2012-2013学年广东省广州市越秀区高一（下）
期末数学试卷解析卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边于x轴的非负半轴重合，则角215°是（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 象限角、轴线角． 专题： 计算题． 分析： 由215°=180°+35°，结合象限角的定义可得结论． 解答： 解：由题意可得：215°=180°+35°， 故角215°是第三象限角， 故选C 点评： 本题考查象限角的概念，属基础题． 2．（5分）数列 A．n（﹣1） nB． （﹣1）的一个通项公式可能是（ ） C． n﹣1（﹣1） D． （﹣1） 考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 等差数列与等比数列． ﹣分析： 根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 解答： 解：由已知中数列，… 可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列 又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负 故可用（﹣1）故数列n﹣1来控制各项的符号， ，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1 故选D 点评： 本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键． 3．（5分）下列选项中正确的是（ ） 22 A．B． 若a＞b，则ac＞bc 若a＞b，c＜d，则＞ C．若ab＞0，a＞b，则 1 / 13
D． 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d 考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项A、B、C，利用不等式的性质可得C正确． 解答： 解：当c=0时，A、B不成立．对于 a＞b，由于ab＞0，故有 ，即 ，故C正确． 对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，显然有a﹣c＜b﹣d，故D不正确． 故选C． 点评： 本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题． 4．（5分）（2012•包头一模）已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（ ） A．B． C． D． 考点： 数列的应用． 专题： 计算题． 分析： 先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可． 解答： 解：因为{an}为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质； 所以有a5=所以a2+a8=， ，故cos（a2+a8）=﹣ 故选 A． 点评： 本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查．这一类型题，考查的都是基本功，是基础题． 5．（5分）（2008•天津）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动
个单位长度，再把所得图
象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A．x∈R B． ，x∈R ，C． x∈R ，D． x∈R ， 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 常规题型． 分析： 根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案． 解答： 解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+）， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+） 故选C 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的． 6．（5分）设
的值是（ ）
A． B． C． D． 考点： 两角和与差的正切函数；角的变换、收缩变换． 专题： 计算题． 分析： 由于==，代入可求 解答： 解：= = == 故选B 点评： 本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用，解题的关键是利用拆角技巧． 7．（5分）（2012•北京模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量
等于（ ）
A． B． C． D． 考点： 向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=﹣，两式联解即可得到=﹣+，得到本题答案． =（+） 解答： 解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴∵=﹣， ∴=（﹣﹣）=﹣+ 故选：A 点评： 本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等知识，属于基础题． 8．（5分）若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为（ ）
30° 60° 120° 150° A．B． C． D． 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 计算题． 分析： 由题意，可先由条件|，（2+）•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项 解答： 解：由题意（2+）•=0 ∴2•+又||=|| ∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π ∴则与的夹角为120° 故选C 点评： 本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值 9．（5分）不等式ax+bx+2＞0的解集是
2
=0，即2||||cos＜，＞+=0 ，则a+b的值是（ ）
10 14 A．B． ﹣10 C． D． ﹣14 考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题： 计算题． 分析： 22不等式ax+bx+2＞0的解集是，说明方程ax+bx+2=0的解为， 把解代入方程求出a、b即可． 解答： 2解：不等式ax+bx+2＞0的解集是即方程ax+bx+2=0的解为2 故a=﹣12b=﹣2∴ 点评： 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题． 10．（5分）如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，若点Bn的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N），记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2+a3+a4+…+a20=（ ）
*
256 428 836 1024 A．B． C． D． 考点： 函数的图象． 专题： 数形结合；函数的性质及应用． 分析： 由点Bn的坐标可得点Cn的坐标，进而得到Dn坐标，从而可表示出矩形的周长an，再由等差数列的求和公式可求得答案． 解答： 解：由点Bn的坐标为（n，0），得Cn（n，n+）， 令x+=n+，即x﹣（n+）x+1=0，解得x=n或x=， 所以Dn（ ，n+）， 所以矩形AnBnCnDn的周长an=2（n﹣）+2（n+）=4n， 则a2+a3+…+a20=4（2+3+…+20）=4×=836． 2故选C． 点评： 本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，考查学生的识图用图能力，属中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）不等式
的解集是 [﹣4，5） （结果用集合或区间形式表示）．
考点： 其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由不等式可得 ，由此解得不等式的解集． 解答： 解：由不等式可得 ，解得﹣4≤x＜5， 故不等式的解集为[﹣4，5）， 故答案为[﹣4，5）． 点评： 本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 12．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=的面积是 考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 由余弦定理列出关系式，将b，c及cosC的值代入求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 解答： 解：∵b=1，c=，cosC=﹣， ，∠C=，则△ABC
．
∴由余弦定理c=a+b﹣2abcosC，得：3=a+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0， 解得：a=1，a=﹣2（舍去）， 则S△ABC=absinC=×1×1×故答案为： =． 2222点评： 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+3y的最大值是 50 ．
