2020年秋期九年级数学竞赛试卷
一、选择题(每小题5分，满分50分)
1.有两个元二次方程M: ax2+bx+c=0, N: cx2+bx+a=0,其中ac≠0，a≠c 以下列四个结论中错误的是( )
A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B.如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 2.等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2 - 6x+n- 1=0的两根，则n的值为( )
A.9 B.10 C.9或10 D.8或10
3.关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(3k-1)x+2= 0有一个根为1,则k的值为（ ）.
A.1 B.2 C.1或2 D.不能确定
4.已知关于x的方程(m-2)x2 -2(m+1)x+m+1=0有实数根,则m满足（ ）.
A.m＞-1 B.m≥-1 C.m＞-1且m≠2 D.m≥-1且m≠2
5.已知关于的一元二次方程:x2-ax+3=0的一个根比a小1,那么方程的
15另一个根为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知m为任意实数，P =
58m- 1,Q=m2 -m,则P与Q的关系为（ ） 1715A.P>Q B.P= Q C.P< Q D.不能确定
7.关于x的方程x2-(m+1)x+ m=0的两根的差为1,那么m的值为（ ） A.0或1 B.1或2 C.-1或2 D.0或2
8.关于x的方程m(x +h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1=3，x2=2,那么方程m(x+h-3)2+k=0的解是（ ） A.-6,-1 B.0,5 C.- 3, 5 D.-6,2 9.如图,CB= CA，∠ACB = 90°，点D在边BC上(与B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交 CA的延长线于点G,连结 FB,交DE于点Q.给出以下结论:①AC = FG;②S△FAB : S
四边形CBFG = 1 : 2;③
∠ABC =∠ABF;④AD2=FQ×AC.其中正确结论的个数 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10. 如图,点B,C,G在一条直线上，点D在CE上，菱形ABCD和菱形CEFG的边长分别为2和3,∠A =120° ,图中阴影部分的面积是（ ）
A.3 B.2 C.3 D.2 二、填空题(每空5分，满分40分) 11.
如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点都在网格的交点
△ABC
处,sinA=__________. 12.
如图，为解决停车难的问题，在一段长
56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位_______个.
13.如图，在△ABC中,点D是BC的中点，E1是AD的中点，BE1的延长线交AC于点F1.过点
E1作EG∥BC交AC于G.由平行线分线段的基本事实可得G是AC的中点,则EG =CD=BC；又由E1G∥BC可得△F1E1G∽△F1BC.所以从而可得 AF1 =AC.
(1)若E2为FD的中点，BE2的延长线交AC于点F2.则F1F2=_____AC. (2)若E3为F2D的中点,BE3的延长线交AC于点F3，则F2F3=_____AC. (3)若En为Fn-1D的中点,BEn的延长线交AC于点Fn.猜想Fn-1Fn=______ AC.
131214F1GE1G1==,F1CBC414.在△ABC中，点E,F分别是AB ,AC的中点,EF=3,DE⊥EF交BC于点D，△DEF有一个内角是30°，则△ABC的面积可能是__________. 15.在四边形ABCD中,AD// BC,E,F分别是AB、CD边的中点,EF = 6cm.对角线AC把线段EF分成1:2两部分，那么BC边的长为___________. 16.在△ABC中，中线BE，CD相交于点O,F，G分别是OC，OB的中点、如果△ABC的面积是2.那么四边形DEFG的面积是_________. 三、解答题（10分）
17. 如图,山坡上A处有一棵与水平面垂直的大树，一场大风把大树刮倾斜，又从点C处折断,树的顶部恰好接触到坡面AE上的点D处.已知山坡的坡角∠AEF=23°,
树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD = 4m. (结果精确到个位，参考数据:2≈1.4,3≈1.7,
6≈2.4,sin75°≈0.97,cos75°≈0.62)
①求∠CAD的度数.
②求这棵大树折断前的高度.
