高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示

（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“” 表示）。

（3）常用数集及其表示符号 名称 自然数集 （非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集

三、集合的基本运算 符号表示 集合的并集 集合的交集 集合集合的补集 若全集为U，集合A是U的子集，A和集合B的所B 有元素，记作A集合 A和集合B的共集合U除去集合A中所有的元素，剩B 同元素，记作A余的所有元素，记作CUA 图形符号 N N* Z Q R 表示 （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。

二、集合间的基本关系

表示 关系 定义 记法 意义 BxxAABxxACUAxxU且xA 或xB 且xB A(1)A相等 集合 间的 基本 关系 真子集 子集 集合A与集合B中的所有元素都相同 AB AB或BA 性质 集合A中任意一元素都在集合B中 集合A中任意一元素都在集合B中，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 空集是任何集合的子集 A; (1)A; (2)AAA; (2)AAA; (3)ABBA; (3)ABBA; (4) ABA (4) ABA BA AB CUAU; (2)ACUA; (3)CUCUAA; (1)A(4)CUA(5)CUABCUACUB BCUACUB

知识拓展：

设有限集合A中元素的个数为n，则（1） （1）A的子集个数是2； （2）A的真子集个数是2-1； （3）A的非空子集个数是2-1； （4）A的非空真子集个数是2-2。

nnnn空集（没有任何元素的集合） A 空集是任何集合的真子集 1__________________________________________________

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一、不等式的定义

用数学符号“ 、 、 、 、 ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质

性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 注意 的恒等变形）；

（3）结论（与0比较）。 四、不等式的解法

1、一元一次不等式组（ab）： （1）xaxa 的解集为xxb； （2）的解集为xxa；

xbxbabba ab,bcac    （3）xaxa的解解为xaxb；（4）的解集为

xbxbabacbc abacbc c02、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

b24ac c 的符号 二次函数 0 0 0 可乘性 abacbc c0abacbd cdab0acbd cd0yax2bxc (a0) 的图像 同向可加性  一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两个不相等实根 有两个相等实根 x1,x2x1x2 x1x2b 2a没有实数根 同向同正可乘性   同正 ax2bxc0 (a0)的解集 ax2bxc0 (a0)的解集 ax2bxc0 可乘方 可开方 ab0anbnnN,n1 ab0nanbnN,n2 xxx或xx 12bxx 2aR xxx或xx 12R  bxx 2a 三、比较大小的基本方法 作差法：

理论依据：ab0ab;ab0ab;ab0ab。 基本步骤： （1）作差；

（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数

(a0)的解集 ax2bxc0 (a0)的解集 3、绝对值不等式

xxxx1xx2 xx2  1 2__________________________________________________

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（1）当a0时，有xaxxa或xa；xaxaxa； （2）当a0时，有x0xx0； x0； （3）当a0时，xaxR； xa； （4）当a0时，有

（3）称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yfx,xA。 2、函数的定义域、值域

（1）定义域：自变量x的取值范围； （2）值域：与x相对应y的取值范围。

3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 二、函数的相关结论

1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。 2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。

3、分段函数：自变量x的取值范围不同，需要不同的对应法则。 （1）定义域：各个部分的并集； （2）是一个函数；

（3）求fx，要判断自变量x在哪个范围内，在代入相应的表达式。

4、求函数定义域的方法： （1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为R；分母0；偶次根式下0；奇次根式为R；0次幂底0；指数为R；对数0 。

（2）若已知函数fx的定义域为a,b ，则函数fgx 的定义域由agxb求出。 （3）若已知函数fgx的定义域为a,b，则函数fx的定义域为gx 在xa,b时的值域。

5、求函数解析式的方法

（1）待定系数法：若已知fx 的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；

例1、已知fx是一次函数，且fcxdaxcxda或cxda； cxdaxacxda.

