+bx+2＝a（x+

x+2，令y＝0，则x＝3

，令x＝0，则y＝2，

，0）、（0，2）；

）＝a（x2﹣2

x﹣6）＝ax2﹣2

a﹣6a，

）（x﹣3

即﹣6a＝2，解得：a＝，

第25页（共30页）

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+

x+2①；

（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，

∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y＝﹣联立①②并解得：x＝4

，故点D（4

，﹣

（x+），

x+2，

，﹣2），故BH＝2， x+2），

）②，

由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣当x＝3

时，yBC＝﹣

x+2＝﹣2，即点H（3x+2），则点F（x，﹣

设点E（x，﹣x2+

则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD＝×EF×OB+×（xD﹣xC）×BH＝×（﹣x2+∵

（3）存在，理由： y＝﹣x2+单位，

则新抛物线的表达式为：y＝﹣x2+， 点A、E的坐标分别为（﹣＝﹣n2+；

①当AE是平行四边形的边时，

第26页（共30页）

x+2+x﹣2）×3+×4×2＝﹣

x2+3x+4

， ，此时点E（

，）；

＜0，故S有最大值，当x＝时，S的最大值为

x+2＝﹣（x

）2+，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移

个

，0）、（，）；设点M（，m），点N（n，s），s

点A向右平移个单位向上平移个单位得到E，同样点M（N）向右平移个单

位向上平移个单位得到N（M）， 即

±

＝n，

或， ，﹣

）或（﹣

，）；

则s＝﹣n2+＝﹣故点N的坐标为（

②当AE是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：﹣s＝﹣n2+＝故点N的坐标（﹣综上点N的坐标为：（

，

，

）； ，﹣

）或（﹣

，）或（﹣

，

）．

+

＝n+

，解得：n＝﹣

，

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26．（8分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN积

的

面．．以

第27页（共30页）

解：（1）如图1中，连接BE，CF．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4， ∴AD＝∵AE＝2

BD＝4，

， ＝

＝2

，

，

∴DE＝AE＝2∴BE＝

∵△ABC，△AEF答等边三角形，

∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴CF＝BE＝2

，

∵EN＝CN，EG＝FG， ∴GN＝CF＝

（2）结论：∠DNM＝120°是定值．

．

第28页（共30页）

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACF，

∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，

∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°， ∵EN＝NC，EM＝MF， ∴MN∥CF， ∴∠ENM＝∠ECM， ∵BD＝DC，EN＝NC， ∴DN∥BE， ∴∠CDN＝∠EBC， ∵∠END＝∠NDC+∠ACB，

∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACN+∠ECM＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．

（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC， ∴JN＝AE＝∵BJ＝AD＝4∴BN≤BJ+JN， ∴BN≤5

，

， ，

∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

第29页（共30页）

∵KJ＝AJ•tan30°＝∴KN＝

，

，JN＝

，

在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°， ∴HN＝NK•sin60°＝∴S△ADN＝•AD•NH＝×4

×

＝， ×＝7

．

第30页（共30页）