数学分析试题(一)答案及评分标准 - 陕西师范大学

一、填空（每题3分）

1．(0,10]

2．

f(x)+f(−x)f(x)−f(−x)

，

2223．

5

4．a=1，b=−1 5．0

二、求极限（每题5分）

111111+2+L+2lim(+2+L+n)

2= n→∞222……………………………(1分) 1．lim22n→∞111111

+2+L+nlim(+2+L+n)

n→∞333333

11(1−()n)

2lim2n→∞1

1−2=……………………………………………………………(2分) 11n(1−())

3lim3

n→∞ 1−1

3

=2……………………………………………………………………………(2分)

2．lim(

n→∞

111++L+) 222(n+1)(2n)n

0≤

111n+1++L+≤……………………………………………(2分)

(2n)2n2(n+1)2n2

利用夹逼原则，…………………………………………………………………(1分) 可求得lim(

n→∞

111

++L+)=0．……………………………………(2分) 222n(n+1)(2n)

70

20

3．lim

(3x+6)(8x−5)

x→+∞(5x−1)90

65

x90(3+)70(8−)20

xx………………………(2分) =lim

x→+∞1

x90(5−)90

x

65(3+)70(8−)20

xx=lim…………………………………………………..(1分)

x→+∞190

(5−)

x

370⋅820=…………………………………………………………………..(2分) 90

54．lim(tanx)sinx= limesinxln(tanx)………………………………………………..(1分)

x→0

x→0

=limex→0

x→0

limsinxlntanx

=lime

x→0

lntanx1x→0

sinxlim

………………………………………………(1分)

=e

−limsec2xsinx

x→0

…………………………………………………………………(2分)

=e0=1………………………………………………………………………(1分) xxx

5．lim(lim(cosxcoscos2Lcosn))

x→0n→∞222

xxxxx

sin2x=2sinxcosx=22cosxcossin=L=2n+1cosxcosLcosnsinn

22222

…………………………………………………………………………………..（2分） xxxsin2x1lim(cosxcoscos2Lcosn)=lim⋅n+1…………………………….(1分) n→∞n→∞x2222

sinn

2

xnsin2x1sin2xsin2x2=………………………………...(1分) lim⋅⋅n+1=limn→∞n→∞x2x2x2x

sinnsinn

22

xxxsin2x

lim(lim(cosxcoscos2Lcosn))=lim=1…………………………(1分) x→0n→∞x→02x222

sin2x−x2116．lim(2−)=lim(2)………………………………………..(1分) 22x→0xx→0sinxxsinxsin2x−x2sin2x−2x=lim(2)=……………………………….(1分) limx→0x→02xsin2x+x2sin2xxsin2xcos2x−2

……………………………………………(1分)

x→0sin2x+2xsin2x+x2cos2x

−2sin2x

=lim…………………………………………(1分) x→03sin2x+6xcos2x−2x2sin2x1=−．…………………………………………………………………………(1分)

3

=lim

三、计算（每题5分）

tanxxsec2x−tanx

1．y′=( )′=2

xx2．y′=(ln

1+x−1−x1+x+1−x

)′=(ln(1−1−x2)−lnx)′………通过分母有理化先将y化

简………………………………………………………………………………..(2分)

(ln(1−1−x2)−lnx)′=

11−1−x2

⋅

x1−x2

−

1

………………………………(2分) x

y′=(ln

1+x−1−x1+x+1−x

)′=

1x1−x

2

……………………………………………(1分)

3．y′=(xsinx)′=(esinxlnx)′……………………………………………………...(2分) (esinxlnx)′=esinxinx⋅(sinxlnx)′…………………………………………………..(1分)

y′=esinxinx⋅(sinxlnx)′=xsinx(cosxlnx+

sinx

)………………………………..(2分) x

则f(x)=(x+1)3……………………………………………...(1分) 4．f(x−1)=x3，

f′(x)=3(x+1)2…………………………………………………………………(2分)

f′(x+1)=3(x+2)2………………………………………………………………(1分)

f′(x−1)=3x2…………………………………………………………………..(1分)

3

⎧3asin2tcostdy⎪x=acost5．⎨，则==−tant……………………………(2分) 23

dx−3acostsint⎪⎩y=asint

⎧x=acos3t

d2y−sec2x1⎪

=，则2=…………………...(3分) ⎨dy24

dx−3acostsint3acostsint⎪=−tanx

⎩dx6．设y=xlnx−x，由于y′=(xlnx−x)′=lnx………………………………(3分)

dy=lnxdx……………………………………………………………………(2分)

四、由于lim

lim

2(x−2)(x+3)

=∞，x=1是垂直渐近线……………………(1分)

x→1x−1

2(x−2)(x+3)

=2……………………………………………………….(2分)

x→∞(x−1)x

lim(

x→∞

2(x−2)(x+3)4x−12

−2x)=lim=4……………………………….(2分)

x→∞x−1x−1

因此也具有斜渐近线y=2x+4．……………………………………..(1分)

2lnx−ln2xln2x2

五、f(x)=，由f′(x)==0，可解出x=1，e……..(2分) 2

xx

当00；当e2……………………………………………………………………………………(2分)

所以x=1是f的极小值，f(1)=0；x=e2是f的极大值，f(e2)=4e−2.

…………………………………………………………………………………….(2分)

π⎧sinx

,(,]x0∈

六、证：令f(x)=⎪2…………………………………………(1分) ⎨x

⎪⎩1,x=0

f在[0,]上连续．当x∈(0,)时，f′(x)=

22

ππxcosx−sinxcosx(x−tanx)

=<0， 22

xx

………………………………………………..(3分) 所以f在[0,]上严格递减，

2

π因此x∈(0,)时，

2

ππ=f()22

π即

2x

π七、不妨假设f在[a,b]上不恒正也不恒负，…………………………..(1分) 即存在x′,x′′∈[a,b]，满足f(x′)>0，f(x′′)<0，…………………………(2分) 由连续函数的介值定理，……………………………………………………(2分) 则存在x0∈(x′,x′′)，使得f(x0)=0………………………………………….(1分) 这与已知矛盾．……………………………………………………………….(1分)