高中数学知识清单

一：集合

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素

，及元

素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质：

2 ABAIBA AUBB （3）德摩根定律：

CUAUBCAICB CAIBCAUCB

UUUUU 4. 补集思想（排除法、间接法）

的取值范围。

（∵3M，∴a·35032aa·55052a

5a1，9，25）3

∵5M，∴

6 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假

二：函数。

7. 映射的概念。映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素 ：（定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域常见类型：

求复合函数的定义域：

义域是_____________。

0, 2U2, 3U3, 4 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域

10. 反函数存在的条件。（一一对应函数）

求反函数的步骤：（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

11. 反函数的性质：

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

12.用定义证明函数的单调性：（取值、作差、判正负） 判断复合函数的单调性：

log1u ux11 22

x[1 2) u log1u y

2☆13利用导数判断函数的单调性。

值是（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

则xaa 或x33

14. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件:

（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

15.周期函数的定义:

函数，T是一个周期。）

如：

16.常用的图象变换 常用于三角变化

注意如下“翻折”变换：

17.常用函数的图象和性质 的双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系，方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

18. 函数的基本运算

19.解抽象函数问题 （赋值法、结构变换法）

20.求函数值域的常用方法。

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：

21.弧度的定义，圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式

三：三角函数

22. 三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

☆23.正弦、余弦、正切函数的图象，并由图象写出单调区间、对称点、对称轴

（x，y）作图象。

25. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

26. 在解含有正、余弦函数的问题时，注意运用函数的有界性.

27.三角函数图象变换（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

图象？

28. 同角三角函数关系和诱导：

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值

sinsinsin2cos1cos y0 Q0 coscos2sin1cossin 29. 两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用 理解公式之间的联系：

D D. 正值

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

30 正、余弦定理的各种表达形式，如何实现边、角转化，而解斜三角形

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

31. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

四 不等式

32. 不等式的性质：

答案：C

33. 利用均值不等式：

值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

34. 不等式证明的基本方法：

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。

35解析不等式

f(x)aa0的方法 g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 36. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

37. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

38. 对含有两个绝对值的不等式：

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

|a||b||ab||a||b| 39 用不等式 解

证明：

（按不等号方向放缩）

40. 不等式恒成立问题（二次函数），常用的处理方式（可转化为最值问题，或“△”问题）

☆五 数列

41. 等差数列的定义与性质

0的二次函数）

项，即：

42. 等比数列的定义与性质

43求Sn an直接的关系

44.求数列通项公式的常用方法 例如：（1）求差（商）法 解： ［练习］

（2）叠乘法

解：

（3）等差型递推公式

［练习］

（4）等比型递推公式

［练习］

（5）倒数法

45.求数列前n项和的常用方法

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

解：

［练习］

（2）错位相减法：

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

［练习］

46. 储蓄、贷款问题

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

六排列组合

47. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

48. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：

（2）中间两个分数相等

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况 49. 二项式定理 性质：

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

表示）

50. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

A B

的和（并）。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

（6）对立事件（互逆事件）：

（7）事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互事件。

51. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

52. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

53. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法：

（2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

☆七向量

54. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

（7）向量的加、减法如图：

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

表示。

55. 平面向量的数量积

数量积的几何意义：

（2）数量积的运算法则

［练习］

答案： 答案：2 答案：

56. 线段的定比分点

57分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质。

（1）外心：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

三角形的三条垂直平分线必交于一点

性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R

（2）内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) （3）垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质： 三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））

垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 垂心分每条高线的两部分乘积相等。 （4）重心：：三条边的中线交于一点

性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均， 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。

☆八立体几何（基本概念具体见必修P39） 58. 立体几何中平行、垂直关系证明

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：

a b  线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

59. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α影，OC为α内过O点任一直线。

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„） 60. 空间有几种距离：

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三

垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

☆九：圆锥曲线

62. 正棱柱、正棱锥的定与性质

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

1 S正棱锥侧C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

21 V锥底面积×高

3 62. 球

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

4R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

（4）S球4R2，V球如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A.3B.4C.33D.6

答案：A

63.直线与圆公式

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2

x2x12 P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k （2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在） 斜截式：ykxb

一般式：AxByC0（A、B不同时为零） （3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dk2k1

1k1k2Ax0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tan l1与l2的夹角公式：tan . 判断两直线平行、垂直

k2k1

1k1k2A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1 k1k2l1∥l2（反之不一定成立） A1A2B1B20l1⊥l2

65判断直线l与圆C的位置关系

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 66. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

67. 分清圆锥曲线的定义

第二定义：ePFPKc a 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

x2y2x2y2 69.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab 69. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数

是否为零？△≥0的。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

70. 用定义求圆锥曲线的焦半径。 如：

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 71. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

答案：

72.求解“对称”问题

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）

yrsin222xacosx2y2 椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin