数学分析试题及标准答案解析

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若fx在a,b连续，则fx在a,b上的不定积分fxdx可表为

ftdtC（ ）.

ax 2.若fx,gx为连续函数，则fxgxdx 3. 若aafxdxgxdx（ ）.

afxdx绝对收敛，gxdx条件收敛，则[fxgx]dx必

然条件收敛（ ）. 4. 若1fxdx收敛，则必有级数fn收敛（ ）

n1 5. 若fn与gn均在区间I上内闭一致收敛，则fngn也在区间I上内闭一致收敛（ ）.

6. 若数项级数an条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于

n1正无穷大（ ）.

7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.

^`

二. 单项选择题（每小题3分，共15分）

1.若fx在a,b上可积，则下限函数fxdx在a,b上（ ）

xaA.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定

2. 若gx在a,b上可积，而fx在a,b上仅有有限个点处与gx不相等，则（ ）

A. fx在a,b上一定不可积；

B. fx在a,b上一定可积,但是fxdxgxdx；

aabb C. fx在a,b上一定可积，并且fxdxgxdx；

aabb D. fx在a,b上的可积性不能确定.

11 3.级数n2n1n1n

A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定

4.设un为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若limun0，则级数nun一定收敛；

B. 若limun11，则级数un一定收敛；

nunu C. 若N,当nN时有，n11，则级数un一定收敛；

un^`

u D. 若N,当nN时有，n11，则级数un一定发散；

un 5.关于幂级数anxn的说法正确的是（ ） A. B. C. D.

三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. lim

axnn在收敛区间上各点是绝对收敛的；

naxn在收敛域上各点是绝对收敛的；

axnnn的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

axn1nn1n2nn nn 2. lnsinxcos2xdx

四. 判断敛散性（每小题5分，共 1.3x101xx2dx

^`

15分）

^`

2.n! nnn1 3.

n11nn

2n n12

五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共 1.fsinnxnxn,n1,2,D,

^`

10分） ^`

n2 2. nxD,22,

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）

^`

七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)

^`

八. 证明：函数fx题满分9分）

cosnx在,上连续，且有连续的导函数（.本3n^`

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》B卷 • 答案

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人

一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.✘ 2.✔ 3.✘ 4. ✔ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✔ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B

三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.limn0133xnxsinxe1322xdx xn13解：由于0分

而

0x3sin2xe2xdxxndx-------------------------3

0

lim3xndxlimn01110

nn13n1---------------------------------4分

故由数列极限的迫敛性得：

^`

limn0133xnxsinxe22xdx0

-------------------------------------5分 2. 设fsinx2xx ，求fxdx sinx1x解：令 xsin2t 得

x1xfxdx===

sin2t1sint2fsin2tdsin2t----------------2分

sintt2sintcostdt

costsint2tsintdt

-----------------------------------4分

=2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC---------------5分

四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.

1arctanx1x20dx

arctanx1x2 解：x10lim1x12limarctanx1xx1042 -------3分

且 p 瑕积分

11，由柯西判别法知， 21arctanx1x20dx收敛 -------------------------5分

^`

2.

lnnn21lnn

解：limlnn,n0N,当nn0时

n 有 lnne2 -----------------------------2分

从而 当nn0

分

由比较判别法 分

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1. fnx1lnnlnn1-------------------------------4n2lnnn21lnn 收敛----------------------------5

x1n2,n1,2,D0,

解：极限函数为fxlimfnxxxD-----------------------2分

n 又 fnxfx1x2xn1/n2x1xn21--------3分 n0supfnxfxxD1 n 从而limsupfnf0

n故知 该函数列在D上一致收敛. -------------------------5分

^`

2.

2nsinx3n,D[1,1]

nx2 解：因当 xD 时，unx2nsinn--------------2分

332而 正项级数 收敛， -----------------------------4

3分

由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分 3.

nx1n2n,D,

n解：易知，级数1的部分和序列Sn一致有界，---2分 而 对xD,Vnx1 是单调的，又由于 2xn11xD,Vnx20n，------------------4分

xnn1所以vnx2在D上一致收敛于0，

xn从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分

六. 设平面区域D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

x2y22222yxxy2解：解方程组得圆与抛物线在第一象限 2yx1,1，的交点坐标为： ---------------------------------------3

^`

分

则所求旋转体得体积为：

V2y2dyydy -------------------------------7

1100分

=------------------ =

------------------------------------------------------10分 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）

解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：

dW52xdx25xdx --------------------------------5分 故

所

求

为

：

W2157 6100xdx

-------------------------------------8分 =1250 =12250

（千焦）

-----------------------------------10分

^`

八．设unxn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：若una与unb都

绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：unxn1,2是[a,b]上的单调函数，所以有

unxunaunb ------------------------------4分

又由una与unb都绝对收敛，

所

以

uaubnn 收敛，

--------------------------------------7分

由优级数判别法知：

ux在[a,b]上绝对且一致收敛.--------------------------------n^`

2013 ---2014学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)

