含有一个量词的命题的否定教学设计

1.4.3含有一个量词的命题的否定

教材分析

“含有一个量词的命题的否定”是数学选修2-1第一章第四节的内容，第一课时的主要内容是全称量词与存在量词的概念．第二课时主要是含有一个量词的命题的否定．它包括两块内容：其一是含有一个全称量词的命题的否定，其二是含有一个存在量词的命题的否定.教科书在分析“探究”中全称命题和特称命题时，并没有直接给出这些命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词和存在量词的含义，直接对原先的命题进行全盘否定，得到这些命题的否定的一种表述形式.需要强调的是，这些表述过于形式化，不自然也不符合日常语言表达的习惯，多以最后进一步将这些表述改写成常用的表述形式.为此，教科书在“探究”后的分析中，先后用了六个“也就是说”.这样处理一方面让学生体会如何用间接、自然的语言表达数学内容；另一方面，通过这些命题的否定的最终表述，学生很容易观察出原先的命题和它们的否定在形式上的变化，从而降低了学生的认知难度.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解含有一个全称量词的命题的否定和含有一个存在量词的命题的否定．

教学目标

重 点：全称量词与存在量词命题间的转化； 难 点：正确地对含有一个量词的命题进行否定；

知识点：（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

能力点：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

教育点：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证

唯物主义思想教育．

自主探究点：含有一个量词的命题的否定形式；

考试点：含有一个量词的命题的否定以及判断命题的真假； 易错易混点：隐蔽性否定命题的确定；

教具准备 投影仪，多媒体课件等 课堂模式 学案导学、三段六部教学模式 一、引入新课：

1

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. 【设计意图】创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望．

二、探究新知:

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；

2

（3）xR，x-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

2

（3）xM,p(x)，否定：xR，x-2x+1<0；xM,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 师生探究

问题2：写出命题的否定

2

（1）p： x∈R，x＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

2

分析：（1） xR，x＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析：痧U(AB)UA?UB,痧B)U(AUA?UB

【设计意图】引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学知识，得出本节课所要学习的含有量词的命题的否定．

三、理解新知：

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立.存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立. 用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定

2

词语 词语的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 不是 一定不是 不都是 至多有一个 小于或等于 大于或等于 所有x不成立 或 必有一个 至少有n个 所有x成立 词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个定 有 个 个 成立 成立 【设计意图】让学生从理论上掌握含有一个量词的命题的否定形式，并且学会写出含有量词的命题的否定的基本依据．

四、运用新知：

例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有人都晨练；

2

（2）p：xR，x＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

2

（4）p： x∈R，x－x+1＝0；

2

分析：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；

2

（4）xR，x－x+1≠0； 例2 写出下列命题的否定.

（1） 所有自然数的平方是正数.

（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根. （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数. 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数.

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根. （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0. （4）的否定：所有的质数都不是奇数.

2

【设计意图】解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x＞9”.在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.

例3 写出下列命题的否定.

2

（1） 若x＞4 则x＞2.

2

（2） 若m≥0,则x+x-m=0有实数根. （3） 可以被5整除的整数，末位是0. （4） 被8整除的数能被4整除.

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.

解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2.或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x0＞4.（完整表达为对任意的实数x, 若x＞4 则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根.（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x+x-m=0有实数根）

3

2

2

222

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等.（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等.） 例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性. （1）p：若x＞y,则5x＞5y；

22

（2）p：若x+x﹤2,则x-x﹤2； （3）p：正方形的四条边相等；

22

（4）p：已知a,b为实数，若x+ax+b≤0有非空实解集，则a-4b≥0. 解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

22

（2） P：若x+x﹤2，则x-x≥2；真命题

22

否命题：若x+x≥2，则x-x≥2）；假命题.

（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题.

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.假命题.

2

（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a-4b﹤0.假命题.

2

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a-4b﹤0.真命题. 【设计意图】命题的否定与否命题是完全不同的概念.其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的.

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假.

3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论. 随堂练习：

2

1．命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）

2

A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；

2

B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2

C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2

D.至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根； 2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 3．命题“xR，x-x+3>0”的否定是 4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是 否命题是 5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

2

（1）p：m∈R，方程x+x-m=0必有实根；

2

（2）q：R，使得x+x+1≤0；

6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假： （1）若m>1，则方程x-2x+m=0有实数根． （2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC是锐角三角形， 则ABC的任何一个内角是锐角．

4

2

2

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0． （5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

五、课堂小结：

教师提问：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？ 学生作答：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 教师总结:

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P

xM,p(x)

特称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P：

x∈M，￢P(x)

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定时既要否定量词，又要否定性质，所以找出量词，明确命题所提供的性质是解题的关键. 【设计意图】归纳整理本节课所学知识．

六、布置作业：

1． 阅读课本P24—P25；

2． 必做题：课本26页 习题1.4 A组 第3题． 3．选做题：课本27页 习题1.4 B组（1）（2）（3）（4）．

【设计意图】设计作业必做题1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生掌握含有量词的命题的否定怎么去写；选做题的安排，是让学生进一步熟悉含有量词的命题的否定形式，以及如何去判断真假，巩固所学知识．

七、教后反思:

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力. 八、板书设计:

1．4．3 含有一个量词的命题的否定 1. 全称命题、存在性命题的否定． 例1 5 例3

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） 2. 关键量词的否定

例2 例4 练习：（课件投影学生口述） 6