数学分析(Ⅱ)试题与参[1]

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．

(1)nA．(1) B．  C．

nn1n1n(1)n D． 2n1n1(1) nn1n

2、 若f是(,)内以2为周期的按段光滑的函数, 则f的傅里叶（Fourier）级数在

它的间断点x处 （ ）．

A．收敛于f(x) B．收敛于

1(f(x0)f(x0)) 2 C． 发散 D．可能收敛也可能发散

3、函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ ）．

A．有界 B．连续 C．单调 D．存在原函数

4、设f(x)的一个原函数为lnx，则f(x)（ ）

11x B．xlnx C． 2 D． e xxdx (k0)收敛于1，则k（ ） 5、已知反常积分01kx2A．

22A． B． C． D．

224223n1n6、lnx(lnx)(lnx)(1)(lnx)收敛，则（ ）

1A． xe B．xe C． x 为任意实数 D． exe

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数2、若数项级数3、曲线y

axnn1n1n在x2处条件收敛，则它的收敛半径为 ．

un的第n个部分和Sn2n，则其通项un ，和S ． n11

与直线x1，x2及x轴所围成的曲边梯形面积为 ． x

4、已知由定积分的换元积分法可得，5、数集(1)10exf(ex)dxf(x)dx，则a ，b ．

abnn n1, 2 , 3, 的聚点为 ． n126、函数f(x)ex的麦克劳林（Maclaurin）展开式为 ．

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三、计算题（每小题6分，6×5＝30分） 1、

dx2x． 2、lnx dx． x (1x)3、5、

 a 0 a2x2 dx (a0)． 4、limx0 x 0cos2t dtsinx．

2 01sin2x dx．

四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）

1、讨论函数项级数

sinnx在区间(,)上的一致收敛性． 2nn1xn2、求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数．

nn13、设f(x)x, 将f在(,)上展为傅里叶（Fourier）级数．

五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）

1、已知级数

an1n与

cn1n都收敛，且

anbncn, n1, 2, 3， 

证明：级数2、证明：

bn1nn也收敛．

2 0 sinx dx2cosnx dx．

0

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一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D

二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ 2 ⒉ un2, S=2 ⒊ ln2

n(n1)⒋ a1, be ⒌ 1 ⒍

三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）

12nx, x(,) n0n!1. 解

 111

x(1x)x1x1 dx （3分）

x(1x)11()dx

x1x lnxln1xC. （3分）

2. 解 由分部积分公式得

2xlnxdx13lnxdx 311x3lnxx3dlnx （3分） 33111x3lnxx3dx 33x11x3lnxx2dx 3311x3lnxx3C （3分） 393. 解 令xasint, t[0, ]

2由定积分的换元积分公式，得

a02a2x2dx

a20cos2tdt （3分）

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a22220(1cos2t)dt

20a1(tsin2t)22

a24. （3分）

4. 解 由洛必达(L＇Hospital)法则得

sinxcos2xlim （4分） x0cosxlimcosx

x0x0 limx0cos2tdt

1 （2分）

5. 解

02(sinxcosx)2dx （2分）

201sin2xdx

 2sinxcosxdx

004(cosxsinx)dx 2(sinxcosx)dx （2分）

42(sinxcosx)40(sinxcosx)4

222. （2分）

四、 解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）

1. 解 x(, +), n（正整数）

sinnx1 （3分） 22nn1而级数2收敛，故由M判别法知，

n1nsinnx在区间(,)上一致收敛． （3分） 2nn1

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xn2. 解 幂级数的收敛半径Rn1n1limnn1n1，

收敛区间为(1,1)． （2分）

xn易知在x1处收敛，而在x1发散，

n1nxn故的收敛域为[1,1)． （2分） n1n1 xn, x(1, 1) （2分）

1xn0逐项求积分可得

x1ndtt01tn00dt, x(1,1)． xxn1xn即ln(1x), x(1,1). （2分）

n0n1n1n3. 解 函数f及其周期延拓后的图形如下

函数f显然是按段光滑的，

故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。 （2分）

由于f(x)在(,)为奇函数， 故 an0, n0, 1, 2, …， 而

bn1xsinnxdx11 xcosnxnncosnxdx

(1)n12 （4分）

n所以在区间(,)上，

sinnxf(x)x2(1)n1. （2分）

nn1

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五、 证明题（每小题5分，5×2＝10分）

1. 证明 由an与cn都收敛知，

n1n1级数

(cn1nan)也收敛。 （1分）

又由 anbncn, n1, 2, 3，  可知， 0bnancnan, n1,2,3,

从而由正项级数的比较判别法知

(bn1nan)收敛， （2分）

于是由 bn(bnan)an, n1,2,3, 知级数

bn1n收敛． （2分）

2. 证明 令x2t，则t2x. （1分）

0由定积分的换元积分公式，得

2sinnxdx － sinn(t)dt （2分） 022n2sin(t)dt2cosntdt 0022cosnxdx （2分）

0

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