考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z=﹣x+3y的最大值的位置即可求出其最值． 解答： 解：由题意，可行域如图， 由得A（10，20）． 目标函数z=﹣x+3y的最大值在点A（10，20）出取到， 故目标函数z=﹣x+3y的最大值是50． 故答案为：50． 点评： 本题考查简单线性规划求最值，其步骤是作出可行域，判断最优解，求最值，属于基本题． 14．（5分）设a＞0，b＞0，若 考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根是3与3的等比中项，则+的最小值是 4 ．
ab
据ab的范围，求得答案． ab解答： 解：∵是3与3的等比中项 ∴3•3=3∴a+b=1 ∴ab≤∴+==aba+b=3 =（当a=b时等号成立） ≥4． 故答案为：4 点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要注意等号成立的条件． 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（12分）已知向量=（sinθ，（1）若∥，求tanθ的值；
（2）若||=||，且0＜θ＜π，求角θ的大小．
考点： 平面向量的综合题． 专题： 平面向量及应用． 分析： （1）利用向量共线的条件，建立方程，即可求tanθ的值； cosθ），=（1，1）．
（2）根据||=||，利用模长公式，结合角的范围，即可得到结论． 解答： 解：（1）∵=（sinθ，∴sinθ=∴tanθ=cosθ =； cosθ），=（1，1），∥， （2）∵||=||， ∴（sinθ）+（∴cosθ= ∴cosθ=± 或． 22cosθ）=2 2∵0＜θ＜π，∴θ=点评： 本题考查向量知识，考查向量共线定理，考查向量模的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜（1）若cos
cosφ﹣sin
sinφ=0，求φ的值；
，求函数f（x）的解析
．
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
式，并求函数f（x）在R上的单调递增区间． 考点： 两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的求值． 分析： （1）利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos（+Φ）=0，即可求出φ的值． （2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于出ω，得到函数f（x）的解析式，再由正弦函数的单调性求得递增区间． 解答： 解：（1）coscosφ﹣sinsinφ=cos（+φ）=0 ∵|φ|＜∴φ= ）依题意，= ． ，求出周期，求（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+又∵T=故ω=3， ） ∴f（x）=sin（3x+2kπ﹣≤3x+≤2kπ+ （k∈Z）⇒﹣≤x≤kπ+（k∈Z） ∴函数f（x）在R上的单调递增区间为[﹣，kπ+]（k∈Z） 点评： 本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的单调性，考查计算能力，是常考题． 17．（14分）如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，（1）求实数m的值；
）．
（2）求的值．
考运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义． 点： 专计算题． 题： 分（1）根据P点在单位圆上，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值； 析： （2）由点P坐标求出sinα与cosα的值，所求式子利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，将sinα与cosα的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（1）根据题意得：=1，且m＜0， 解得：m=﹣； （2）∵sinα=∴原式，cosα=﹣， ====． 点此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键． 评： 18．（14分）已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是al+1与a7+1的等比中项． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=，求数列{b}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： （1）由{an}是公差为2的等差数列，a3+1是al+1与a7+1的等比中项，知，解得a1=3，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）由==，知，由此利用错位相减法能够求出数列{b}的前n项和Tn． 解答： 解：（1）∵{an}是公差为2的等差数列， ∴a3=a1+4，a7=a1+12， ∵且a3+1是al+1与a7+1的等比中项， 2∴（a3+1）=（a1+1）（a7+1）， ∴解得a1=3， ∴an=3+2（n﹣1）， ∴an=2n+1． （2）==， ， ∴，① ∴=，② ①﹣②，得=1+=﹣=2﹣﹣， ∴． 点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用． 19．（14分）（2012•钟祥市模拟）某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
考点： 解三角形的实际应用；函数模型的选择与应用． 专题： 计算题． 分析： 根据题意可分别求得BC，BD，CD和∠CAB，设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中利用余弦定理求得cosβ的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值，进而利用sinα=sin（β﹣20°﹣40°）利用两角和公式展开，最后在△ACD中，由正弦定理得答案． 解答： 解：根据题意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD=α，∠CDB=β． 在△CDB中，由余弦定理得， 于是． sinα=sin（β﹣20°﹣40°）=sin（β﹣60°） =在△ACD中，由正弦定理得． ． 答：此人还得走15千米到达A城． 点评： 本题主要考查了解三角形问题的问题．考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力． 20．（14分）（2013•门头沟区一模）已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件
*
①∀n∈N，an≠0；
②点Pn（an，Sn）在函数f（x）=
的图象上；
（I）求数列{an}的通项an及前n项和Sn； （II）求证：0≤|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|＜1．
考点： 数列的极限；数列的函数特性． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （I）由题意，当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1，由此可得两递推式，分情况可判断数列{an}为等比数列或等差数列，从而可求得通项an，进而求得Sn； （II）分情况讨论：当当an+an﹣1=0时，|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，从而易得|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|的值；当an﹣an﹣1﹣1=0时，，计算可得，利用两点间距离公式可求得|Pn+1Pn+2|，|PnPn+1|，对|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|化简后，再放缩即可证明结论； 解答： （I）解：由题意， 当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1=， 整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0， *又∀n∈N，an≠0，所以an+an﹣1=0或an﹣an﹣1﹣1=0， 当an+an﹣1=0时，a1=1，， 得，； 当an﹣an﹣1﹣1=0时，a1=1，an﹣an﹣1=1， 得an=n，． （II）证明：当an+an﹣1=0时，|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，所以|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|=0， ， ，|PnPn+1|=﹣， ， 当an﹣an﹣1﹣1=0时，|Pn+1Pn+2|=|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|== =， 因为＞n+2，＞n+1， 所以0＜＜1， 综上0≤|Pn+1Pn+2|﹣|PnPn+1|＜1． 点评： 本题考查数列与函数的综合，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用an与Sn的关系先求得an．