（5）当a0时，有

cxd0xcxd0； cxd0。

（6）当a0时，有

cxdaxR；cxda。

4、分式不等式 （1）

fxfx*gx00 ； gxgx0fxfx*gx00（2）

gx0gx（3）

fx0fx*gx0 gxfx0fx*gx0 gxfx4x3 ，则fx的解析式。

（4）

（2）换元法：设tgx ，解出x ，代入fgx，求ft的解析式即可；

（3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于fx 的方程组求出

一、函数的概念 1、定义

（1）两个非空的数集A、B；

（2）如果按照某种确定关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx 和它对应；

fx ；

例2、已知函数fx2f1x ，求fx的解析式。 x3__________________________________________________

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（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。

例3、已知f01 ，对任意的实数x,y 都有fxyfxy2xy1 ，求fx的解析式。

一、函数的单调性 1、单调函数的定义 增函数 减函数 fx1fx2(kx1b)kx2b

k(x1x2)

x1x2x1x20

当k0时，有

fx1fx2k(x1x2)0 即 fx1fx2 故函数ykxb在R上是增函数。

当x1x2 时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数。 而当k0时，有

fx1fx2k(x1x2)0 即 fx1fx2 故函数ykxb在R上是减函数。 （2）二次函数yax2bxca0 解：单调区间为,一般地，设函数fx 的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个定义 自变量的值x1,x2 ， 当x1x2 时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数。 2、单调区间的定义

若函数fx在区间D上是增函数或减函数，则称函数fx在这一区间上具有单调性，区间D叫做fx的单调区间。 3、判断（证明）单调性的方法

（1）图像法：在区间D上，图像呈上升趋势，则函数在区间D上是增函数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间D上是减函数。 （2）利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取x1,x2D，且x1x2； b. 作差fx1fx2；

c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）； d. 定号（即判断fx1fx2的正负，和“0”比较）； e. 下结论（即指出函数fx在给定的区间上的单调性）。 4、几种初等函数单调性的判断（证明） （1）一次函数ykxb(k0),xR

解（证明）： 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，则

bbb,, ， ,当时，函数在a0是减函数；在2a2a2abbb,,,上是增函数；当时，函数在是增函数；在a0上是减函2a2a2a数

证明函数yaxbxca0在,2bb,是减函数；在上是增函数。 2a2a证明：a. 在,b上任取x1,x2,且x1x2，则 2a4__________________________________________________

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f(xfxax221)21bx1cax2bx2cax221ax2bx1bx2ax221x2bx1x2

ax1x2x1x2bx1x2x1x2ax1x2bx1x2x1x20

又xbb12a,x22a xbbb1x22a2a,x1x2a

又

a0,ax1x2b

ax1x2b0

f(x1)fx2x1x2ax1x2b0

即 f(x1)fx2 故函数yax2bxca0在,b2a是减函数。 b.在b2a,上任取x1,x2,且x1x2，则 f(x221)fx2ax1bx1cax2bx2cax2ax212bx1bx2ax221x2bx1x2

ax1x2x1x2bx1x2x1x2ax1x2bx1x2x1x20

又

xb12a,xb22a xb2ab1x22a,xb1x2a 又

a0,ax1x2b

ax1x2b0

f(x1)fx2x1x2ax1x2b0

即 f(x1)fx2 故函数yax2bxca0在b2a,是减函数。 （3）反比例函数ykx(k0) 解：单调区间为,0 ，0,，当k0时，函数在,0和0,上都为减函数；当

k0时，函数在,0和0,上都为增函数。

证明函数ykx(k0)在,0上是减函数；在0,上是减函数。 证明：在,0上任取x1,x2,且x1x2，则

f(x1)fx2kkx1x2

kx2kx1x

1x2kx2x1x1x2x1x2x2x10

又k0,kx2x10

又

x10,x20，x1x20

f(x1)fxx12kx2xx0

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即 f(x1)fx2 故函数y所以函数yax0a1 在R上是增函数。 例1 讨论函数fxk(k0)在,0上是减函数。 xxaxa0 在1,1上的单调性。 x21（4）指数函数ya ，当0a1 时，在R上是减函数；当a1时，在R上是增函数。 解：任取x1,x21,1，且x1x2，则

