高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解09 对数与对数函数

高考数学复习考点知识与题型专题讲解与训练

专题09对数与对数函数

考纲

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

11

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的对23数函数的图象．

3.体会对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.

基础知识融会贯通

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．

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(3)对数的换底公式

logcb

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

logca3．对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 知识拓展

1．换底公式的两个重要结论 1

(1)logab＝；

logba

nn

(2)logamb＝logab.

m

其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较

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如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0重点难点突破

【题型一】对数的运算

【典型例题】

若函数f（x）＝1+x3，则f（lg2）+f（1g）＝（ ） A．2

B．4

C．﹣2

D．﹣4

【解答】解：∵f（x）＝1+x3；

∴

故选：A．

【再练一题】

．

已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4）， 当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，

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∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4） ＝﹣（

）

．

故选：A．

思维升华 对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

【题型二】对数函数的图象及应用

【典型例题】

设函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a＝（ ） A．3

B．1

C．2

D．4

【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称， 设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x）， 把（﹣y，﹣x）代入y＝log2（x+a），得﹣x＝log2（﹣y+a）， ∴f（x）＝﹣2x+a，

﹣

∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2， ∴﹣22+a﹣2+a＝2， 解得a＝4．

4 / 29

故选：D．

【再练一题】

已知l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（ ） A．（0，1）

B．（0，2）

C．（0，+∞）

【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），

当0＜x＜1时，f′（x），当x＞1时，f′（x），

∴l1的斜率k1，l2的斜率k2，

∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，

∴k1•k2•1，即x1x2＝1．

直线l1：y（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y（x﹣x2）+lnx2．

取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），

|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x，

∴S△PAB|AB|•|xP|2，

∵函数y＝x

在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，

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D．（1，+∞）

∴x11+1＝2，则0，

∴01．

∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A．

思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

【题型三】对数函数的性质及应用

命题点1 对数函数的单调性 【典型例题】

已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a的取值范围是 ． 【解答】解：∵已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴a＜0，且﹣a﹣1＞0， 求得a＜﹣1，

故答案为：（﹣∞，﹣1）．

【再练一题】

对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2

﹣0.3

），b＝f（log3π），c＝f（）则a，b，c大小关系是（ ）

C．c＞a＞b

D．c＞b＞a

A．b＞a＞c B．b＞c＞a

【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），

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∴函数f（x）关于（1，0）点对称， 将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1）， 此时函数f（x）关于原点对称， 则函数y＝f（x+1）是奇函数；

当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数， ∴f（x）在定义域R上是单调增函数； 由∴f（

0＜2

﹣0.3

＜1＜log3π，

﹣0.3

）＜f（2

）＜f（log3π），

∴b＞a＞c． 故选：A．

命题点2 和对数函数有关的复合函数 【典型例题】

若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是 ． 【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1）， ①当a＞1时，y＝logax在R+上单调递增，

∴要使y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0， ∴△＜0， 解得﹣2＜a＜2 ∴1＜a＜2；

②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意． 综上所述：1＜a＜2； 故答案为：1＜a＜2． 【再练一题】

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若函数A．（1，

）

有最小值，则实数a的取值范围是（ ）

B．[

，+∞）

）

C．（0，1） D．（0，1）∪（1，

【解答】解：由题意，令t＝x2﹣ax

（t

）2

，则函数f（t）＝logat

∵函数∴a＞1

有最小值，

要使函数

有最小值，则t＝x2﹣ax

有最小值，且为正数

∴∴

0

）

综上，实数a的取值范围是（1，故选：A．

思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．

(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．

基础知识训练

1．幂函数曲线y=xb,当b>1时的图像为( )

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A．

B．

C．

D．

【答案】A 【解析】

由题意，根据幂函数的图象与性质，可得当b>1时,图像为选项A,当0，则 （ ）

A．C．【答案】A 【解析】

故函数

B． D．

上是减函数

则故选 3．已知幂函数

的图象过

，若

，则

值为（ ）

9 / 29

A．1 B．【答案】B 【解析】

C．3 D．9

∵幂函数幂函数的图象过

．

，解得

则故选：B． 4．若幂函数A． B．【答案】A 【解析】 幂函数

，解得

故选A. 5．已知幂函数

（ ） A．

- B．1或2 C．1 D．2

在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（ ）

C． D．

或4

在（0，+∞）上为增函数，

（舍去）

的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则

【答案】C 【解析】分析：由详解：幂函数且在

上是减函数，

为偶数，且

，解得

，故选C.

