2007年天津高考理科数学试卷含答案

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么

球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

S4πR2

·如果事件A，B相互，那么

其中R表示球的半径

P(A·B)P(A·)P(B)

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2i3（ ） 1．i是虚数单位，1iＡ．1i

Ｂ． 1i

Ｃ．1i

Ｄ．1i

xy≥1，2．设变量x，则目标函数z4xy的最大值为（ ） ，y满足约束条件xy≥13xy3．Ａ．4 3．“

Ｂ．11

Ｃ．12

Ｄ．14

2ππ”是“tan2cos”的（ ） 32

Ｂ．必要而不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

Ａ．充分而不必要条件 Ｃ．充分必要条件

x2y224．设双曲线221(a0，b0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y4xab的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

x2y21 Ａ．

1224x22y21 Ｃ．33

x2y21 Ｂ．

46

x2y21 Ｄ．

365．函数ylog2(x42)(x0)的反函数是（ ） Ａ．y42Ｃ．y42xxx1(x2) (x2)

Ｂ．y42Ｄ．y42xxx1(x1) (x1)

x2x26．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a，b与所成的角相等，则a∥b Ｂ．若a∥，b∥，∥，则a∥b Ｃ．若a，b，a∥b，则∥ Ｄ．若a，b，，则ab

7．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（ ）

Ａ．在区间[2，1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｂ．在区间[2，1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 Ｃ．在区间[2，1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｄ．在区间[2，1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

8．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（ ） Ａ．2

Ｂ．4

Ｃ．6

a Ｄ．8

b11，c均为正数，且2log1a，log1b，log2c．则（ ） 9．设a，b2222Ａ．abc

Ｂ．cba

22c

Ｃ．cab

Ｄ．bac

，为实数．10．设两个向量a(2，cos)和bm，sin，其中，m若

m2a2b，则

Ａ．

的取值范围是（ ） mＢ．[4，8]

Ｃ．

Ｄ．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答案前将密封线内的项目填写清楚．

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．

512x11．若x2的二项展开式中的系数为，则a （用数字作答）． 2ax12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，

则此球的表面积为 ．

2ann213．设等差数列an的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim ．

nSn22，B两点，则直线AB的方程14．已知两圆xy10和(x1)(y3)20相交于A226是 ．

，AB2，AC1，15．如图，在△ABC中，BAC120°AD

C·BC ． BD是边BC上一点，DC2BD，则AD16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂

一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

，xR． 已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84 18．（本小题满分12分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，

π3πPAABBC，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明CDAE；

（Ⅱ）证明PD平面ABE；

（Ⅲ）求二面角APDC的大小．

20．（本小题满分12分）

P

E A D

B

C

2axa21(xR)，其中aR． 已知函数f(x)x21（Ⅰ）当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）

n1n在数列an中，a12，an1an(2)2(nN)，其中0．

（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明存在kN，使得 22．（本小题满分14分）

an1a≤k1对任意nN均成立． anakx2y2设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，

ab1AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF1．

3（Ⅰ）证明a2b；

（Ⅱ）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．x3y0

15．8 3 16．390

三、解答题

17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

yAsin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2x因此，函数f(x)的最小正周期为π．

π2sin2x．

4（Ⅱ）解法一：因为f(x)ππ3π3π3π2sin2x在区间，上为增函数，在区间，48884上为减函数，又fππ3π3π3ππf2sin2cos1，0f2，， 424488π3π故函数f(x)在区间，上的最大值为2，最小值为1． 84解法二：作函数f(x)

ππ9π2sin2x在长度为一个周期的区间，上的图象如下：

484y 2     O   x

2 由图象得函数f(x)在区间，上的最大值为2，最小值为f1．

84418．本小题主要考查互斥事件、相互事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础

知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为

2C321C42黑球”为事件B．由于事件A，B相互，且P(A)2，P(B)2．

C42C65π3π3π故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)P(A·)P(B)121． 255（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，

1112C32C2C3·C4C441且P(C)2，． ·P(D)·222C4C615C4C65417． 1551517（Ⅲ）解：可能的取值为01，（Ⅱ）得P(0)，P(1)， ，，2，3．由（Ⅰ）

515故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD)P(C)P(D)1C3311P(3)2·2．从而P(2)1P(0)P(1)P(3)．

10C4C630的分布列为

 P 0 1 2 3 3 1017317的数学期望E0123．

515103061 57 151 3019．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD．

∵ACCD，PAACA，∴CD平面PAC．

而AE平面PAC，∴CDAE．

（Ⅱ）证明：由PAABBC，ABC60°，可得ACPA． ∵E是PC的中点，∴AEPC．

由（Ⅰ）知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD．

而PD平面PCD，∴AEPD．

∵PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，∴ABPD． 又∵ABAEA，综上得PD平面ABE．

（Ⅲ）解法一：过点A作AMPD，垂足为M，连结EM．则（Ⅱ）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD． 因此AME是二面角APDC的平面角． 由已知，得CAD30°．设ACa， 可得PAa，AD23212a，PDa，AEa． 332在Rt△ADP中，∵AMPD，∴AM·PDPA·AD，

