直线与圆锥曲线的位置关系教学设计模板

民本中学 沈洪生

一、教学目标

1、通过类比直观判断直线与圆的位置关系的方法即距离法，判断直线与圆锥曲线的三种位置关系，距离法转化为方程组解来研究直线与圆锥曲线的位置关系；

2、在探究的过程中运用数、形结合和方程组解的思想，以运动的观点去观察、思考、分析直线与圆锥曲线的位置关系，从而提高解决问题的能力； 3、在解答直线与圆锥曲线的相关问题中，体会解决直线与圆锥曲线位置关系问题的一般步骤与方法； 4、体验在问题解决过程中，养成严谨的科学研究的学习习惯，感受数学学习的愉悦。 二、教学重点和难点

重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）研究直线与圆锥曲线的公共点问题，来判断直线与圆锥曲线的位置关系，学会弦长公式的应用。学会直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法,注意数、形结合思想的渗透; 非封闭曲线,尤其是双曲线与直线位置关系的讨论; 难点：理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系,感悟方程组的解的个数等于直线与圆锥曲线公共点的个数.充分运用新旧知识的迁移,从数与形两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系；在掌握共性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。 三、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》 的第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一。

本节内容在高考中的地位：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能。

数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类比归纳,总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准的方法。 四、学情分析

在教学中要特别重视学法的指导。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，这为本节复习课起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。因为本班的学生逻辑思维有了较好基础,注意力能够集中较长时间,学习目的明确,内驱力是主要的学习动力。以建构主义理论为指导,采用着重于学生探索研究的启发式教学方法,结合师生共同讨论、归纳。在课堂结构上,根据学生的认知水平设计了： 1.本节要点扫描；2.引出主题,精讲例题；3.能力训练,总结结论,强化认识；4.变式延伸,进行重构这四个层次的学法；它们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目标。从学生的认知基础看，遵循学生的认知规律,体现由特殊到一般,采用循序渐进的启发式教学原则。可以预先由学生通过自主探究直线与圆、直线与椭圆位置关系的判断, 在解题过程中体会解决的数学方法,再由教师引导,自然过渡到直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系如何判断；激发学生的学习兴趣。同时基于本节课的特点：运算量比较大；应着重采用：点拨思路,发散思维,小组分类讨论的教学方法。 五、教学过程 教学 环节 复习 引入 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 通过复习直线与圆的位置关系的回答，类比得出直线l与圆锥曲线C的位置关系为：相交、相切、相离。 通过观察图形：直观判断直线与圆的位置关系类比判断直线与圆锥曲线C的位置关系。 观察图形：直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。类比到直线与圆锥曲线C的位置关系，即：相交、相切、相离。从交点的个数相交（二个）、相切（一个）、相离（0个）的特征。 学生思考，培养学生的思考能力以及思维的严密性。（1）观察图形中的直线与圆锥曲线C的位置关系：（2）可以利用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去某个变量（x或y）后，所得的方程根的情况来研究。 通过运用类比的方法，激发学生的探究热情。通过观察图形，教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，其中有一种方法：数形结合的方法。 用代数的方法来分析直线与圆锥 1、探究直线 l:AxByC0与圆锥曲线 C:f(x,y)0的三种位置关系的充要条件？ 2、讨论总结得出由 AxByC0 f(x,y)0消去y得 思考老师提出的问题：直线与圆锥曲线C的位置关系的判断。 是否可以转化为直线方程与圆锥曲线方程有无公共点或有几个公共点的问题。个别回答问题，在教师的帮助下反思；进一步问：“直线与双曲线、抛物线有一个公共点”时是否一定能够推出“直线与双曲线、抛物线相切”呢？ 通过运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。 ax2bxc0 曲线的位置关系 讲练平台 a0时,b24ac(1)0相交(2)0相切(3)0相离 题目： 已知直线l：ykx1与双曲线C： 变式训练就是改变条件或结论，通过多角度分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。问题1：斜率一定判断直线l与双曲线的位置关系。联立方程组，解方程解得个数？根据前面分析讨论的结论，在老师的指导下引导学生积极思考，共同讨论，寻求问题解决的方法 学生讨论后回答，然后老师引导完善、归纳并在黑板上板书 。 由学生通过变式训练是对学由实例得出本节主要的知生进行数学技能和思维训练识点是:将直线与圆锥曲的重要方式，它不仅能激活学线的方程联立起来,消去生的创新思维，有效地培养学或,结合的情况,求广阔性、独解实题中的问题。在讲解生思维的深刻性、而且能迅速提例题时,不仅在于怎样解,创性和灵活性，更在于为什么这样解，而高学生分析问题、解决问题的及时对解题方法和规律进能力 ；再由教师引导, 直线行概括,有利于发展学生与圆、直线与椭圆位置关系的的思维能力.在题中:怎样判断,自然过渡到直线与双曲使计算更加简单是关键线、直线与抛物线的位置关系点。 如何判断,激发学生的学习兴归纳总结出解决直线与圆趣。同时基于本节课的特点，锥曲线的位置关系，两方运算量比较大,应着重采用点程一定，位置关系就确定。拨思路,发散思维,小组分类讨知道如何求弦长问题、公论的教学方法。 共点问题、存在性问题， 掌握它们的一般方法、一 般步骤。 3x2y21 问题1：若k=2，判断直线l与双曲线的位置关系？若相交，求直线l被双曲线所截得的线段长；若不相交，说明理由。 问题2：若直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的取值范围。 问题3：若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，求k的取值范围。 变式一： （1）过点M(0,)与双曲线12x2y21只有一个公共点的直线有几条? （2）过点M(0,)与双曲线12x2y2(0)恒有公共点，求的取值范围。 变式二： 直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21右支交于不同的两点A、B （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。 变式三： 已知曲线C的方程为kx2(4k)y2k1(kR) （1）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60，求此双曲线方程； （2）满足（1）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l:yx1对称，若存在，求出P、Q的直线方程，若不存在，说明理由。 拓展圆锥曲线 当m为何值时，方程教师设计以下问题：1、利用数形结合； 2、利用代数方程。进行分别讨论。组织学生讨论思考回答。 学生思考体会利用数形结拓展直线与圆锥曲线C位置合很难解决；利用代数方关系有利于培养学生的创新程解决，但根据图形特点，能力。， x,y注意范围。 03x213xm无解、有一解、两解。 C思 考 归纳 小结 布置 作业 从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结。 让学生谈本节课的收获，并反思存在的学生总结 ：如何判断直线疑惑。 与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法。 学生对所学知识进一步巩固提高，针对学生课外自主进行变式练学生素质的差异进行分层训练,既使学习。 生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的。 鼓励学生大胆发表自己的想法，培养学生归纳和反思的能力 讲义 通过作业使学生进一步巩固本节课所学内容。同时通过课后思考让学生延伸到课外探究为后续学习打下基础。 六、板书设计