证明：a. 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，则

f(x1)axx11x2fx2a2ax x1x2,x1x20

又

0a1,ax1x21

即

f(x1)fx1 2故 f(x1)fx2 所以函数yax0a1 在R上是减函数。

b. 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，则

f(x1)fxax1x2ax1x2 2ax1x2,x1x20

又

a1,ax1x21

即

f(x1)fx1 2故 f(x1)fx2

f(x1)fxax1ax22x211x221ax1x221ax22x11x211x221ax21x2ax1ax2

2x1ax2x211x22122

ax1x2ax2x1ax2ax1x211x221ax1x2x2x1ax2x1x211x221ax2x1x1x21x211x2211x1x21

x2x10,x1x210,x211x2210

又a0,fx1fx20 故函数fxaxx21a0在1,1上为减函数。

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二、函数的奇偶性

1、奇函数、偶函数的概念 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数fx 的定义域内任意一个x，都有图像特点 关于y 轴对称 解：（1）因为要使函数有意义，要满足

1x0，即 1x1x01x0 或 1x01x0解得 1x1

由于定义域关于原点不对称，所以函数fx既不是偶函数也不是奇函数。

24x0（2）因为要使函数有意义，要满足

x330解得 2x2 且x0 所以函数的定义域关于原点对称。

fxfx ，那么函数fx是偶函数。 如果对于函数fx 的定义域内任意一个x，都有奇函数 fxfx ，那么函数fx是奇函数。 关于原点对称 4x24x2fx

x33x又fx2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤

（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称； （2）求fx；

（3）判断fx是否等于fx或fx：

a. 若fxfx，则fx是偶函数； b. 若fxfx,则fx是奇函数；

c. 若fxfx且fxfx,则fx既是偶函数又是奇函数； d. 若fxfx且fxfx,则fx既不是偶函数也不是奇函数； 例2 判断下列函数的奇偶性 （1）fx1x4x2x4x2

xfxfx ，即函数是奇函数。

（3）函数的定义域为xx0 ，关于原点对称，

当x0时，x0,fxx2x1x2x1fx，

22当x0时，x0,fxx2x1x2x1fx，

22fxfx ，即函数是奇函数

1x 1x4x2（2）fx

x33x22x1（3）fx2x2x1(x0),

(x0);

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三、二次函数

1、二次函数的定义

形如fxax2bxc(a0) 的函数叫做二次函数。 2、二次函数的三种表示形式

（1）一般式：fxax2bxc(a0)；

奇偶性 b,上单调递增 2ab,上单调递减 2a当b0 时为偶函数；当b0时为非奇非偶函数 b4acb2,顶点坐标  2a4a对称性 图像关于直线xb对称 2a四、幂函数 1、幂函数的定义

形如yx 的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数。 2、幂函数的性质

（1）当0 时，幂函数yx有下列性质： a. 图像都通过点0,0,1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随x的增大而增大。

b4acb2（2）顶点式：fxax(a0)； 2a4a（3）两根式：fxaxx1xx2(a0)。 3、二次函数的图象和性质 解析式 图象 2fxax2bxc(a0) fxax2bxc(a0) （2）当0 时，幂函数yx有下列性质： a. 图像都通过点1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随x的增大而减小

定义域 值域 R 4acb2, 4afxmin4acb2 4aR 4acb2, 4afxmax4acb2 4a例1 若函数fx是幂函数，且满足f43f2，求（1）fx的函数表达式；（2）求f解：设fxx，

1 。2即23，故log23 ，f43f2,43*2 ，223*2 ，

log23最值 所以fxxlog2311，则f=

222log231。 3单调性 bb,在, 上单调递减，在在 上单调递增，在2a2a例2 已知幂函数fxxm22m3mZ为偶函数，且在区间0,上是单调增函数，求

fx的函数表达式

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解：

fx在区间0,上是单调增函数

m22m30 ，即m22m30 1m3, 又mZ,m0,1,2

当m0,2时，fxx3不是偶函数，而当m1 时，fxx4是偶函数

fxx4 。

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