为偶数，且

，即可得结果.

的图象关于轴对称，

点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.

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6．设函数A．

，若

B．

，则

C．

D．

【答案】A 【解析】

由于函数，

在第一象限为单调递增函数． 由于：所以：故选：A．

7．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，A．奇函数且在C．非奇非偶函数且在【答案】C 【解析】

∵幂函数f（x）=x的图象经过点（2，

a

，

），则函数f（x）为（ ）

上单调递减

上单调递减

上单调递增

上单调递增

B．偶函数且在D．非奇非偶函数且在

），

∴2=

a

，解得a=，

∴函数f（x）=，

∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增． 故选：C． 8．若幂函数

在区间

上单调递减，则实数m的值可能为

A．1 B． C．【答案】C 【解析】

D．2

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幂函数

，

在区间上单调递减，

由选项可知，实数m的值可能为故选：C．

．

9．已知幂函数A．B．C．D．【答案】A 【解析】

过点 上单调递减 单调递增 上单调递减 上单调递增

，且在，且在且在，且在

幂函数过点，

，

解得， ，在

上单调递减．

故选：A． 10．已知幂函数

的图象关于原点对称，且在

，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

上是减函数，若

【答案】B 【解析】 幂函数所以

，解得

的图象关于原点对称，且在

，

上是减函数，

12 / 29

因为，所以，

时，

，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，

，图象关于原点对称，满足题意，

不等式

化为，

，

因为函数

上递减，

所以

，

解这个不等式，得

， 即实数的取值范围是，故选B .

11．已知函数

是在

上单调递增的幂函数，则

( )

A．0或4 B．0或2 C．0 D．2 【答案】C 【解析】

∵f（x）是幂函数，

∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2， ∵f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴m2

﹣4m+2＞0，

则当m＝0时，2＞0成立，

当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立， 故选C． 12．已知幂函数的图像过点

，则下列说法正确的是（ ）

A．是奇函数，且在上单调递增 B．

是偶函数，且在

上单调递减

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C．D．

既不是奇函数也不是偶函数，且在既不是奇函数也不是偶函数，且在

上单调递增 上单调递减

【答案】C 【解析】

∵幂函数y＝x的图象过点（2，

α

α

），

∴2，解得α

，

，

故f（x）

故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数， 故选：C． 13．已知函数P，则【答案】【解析】 令故函数幂函数

，则

恒过

，即

恒成立

的值为______．

的图象恒过定点P，若幂函数

的图象经过点

的图象经过点

则故

，解得

本题正确结果：

14．若幂函数的图象经过点（2，【答案】 【解析】

设幂函数f（x）＝xα，α∈R；

），则f（）=______．

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其函数图象过点（2，∴2

α

），

，

解得α∴f（x）

；

，

∴．

故答案为：． 15．若【答案】【解析】

为幂函数，且满足

，则

______．

为幂函数，且满足，

，则

解得

， ， ．

故答案为：

．

，

16．已知幂函数【答案】2 【解析】 幂函数

．

故答案为：2． 17．已知幂函数

过点（2,4）

满足

满足，则______．

，

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(1)求解析式

的解集为[1,2]，求不等式；（2）

的解集.

(2)不等式【答案】（1）【解析】

（1）设幂函数解析式为

因为函数图像过点（2,4），所以所以所求解析式为(2) 不等式

的解集为

是方程

，

所以不等式即

，解得

的解集为[1,2]， ， 的两个根， ，因此

可化为

,

.

上单调递增．

解析式；

上的最大值为3，求实数a的值．

；（2）

；

，

所以原不等式的解集为18．已知幂函数求m值及若函数【答案】（1）【解析】 幂函数故：解得：故：

上单调递增

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由于所以：函数

函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为由于在

上的最大值为3， 时，

故：解得

． 时，

故：解得：

． 时，

故：

，

解得：综上所述：

舍去，或

．

舍去， 上单调递增，在上单调递减，

， 上单调递增，

，

上单调递减，

19．已知幂函数

（1）求实数的值，并说明函数（2）若不等式

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 （1）因为

是幂函数，所以

，解得

的单调性；

上单调递增，又函数.

恒成立，求实数的取值范围.

，

17 / 29

又因为即

，则

上单调递增，所以

，

，即，

因为所以函数

均在上单调递增， 上单调递增.

（2）因为所以

是奇函数，

可变为

上单调递增，所以

，

所以不等式由（1）知解得

.

，

，

20．已知幂函数f（x）=xa的图象过点（2，4）． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，求实数k的取值范围． 【答案】（1）【解析】

解：（1）幂函数f（x）=xa的图象过点（2，4）， ∴f（2）=2=4， ∴a=2， ∴f（x）=x；

（2）函数h（x）=4f（x）-kx-8，

2α

；（2）.

∴h（x）=4x-kx-8，对称轴为x=；

当h（x）在[5，8]上为增函数时，≤5，解得k≤40；

2

18 / 29

当h（x）在[5，8]上为减函数时，≥8，k≥； 所以k的取值范围为（-∞，40]∪[，+∞）．

能力提升训练

1．已知函数A．【答案】A 【解析】

若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，

B．

C．

上为增函数，则实数的取值范围是（ ）

D．

则，

解得：m∈（﹣∞，﹣8]， 故选：A． 2．若函数

A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】

.因为

所以

上的最大值是3，则实数

（ ）

时，

故选A. 3．已知函数

，即

，则在[0，2］上的最小值为

A．2 B．3 C．4 D．5

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【答案】B 【解析】

图象的对称轴方程为

答案选B. 4．已知命题p：A．

B．

C．

，若命题p是假命题，则的取值范围为（ ） D．

或a=0

，故

上的最小值为

.

【答案】B 【解析】

∃x∈R，ax2+x+1≤0．若命题p是假命题， 即“ax2+x+1＞0恒成立”是真命题 ①． 当a＝0 时，①不成立，

当a≠0 时，要使①成立，必须 故实数a的取值范围为：故选B．

．

，解得 ＜a，

5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是

A．

B．

C．

D．

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【答案】D 【解析】

由于，根据韦达定理，有，观察图像可以发现，对于D选项，两个根都小于，

那么它们的乘积大于，故D选项不可能成立.故选D. 6．已知函数的值域为

，则实数m的取值范围为（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】A 【解析】 ∵函数的值域为，

∴

∴

∴实数m的取值范围为

故选：A

7．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（A． B． C． D．（1,2]

【答案】A 【解析】 令. ∵

∴函数

的图象是开口向下的抛物线.

∵

∴

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）

若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，

则，解得.

若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函

数，则

综上，的取值范围是故选A. 8．已知函数是( )

.

，解得.

（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致

A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】

法一：结合二次函数的图象可知，D；把函数

的图象向左平移

，所以函数

个单位，得到函数

，所以

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单调递增，排除C，的图象，排除A，选B. ，在

中，

法二：结合二次函数的图象可知，

取，得，只有选项B符合，

故选:B.

9．若函数A．(0,1) B．【答案】C 【解析】

有最小值，则实数的取值范围是( )

C．

D．

.当a>1且有最小值时，f(x)才有最小值.∴⇒110．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是 A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定 【答案】A 【解析】

∵f（1+x）＝f（1﹣x），

∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2． 又f（0）＝3， ∴c＝3．

∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增． 若x≥0，则3x≥2x≥1， ∴f（3x）≥f（2x）． 若x＜0，则3x＜2x＜1， ∴f（3x）＞f（2x）． ∴f（3x）≥f（2x）． 故选：A．