1.若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上可积. ( )

2.若函数f(x)在[a,b]上有无穷多个间断点，则f(x)在[a,b]上必不可积。 （ ）

3.若（ ）

4.若fnx在区间I上内闭一致收敛，则fnx在区间I处处收敛（ ） 5.若an为正项级数（an0），且当 nn0时有：

n1af(x)dx与g(x)dx均收敛，则[f(x)g(x)]dx一定条件收敛。

aaan11 ，则级数anan1n必发散。（ ）

6.若fx以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：

an120fxcosnxdx （ ）

 7.若ans，则anan12sa1 （ ）

n1n1^`

8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ） 二. 单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）

A

101xdx B

11xdx C

0sinxdx D

11x3dx

12.级数an收敛是an部分和有界的（ ）

n1n1A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件

3.正项级数

un收敛的充要条件是（ ）

A.limun0 B.数列un单调有界

n C. 部分和数列sn有上界 D.limnn11

nun 4.设liman1a则幂级数anxbnb1的收敛半径R=（ ）

nan1b11b A. a B. a C. D.

aa15. 下列命题正确的是（ ）

A

an1n(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛

B

an1n(x)在[a,b]一致收敛必绝对收敛

^`

C 若lim|an(x)|0，则an(x)在[a,b]必绝对收敛

nn1D

an1n(x)在[a,b]条件收敛必收敛

6..若幂级数anxn的收敛域为1,1,则幂级数anxn在1,1上

A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导

三. 求值或计算（每题4分，共16分）

1. 2.

xx1lnxdx；

1dx

sinxcosx 3．1x1xxedx .

4.设fx在[0,1]上连续，求

^`

lim1n0fnxdx

^`

四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.

2.

3.lnnn234dx2x3x321；

111xln(1x)0dx

n ； n1

^`

enn! 4.n n1n

五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）

1. fn(x)x2n4,n1,2,;x(,)

^`

2(1)n1 2. ；xD,0.50.5, nn3xn1

六.应用题型（14分）

1. 一容器的内表面为由yx2绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（m3），若再加水7（m3），问水位升高了多少米？

^`

2. 把由yex，x轴，y轴和直线x0所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积V，并求满足条件Va

1limV的a. 2^`

七．证明题型 （10分）

已知fx与gx均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有fxgx，但fx不恒等于gx，证明：

baf(x)dxg(x)dx

ab^`

2013 ---2014学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人

一、判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.对任何可导函数fx而言，fxdxfxC成立。（ ） 2.若函数fx在a,b上连续，则Fxftdt必为fx在a,b上的

xb原函数。（ ）

3.若级数an收敛，必有limnan0。（ ）

n1x4.若limnnan1，则级数an发散.

n15.若幂级数anxn在x2处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（ ）

n16.如果fx在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有

bafxdxfxdx.（ ）

ab^`

7.设fx在1,上有定义，则1fxdx与级数fn同敛散.（ ）

n1b8.设fx在a,b任子区间可积，b为fx的暇点，则fxdx与

a1ba11fb2dt同敛散.（ ）

tt9.设fnx在Da,x0x0,b上一致收敛，且limfnxannN存

xx0在，则limlimfnxlimlimfnx.

nxx0xx0n二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ ）

A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2. 下列说法正确的是（ ）

A.

an1n和bn收敛，anbn也收敛

n1n1B.

an1nn和bn发散，(anbn)发散

n1n1C.

an1收敛和bn发散，(anbn)发散

n1n1D.

an1n收敛和bn发散，anbn发散

n1n13.

an1n(x)在[a,b]收敛于a(x)，且an(x)可导，则（ ）

^`

A.

a(x)ax B. a(x)可导

nn1 C.

n1baan(x)dxa(x)dx D.

aban1n(x)一致收敛，则a(x)必连续

11 4.级数n2n1n1n

A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定

2nxn的收敛域为： 5.幂级数2n01n A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C.0.5,0.5 D.0.5,0.5 三.求值与计算题（每小题4分，共16分）

1.

2.

sinxcosx2sin2xdx

xxx12dx

^`

3. lim

4.2xabdx

ab1nnn1nn1 nn

^`

四.判别敛散性（每小题4分，共16分） 1. 2.

3.n111xarctanxdx；

1x30xdx 1xnn1n1n1.

4.n1cos1

n1n

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共

^`

10分） ^`

1(n1)x,0x1/(n1) 1. fnx n1,2,.x0,1

0,1/(n1)x1 2.

六.应用题型（16分）

1.试求由曲线yx2及曲线y2x2所平面图形的面积.

