数列通项公式的求法教案

知识点1：数列通项公式的求法 1、观察法 2、公式法

3、利用an与Sn的关系在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

an ann1n2

4、累加法、累乘法

5、构造新数列法 6、倒数法

类型一 观察法：已知前几项，写通项公式 例1 写出下面各数列的一个通项公式

14916... （1），，，，251017371531（2），，，，...

481632（3）1，0，1，0，.. （4）1，

2121,,, 2244类型二、公式法

对于等差、等比数列可直接利用通项公式

等差数列： an 等比数列：an

类型三、利用an与Sn的关系

anS1 (n1)SnSn1 (n2)例：设{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2 +2n-1,求{an}的通项公式

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练习：1、设数列{an}的前n项和为Sn=2n，{bn}为等比数列，且a1b1，

b2(a2a1)b1.求数列{an}和{bn}的通项公式.

2

2、数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1(n1)，求an的通项公式；

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=. (1)求证：{

1}是等差数列；(2)求an表达式； Sn12

类型四、累加法 累乘法

an1anf(n)

an1f(n)an例：1、在{an}中，已知a11,anan1n(n≥2),求通项an.

2

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2、 已知an中，a12,an13nan,求通项an. 练习：1、已知

a中,an1n11,an3an1 (n2)证明：

2、在{an}中，已知a12,an15n1an,求通项an.

类型五、构造新数列法

形如 an1panq（p、q为常数）的递推式，

例：1、数列

an满足a11,an12an1 ,求an.

3

a3n1n2 教师版

练习：1、已知数列｛an｝满足a11，an13an2，求数列｛an｝的通项公式an

类型六、倒数法

pan an1an1anpan1anqanp

例：1、

an数列an满足:a11,an1,

2an1

求an通项公式

2、已知 a12,an0,且an1an2an1an,求an.

3an3练习：已知数列的an首项a1,an1，求an的通项公式

52an1

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知识点2：

判断或证明数列是等差数列的方法有：

（1） 定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列； （2） 中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列； （3） 通项公式法：anknb（k,b是常数）an是等差数列；

（4） 前n项和公式法：SnAn2Bn（A,B是常数，A0）an是等差数列.

判断或证明数列是等比数列的方法有： （1）定义法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an2（2）中项法：若 anan2an1(an0) {an}是等比数列

（3）通项公式法：

若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式， 则数列an是等比数列．(充要条件) （4）前n项和公式法：

若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．

练习：1、已知二次函数f(x)x22(103n)x9n261n100。设函数yf(x)的图像顶点的横坐标构成数列an，求证：数列an是等差数列

12、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

2

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an 教师版

知识点3：数列基本题

1、已知an为等差数列，a158,a6020，则a75 2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n； 3、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11 ；

4、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，数列an前7项的和是

总结：等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。等比数列也是如此。 知识点4：数列提高题

例1：若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.

练习：等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为____________.

例2：设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，

aa5 .n =

bnb5Sn7n2，则Tnn3例3：设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1+ a4+ a7+……+ a97=50，则a3+ a6+

a9……+ a99= ( )

(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 练习：等比数列{an}中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+…a99等于________. 例4：等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160

练习：1、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n .

2、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为 3、等差数列{an}中，a1+a2+……a10=15，a11+a12+……a20=20，则a21+a22+……a30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)45

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知识点5：等差数列的奇数项与偶数项

例：1、已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .

2、含2n1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）

2n1n1n1n1 B. C. D.A.nnn2n

练习：1、有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，若最后一项超过第一项10.5，试求此数列的项数。

2、项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数。

3、有一等差数列{an}，其前12项和为354，且其前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，公差d= ．

14、等差数列{an}的公差为，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( )

2(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值 知识点6：等差数列前n项和的最大（小）值问题 （1）利用an：由an与an1的符号相异，可得出相应n值；

①“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

an0a0，d0即当1，由可得Sn达到最大值时的n值。

an10②“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n1

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（2）利用Sn：由于Sn=

d2dn(a1)n这一个二次函数，通过配方法求得最大22（小）值时n的值。

（3）直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若

pqSpSq则其对称轴为n。

2

例题：在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。

练习：1、已知bn2n31，求数列{bn}的前n项和的最小值。

2、已知数列{an}是等差数列，a1＞0，S9＝S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？

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知识点7：等差数列前n项和（含绝对值）

例题：若数列an的通项公式为an3n12，求数列an的前n项和Sn

练习：1、等差数列an满足S4S9且a112 1、求通项公式an，前n项和公式Sn ○

2、求数列an的前n项和Tn ○

知识点8：三个或四个数成等差、等比数列，如何设元

例:1、三个正数成等差数列,它们的和为15,分别加上1,3,9就成为等比数列,则这三个数为________.

2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为

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85，求这5个数. 9 教师版

3、三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列， 这三个是

总结：已知三个或四个数成等差、等比数列一类问题时，要善于设元，目的在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d外，还可设a-d,a,a+d;四个数成等差数列时，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.；如三个数成等比数列时，除了设a,aq,aq

2,还可以设

a,a,aq，四个数成等比数列时，可设为qaa,,aq,aq3 。 3qq练习：1、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

2、等比数列前三项的和是3，如果把第三项减去9，则这三项又分别是一个等差数列的第1项，第4项和第7项，求等比数列前4项的和。

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作业

一、选择题

1．等差数列前10项和为100，前100项和为10。则前110项的和为 A．-90 B．90 C．-110 D．10

5n32．两个等差数列，它们的前n项和之比为，则这两个数列的第9项之

2n1比是 5887A． B． C． D．

35343．若数列an中，an=43-3n，则Sn最大值n=

A．13 B．14 C．15 D．14或15 4．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30。若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为

A．18 B．12 C．10 D．8 5．等差数列an的前m项的和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是

A．130 B．170 C．210 D．260 6．等差数列an中，a10，S10=4S5 ，若有ak=9a1，则k= A．2 B．3 C．4 D．5

9127．等比数列an中，已知a1，an，q，则n为

833A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列an的首项a11，公差d0，如果a1、a2、a5成等比数列，那么d等于

A．3 B．2 C．－2 D．2

·a2……a30230，则9．设由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a3·a6·a9……a30等于

A．210 B．220 C．216 D．215 二、填空题

1．等差数列5，8，11，……与等差数列3，8，13，……都有100项，那么这两个数列相同的项共有______________项。

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2．小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________。 3．在等比数列an中，a11，an512，Sn341，则q______________，

n______________。

三、解答题

1、有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为16，中间两数和为12。求这四个数。

2、已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和。 （1）求通项an及Sn；（2）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn。

3、在等比数列{an}中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a3a55，又a3与a5的等比中项为2。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn5log2an，数列{bn}的

111前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；（3）设Tn，求Tn。 S1S2Sn

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