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11．已知都是常数，.若的零点为，则下列不

等式正确的是（ ） A． B．

C．

D．

【答案】D 【解析】 由，

又

为函数

的零点，且

，

所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，如图所示，

由图可知，

故选. 12．己知

恒成立，则实数a的取值范围为 A． B． C． D．

【答案】B 【解析】 设对任意

恒成立，

即对任意

都成立，

当

，则

与讨论矛盾，

当时，，则，解得，

故选：B． 13．函数

的最小值为________．

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【答案】1 【解析】 由题意，可得14．已知函数

实数的取值范围是_______. 【答案】【解析】 ∵

∴函数f（x）=在[，2]上是增函数； ∴函数f（x）=①当2≤a＜3时， 函数f（x）=

（x∈

）在x=0时取得最大值， 的最小值为f（a）=﹣

，

的对称轴为x=a，且

，

，由于

，所以当

，存在

时，函数取最小值1.

，使得

成立，则

.若对任意的

在[0，]上是减函数，

且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；

2a﹣1

∴

②0＜a＜2时， 函数f（x）=

（x∈

）在x=4时取得最大值，

且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；

，

∴

；

．

综上， ∴

即t的取值范围是：

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15．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为次函数的解析式是________． 【答案】【解析】

，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二

设二次函数顶点式为.设的两个根为，且

，依题意，两边平方并化简得，

即

16．若对任意【答案】【解析】 ∵函数∴

，解得，函数

.故.

总有零点，则实数的取值范围是__________．

总有零点，

对任意

恒成立，

∴记∴∴

上单调递减，

故答案为：

17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x， （1）求f（x）的解析式；

（2）设g（x）=f（2x）﹣m•2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．

【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）【解析】

26 / 29

解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且因为f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，

。

所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x

故有，即a=1，b=﹣2，c=﹣1，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；

，

（2）g（x）=f（2x）﹣m•2x+1=设t=2x，t∈[1，2]，

∴g（t）=t2﹣（2m+2）t﹣1=[t﹣（m+1）]2﹣（m2+2m+2），

①当m+1＞2，即m＞1时，g（t）=t2﹣(2m+2) t﹣1在[1，2]减函数，当t=2时，g（t）min=﹣4m﹣1，

②当m+1＜1，即m＜0时，g（t）=t2﹣(2m+2)t﹣1在[1，2]增函数，当t=1时，g（t）min=﹣2m﹣2，

③当0≤m≤1时，当t=m+1时，g（t）min=﹣（m2+2m+2），

综上所述：g（x）min=18．设函数(1)求函数

在区间

，且函数上的最小值；

． 的图象关于直线

对称．

(2)设，不等式

．

上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）【解析】 (1)∵

关于直线

对称，∴上单调递减，在

，故

上单调递增，∴当

时，

，

的最小值为1 ．

∴，函数

(2) 可化为，化为，令，则，

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因

∴的取值范围是

，记．

，∵，故，

19．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1. (1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式；

(3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥.

【答案】（1）见解析．（2）【解析】

；（3）详见解析.

(1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；

当a>0时，抛物线f(x)＝ax－2x＋1开口向上，对称轴为x＝， 故函数f(x)在

上为减函数，在

2

2

上为增函数；

当a<0时，抛物线f(x)＝ax－2x＋1开口向下，对称轴为x＝， 故函数f(x)在(2)∵f(x)＝a2

上为增函数，在＋1－，

上为减函数．

由≤a≤1得1≤≤3，∴N(a)＝f＝1－.

当1≤<2，即当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)＝f(1)＝a－1， 故g(a)＝a＋－2.

∴g(a)＝

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(3)证明：当a∈时，g′(a)＝1－<0，

∴函数g(a)在上为减函数；

当a∈时，g′(a)＝9－>0，

∴函数g(a)在上为增函数，

.

∴当a＝时，g(a)取最小值，g(a)min＝故g(a)≥. 20．已知函数

的表达式； 是否存在实数

，使得

的定义域为

，设上的最大值为，

，值域为？如果存在，求出的值；如果

不存在，请说明理由．

【答案】【解析】

.

因为函数所以当当所以

图象的对称轴为，即

时，时，

.

，

；

，即

假设存在符合题意的实数m，n，则 由

可知，当

，有

时，

，则

，且为单调递增函数

,

.

所以若所以所以所以

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