(xn11n12n)n x(,)

2.将11cosx0x2dx表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.

^`

七.（9分）证明：若函数项级数unx满足：（ⅰ）xD,un(x)ann1,2 ；

（ⅱ）unx在D上一致收敛.

^`

an收敛.则函数项级数 ^`

014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》A卷•答案

三. 判断题（每小题3分，共21分）

1. ✔ 2. ✘ 3. ✔ 4. ✘ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✘ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） B, C, C, D, A

三.计算与求值（ 每小题5分，共10分）

12n 1. 解：原式=limn111

nnnnnk1 =limexpln1---------------------------2

nk1nn分

nk1 =explimln1-------------------------3分

nk1nn =exp分

lnxdx=4e211---------------------------5

2.原式= lnsinxdtanx -------------------------------2分 =lnsinxtanxtanxcotxdx --------------------4分 =lnsinxtanxxC ---------------------------5

分

^`

四. 判断敛散性（ 每小题5分，共15分）

1. limxx323x11xx23 ----------------------------2分 31 ---------------------------------32且 p分

由柯西判别法知， 2.由比式判别法

an1nan3x11xx20dx收敛。---------5分

limn1!n1n1limnn!limn该

级

n1e11-----4分

n11/n 故数收敛.

-------------------------------5分

3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数n11n收敛-----------2

n分

2n111 知其单调且有界，---------4分 又 012n12n故由阿贝尔判别法知，级数收敛.

--------------------------------5分

五.1. 解：极限函数为fxlimfnx0xD ---------------------2

n^`

分 又

fnxfxsinnx1 nn---------------------------------4分

limsupfnf0 故知 该函数列在D上一致收敛.-----------5分

n 2. 解：因当 xD 时，

n2n2n2unxnnn----------------------3分

x2xn2而 正项级数 n收敛， -----------------------------4

2分

由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分

六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分）

解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，

^`

过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：

Sx1R2x2tan300R2x2--------------------------------5分 2

3R2x26

故所求立体的体积为： V分

七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)

RR32233Rx2dx ------------7分 =R -------1069

则

第

一

象

限

等

腰

边

的

方

程

为

xy10

------------------------------------3分

^`

压力微元为：dF210x10xdx2100x2dx

故所求为

F2100x2dx

100----------------------------------------7分

1333.33吨 13066.67千牛 ------10分 八. 证明：unx 又unx 所

以

cosnxn3n1,2每一项在,上连续，

cosnx11 而n3收敛 n3n3cosnxn3在

,上一致收敛，

-------------------------------3分

故由定理结论知 fxcosnxn3在

,上连续，

------------------------------5分

x再者unsinnx11 而n2收敛 n2n2x在,上的连续性 x在,上一致收敛，所以un结合un可知fx分

cosnx在,上有连续的导函数. ----------------93n^`

^`

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人

二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.若fx为偶函数，则fxdx必为奇函数（ ）.

2.ysgnx为符号函数，则上限函数y=sgntdt在,上连续

ax（ ）. 3.若afxdx收敛，必有limfx0（ ）.

x4.若fn在区间I上内闭一致收敛，则fn在区间I上处处收敛（ ）. 5.若un(x)在a,b上内闭一致收敛，则un(x)在a,b上一致收敛（ ）.

n1n16.若数项级数an绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对

n1收敛，并且其和不变（ ）.

(x)在a,b上一致7.若函数项级数un(x)在a,b上的某点收敛，且un^`

收敛，则un(x)也在a,b上一致收敛（ ）. 二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 函数f(x)是奇函数，且在[a,a]上可积，则（ ）

A C

aaaf(x)dx2f(x)dx B

0a0aaaf(x)dx0

aaf(x)dx2f(x)dx D

1af(x)dx2f(a)

2.关于积分sinxx1x20dx，正确的说法是（ ）

A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,1

3.就级数1（p0）的敛散性而言，它是（ ）

n2lnpn A. 收敛的 B. 发散的 C. 仅p1 时收 D. 仅p1 时收敛

4..函数列fn在区间I上一致收敛于0的充要条件是（ ）

A. xI,limfnx0 B. xnI,limfxn0

nn C. nNlimfnx0 D. limsupfnx0

xnxI2nxn的收敛域为： 5.幂级数2n01n A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C.0.5,0.5 D.0.5,0.5

^`

三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.lim

2. 设fsinx

n0133xnxsinxe22xdx

2xx ，求fxdx sinx1x四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.

1arctanx1x20dx

 2.

1n2lnnlnn

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共 1. fnxx1n2,n1,2,D0,

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15分）

2.

2nsinx3n

^`

,D[1,1]

^`

3.

x1n2n,D,

六. 设平面区域D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）

^`

^`

八．设unxn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：若una与unb

都绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛. （本题满分9分）