平面向量知识点和例题

平面向量知识点和例题(总13

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第二章 平面向量

1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。 2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素：起点、方向、长度。

3.向量的长度（模）：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|。

4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。

7.如图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，即abABBCAC。 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

8.对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a

9.公式及运算定律：①A1A2+A2A3+...+AnA1=0 ②|a+b|≤

|a|+|b|

③a+bba ④（a+b）+ca（b+c）

10.相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向量。 ②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）（=-a）+a=0。 ④如果a、b是互为相反的向量，那么a= -b，b= -a，ab=0。

2

（-b）⑤我们定义a-b=a+，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向

量。

11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a，它的长度与方向规定如下：①|a||||a| ②当λ＞0时，a的方向与a的方向相同；当λ＜0时，的方向与a的方向相反；λ=0时，a=0

（a）（）a ②（）aaa ③（ab）=ab 12.运算定律：①（）a（a）（a）（ab）=ab ④ ⑤13.定理：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=a，那么a与b共线。相反，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=a；当a与b反方向时，有b= a。则得如下定理：向量向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=a。

14.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使

a1e12e2。我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

15.向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b。作OAa，OBb，则

AOB（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab。

16.补充结论：已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若

manb0，则m=n=0。

3

AC17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

OB18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2) 19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若

a(x1,y1)，则a(x1,y1)

20.当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线 21.定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为(_ y_ P_P 1 x1x2y1y2,) 11_P 2 ①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0

②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1； 当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0. 22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线， 则OCOAOB，其中λ+μ=1

23.数量积（内积）：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做

a与b

的数量积（或内积），记作a·b即a·b=|a||b|cos。其中θ是a与b的夹角，

|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们

规定，零向量与任一向量的数量积为0。

24. a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

|b|cos的乘积。

25.数量积的运算定律：①a·b=b·a ②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb） ③（a+b）·c=a·c+b·c

4

④(ab)2a2abb ⑤(ab)2a2abb ⑥

2222(ab)(ab)ab

26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即abx1x2y1y2。则：

①若a(x,y)，则|a|2x2y2，或|a|x2y2。如果表示向量a的有向

（x1，y1）（x2，y2）线段的起点和中点的坐标分别为、，那么

22a（x2x1，y2y1），|a|（x2x1） （y2y1）22（x1，y1）（x2，y2）②设a，b，则abx1x2y1y20ab0 （x1，y1）（x2，y2）27.设a、b都是非零向量，a，b，θ是a与b的夹角，根

据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosab|a||b|x1x2y1y2 2222x1y1x2y22013-2014学年度XX学校XX月考卷

试卷副标题

1、在平面直角坐标系

中，角与角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终

边关于轴对称，已知，则（ ）

A. B. C. D.

2、下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等

B. 若a与b是共线向量， c与b是共线向量，则a与c是共线向量 C. |abab|，则ab0 D. 若a0与b0是单位向量，则a0b01

3、设b是a的相反向量, 则下列说法一定错误的是( ) A. a与b的长度相等 B. a//b

5

C. a与b一定不相等 D. a是b的相反向量 4、设a,b都是非零向量，下列四个条件，使

ab成立的充要条件是（ ） abA. ab B. a2b C. a//b且ab D. a//b且方向相同 5、下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一

个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是．．．（ ）

A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ②④ 6、下列命题正确的是（ ）

A. 单位向量都相等 B. 模为0的向量与任意向量共线

C. 平行向量不一定是共线向量 D. 任一向量与它的相反向量不相等 7、下列说法不正确的是（ ）

A. a， b为不共线向量，若abab，则ab

B. 若a， b为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量c都可以表示为

cab

C. 若ab， bc，则a与c不一定共线 D. abab

8、在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足

AF2FD,EFxACyAB ,则xy

A.  B. 13112 C.  D.  2459、如图，在ABC中， AD的值为（ ）

21AC,BPBD，若APABAC，则

33

A. 3 B. 2 C. 2 D. 3

10、如图，已知ABa， ACb， BC4BD， CA3CE，则DE（ ）

6

A. ba B.

3413533153ab C. ab D. ba 124431241AB等211、点G为ABC的重心（三边中线的交点）．设GBa,GCb，则于 （ ） A.

311ab B. ab C. 2ab D. 2ab 22212、在ABC中，若ABAC4AP，则PB（ ） A.

313113ABAC B. ABAC C. ABAC D. 44444413ABAC 4413、如图，在ABC中， D为线段BC的中点， E,F,G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，若ABAC4AP，则（ ）

A. 点P与图中的点D重合 B. 点P与图中的点E重合 C. 点P与图中的点F重合 D. 点P与图中的点G重合

14、在三棱柱ABCA1B1C1中，若CAa,CBb,CC1c，则A1B等于( ) A. abc B. abc C. abc D. abc 15、如图，正六边形ABCDEF中， ABCDFE（ ）

A. 0 B. AD C. BE D. CF

16、已知a3,4， b2,1且axbab，则x等于 （ ） A. 23 B.

232323 C. D. 2347

17、在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB， AC于不同两点M，N，若ABmAM， ACnAN， m,n为正数，则值为

A. 2 B. 111的最小mn22223 C. 1 D. 1 333和

共线那么的值是（ ）

18、设两个非零向量与不共线，如果A. 1 B. -1 C. 3 D. 19、点在直线（ ）

A. B. C. 3 D. 4

上运动，

，

，则的最小值是

20、已知向量a2,1， b1,3，则向量2ab与a的夹角为( ) A. 135° B. 60° C. 45° D. 30° 21、如图，在半径为的圆中，已知弦

的长为，则

（ ）

A. B. C. D.

，则

等于

22、若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且( )

A. b＋a B. b－a C. a＋b D. a－b

23、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若则λ+μ=（ ）

=λ+μ，

A．2

B．

C． D．

24、已知O，N，P在所在平面内，且，则点O，N，P依次是

的 （ ）

，

8

A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心

25、已知平面向量a，b和c 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a的分解有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使abc ；

②给定向量b和c，总存在实数和，使abc；

③给定单位向量b和正数 ，总存在单位向量C和实数λ，使abc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使abc . 则所有正确的命题序号是________.

1，则与a2b方向相同的单位向量e ． 26、已知a1，2，b1，27、已知向量a6,2,b3,m，且a//b，则ab__________． 28、如图，在正方形ABCD中，已知AB2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则AMAN的取值范围是

29、

设OA1,OB2， OAOB0， OPOAOB，且1，则OA在

OP上的投影的取值范围是 .

30、把边长为1的正方形ABCD如图放置，A、D别在x轴、y轴的非负半轴上滑动．则OBOC的最大值是 ．

31、如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC7，则AOBC________．

9

32、在边长为1的正三角形ABC中，设e1AB，e2AC，点D满足

BD1DC. 2（1）试用e1,e2表示AD；

（2）若axe1ye2（x,yR，且x0），求

xa的最大值.

33、在边长为1的正三角形ABC中，设e1AB，e2AC，点D满足

BD1DC． 2（1）试用e1，e2表示AD；

（2）若axe1ye2（x，yR，且x0），求

xa的最大值．

34、已知：a、b、c同一平面内的三个向量，其中a(1,2) （1）若|c|25，且c//a，求c的坐标； （2）若|b|5，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角． 210

参

1、【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】B 7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】D11、【答案】B 12、【答案】A13、【答案】C14、【答案】D15、【答案】B16、【答案】C 17、【答案】A18、【答案】D19、【答案】C20、【答案】C 21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C

25、【答案】①②26、【答案】，27、【答案】10

55345528、【答案】0,629、【答案】30、【答案】2 31、【答案】 ,15232、【答案】(1)AD2321. e1e2;(2)333试题分析：(1)由向量加法的运算法则可得

11ADABBDABBDABACAB即可得结果；（2）

33xxx，换元后，利用基本不等式即可得结果. 222axyxyxe1ye2试题解析：（1）ADABBDAB（2）

1121BDABACABe1e2. 3333xa1xxeye12221xxyxy 22 yy1xxy13x242xy123故当时，的最大值为.

x2a333、【答案】（1）AD2321 e1e2；（2）333试题分析：（1）借助图形，结合向量的线性运算将AD分解即可；（2）先求a，将

xa化为二次函数的形式，通过求二次函数的最值可得结果。

试题解析：

（1）如图，结合图形可得

11

1121ADABBDABBCABACABABAC

333321e1e2。 33（2）∵axe1ye2，

2∴axe1ye22x2y22xye1e2x2y2xy，

∴a∴

x2y2xy，

xxyxy22xa1yy1xx21y13x242，

又x,yR， ∴当

x223y1。 时，取得最大值，且最大值为x2a3334、【答案】（1）c(2,4)或c(2,4)；（2）．

试题分析：（1）求c的坐标，若设出c(x,y)，则需建立关于x,y的两个方程，而条件|c|25和c//a恰好提供了建立方程的两个初始条件，只需将它们转化到用x,y表示即可，（2）根据cosab|a||b|，还需求出ab的值，由条件a2b与2ab垂

直，易得ab的值，从而得出夹角，从规范严谨的角度来讲，在此之前，一定要交待[0,]．

试题解析：（1）设c(x,y),|c|25,x2y225,x2y220

c//a,a(1,2),2xy0,y2x

由y2x22xy20∴x2x2或∴c(2,4)或c(2,4)

y4y412

（2）(a2b)(a2b)，(a2b)(a2b)0 即2a3ab2b0,2|a|23ab2|b|20（※）

22|a|5,|b|5，代入（※）中， 2552521

55ab253ab20，ab，cos24|a||b|[0,]，

考点：平面向量的计算及向量数量积的应用．

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