一、复习1、直线与圆的位置关系：相交d0相切d=r△=0相离d>r△<0 2、直线与椭圆的位置关系：相交△>0相切△=0相离△<03、直线与双曲线的位置关系：yyoxox（1）观察图形中的直线与双曲线的位置关系（2）可以利用直线方程与双曲线方程组成的方程组，消去某个变量（x或y）后，所得的方程根的情况来研究。（1）y（2）yoxox（3）（4）二、习题选讲:题目:已知直线l:ykx1与双曲线C:3x2y21问题1:若k=2时,判断直线L与双曲线C的关系,若相交,求直线L被双曲线C所截得的线段长;若不相交, 说明理由.问题2:若直线l与双曲线只有一个公共点,求k的值问题3:若直线变式一：l与双曲线有两个不同的公共点,求k的取值范围几何画板几何画板10，）过点M（的直线与双曲线x2y2(0)恒有公共点, 求的2取值范围.变式二:直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21右支交于不同的两点A、B （1）求实数k的取值范围（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k值；若不存在，说明理由。变式三:已知曲线C的方程为kx2(4k)y2k1(kR)(1)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线方程x2y2解：（1）原方程可化为：k1k11k4k方程表示双曲线的充要条件是：k12k1当k1或k4时，双曲线焦点在x轴上，且a2,b,b由一条渐近线的斜率为ak3,解得k6k4即k1或1k0或k4k1k10k4kkk4x2y2双曲线的方程为1,即6x22y277762当1k0时，双曲线焦点在y轴上，且a2k1,b2k1,4kkak由一条渐近线的斜率为3,解得k6(舍)bk4综上得双曲线的方程为:6x22y27小结小结变式三(2) :满足(1)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线解：若存在，设直线PQ的方程为：yxmyx1对称，若存在，求出PQ 的方程；若不存在，说明理由。yxm2消去y 得:4x24mx2m270()26x2y7mx02设P、Q的中点是M（x0,y0）,则3my02M在直线l上，所以3mm1221解得m,方程的02yx.所以存在满足条件的P、Q，此时直线PQ的方程为：几何画板几何画板拓展与探究12四、谈谈你的收获:五、布置作业: 七、设计说明

在教学中要特别重视学法的指导：因为本班的学生逻辑思维有了较好基础,注意力能够集中较长时间,学习目的明确,内驱力是主要的学习动力.以建构主义理论为指导,采用着重于学生探索研究的启发式教学方法,结合师生共同讨论、归纳。在课堂结构上,根据学生的认知水平,设计了: 1.本节要点扫描;2.引出主题,精讲例题;3.能力训练,总结结论,强化认识;4.变式延伸,进行重构这四个个层次的学法,它们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目标；把教学内容转化为具有潜在意义的问题,让学生产生强烈的问题意识,使学生的整个学习过程成为“猜想”,继而紧张地沉思,期待寻找理由和证明过程.在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验,同化和索引出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中。 八、教学反思

这节课是相当成功的一节课,准备充分,细致备课,条理清楚教态自然亲切；老师和学生之间的互动充分，贯彻了二期课改以学生能力为本的这么一个思想，学生通过复习，运用类比的方法掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的讨论来研究直线与双曲线的位置关系着手，引导学生发现问题、解决问题。在探究的过程中会运用数形结合和方程的思想，以运动的观点去观察、思考、分析，提高解决问题的能力。这节课主要灌输学生一个数形结合的思想，题目由浅入深，层层推近,前后呼应，引导学生讨论；通过这样的层层递进，培养了学生自主探究的创新精神，取得了良好的效果。新课程中教师的最大变化是角色的变化,教师由居高临下的权威转向平等中的首席。教学是师生交往,积极互动,共同发展的过程,在这一过程中,学生是学习的主体,教师是学生学习的组织者、引导者、激励者、促进者。

本节课对于例题,运用一题多变的方法培养学生思维的灵活性及应变能力，运用了多媒体教学，层层设问，重点突出，板书规范，在多媒体的运用上也是非常到位的，美中不足的是教学的深度和广度还不够。