则AMPA·ADPDa·23a273a． 721a3AE14． AM414． 4P

M E D

在Rt△AEM中，sinAMEA B

C

所以二面角APDC的大小是arcsin解法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线为AD．

过点C作CFAD，垂足为F，故CF平面PAD．过点F作FMPD，垂足为M，连结CM，故CMPD．因此CMP是二面角APDC的平面角． 由已知，可得CAD30°，设ACa， 可得PAa，AD232113a，PDa，CFa，FDa． 3326∵△FMD∽△PAD，∴FMFD． PAPDP

E A B

F C

3a·aFD·PA76a． 于是，FMPD1421a3M

D

1aCF2在Rt△CMF中，tanCMF7． FM7a14所以二面角APDC的大小是arctan7．

20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当a1时，f(x)2x4，， f(2)2x152(x21)2x·2x22x26又f(x)，． f(2)(x21)2(x21)225所以，曲线yf(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y即6x2y320．

46(x2)， 5252a(x21)2x(2axa21)2(xa)(ax1)（Ⅱ）解：f(x)． 22(x1)(x21)2由于a0，以下分两种情况讨论． （1）当a0时，令f(x)0，得到x1化情况如下表：

1，x2a．当x变化时，f(x)，f(x)的变a1，a a x 1∞， a1 a0 极小值 a (a，∞) f(x)   0 极大值  f(x) 所以f(x)在区间∞，11，内为减函数，在区间(a，∞)，a内为增函数． aa1fa2， a函数f(x)在x1函数f(x)在x211处取得极小值f，且aa1处取得极大值f(a)，且f(a)1． a1（2）当a0时，令f(x)0，得到x1a，x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化

a情况如下表： x ∞，a  a 1a， a1 a0 极小值 1，+∞ a f(x) f(x) 0 极大值  所以f(x)在区间(∞，a)，，+∞内为增函数，在区间a，函数f(x)在x1a处取得极大值f(a)，且f(a)1．

1a1内为减函数． a函数f(x)在x21处取得极小值a1f，且a1fa2． a21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．

222（Ⅰ）解法一：a22(2)22，

a3(222)3(2)222323， a4(2323)4(2)233424．

nn由此可猜想出数列an的通项公式为an(n1)2．

以下用数学归纳法证明．

（1）当n1时，a12，等式成立．

kk（2）假设当nk时等式成立，即ak(k1)2，

k1kkkk1k1k那么ak1a1(2)2(k1)222

[(k1)1]k12k1．

nn这就是说，当nk1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an(n1)2对

任何nN都成立．

n1n解法二：由an1an(2)2(nN)，0，

2可得n1an1n12n1， annnnan2an2所以n为等差数列，其公差为1，首项为0，故所以数列ann1，

nnn的通项公式为an(n1)2． 234（Ⅱ）解：设Tn23(n2)n1(n1)n， ①

Tn32435(n2)n(n1)n1 ②

当1时，①式减去②式， 得(1)Tn23(n1)nn12n1(n1)n1，

12n1(n1)n1(n1)n2nn12Tn．

(1)21(1)2(n1)n2nn12n122． 这时数列an的前n项和Sn2(1)当1时，Tnn(n1)n(n1)n1．这时数列an的前n项和Sn22． 22（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列an1a2的第一项最大，下面证明： a1anan1a224,n≥2． ③ ana122由0知an0，要使③式成立，只要2an1(4)an(n≥2)， 22n2n因为(4)an(4)(n1)(1)2

4·(n1)n42n4(n1)n12n2

≥2nn12n22an1，n≥2．

所以③式成立． 因此，存在k1，使得

an1aa≤k12对任意nN均成立． anaka122．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，

考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中（Ⅰ）证法一：由题设AF2F1F2及F1(c，c2y2a2b2y221． y0．由于点A在椭圆上，有221，即2ababb2b2解得y，从而得到Ac，．

aab2(xc)，整理得b2x2acyb2c0． 直线AF1的方程为y2ac1cb2c由题设，原点O到直线AF1的距离为OF1，即，

42233b4ac将cab代入上式并化简得a2b，即a222222b．

b2

证法二：同证法一，得到点A的坐标为c，．

a

过点O作OBAF1，垂足为B，易知△F1BO∽△F1F2A，故由椭圆定义得AF1AF22a，又BO所以

BOOF1F2AF1A．

1OF1， 3F2A1F2A， 3F1A2aF2Ay B F1 O A F2 x b2b2aa，即a2b． 解得F2A，而F2A，得

aa22（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x0，y0)．

当y00时，由ODQ1Q2知，直线Q1Q2的斜率为x0，所以直线Q1Q2的方程为y02x0x0x0y(xx0)y0，或ykxm，其中k，my0．

y0y0y0点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组将①式代入②式，得x2(kxm)2b， 整理得(12k)x4kmx2m2b0，

2222222ykxm，222x2y2b．

2m22b4km于是x1x2，x1x2．

12k212k222由①式得y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)k

2m22b24kmm22b2k22k·km·m．

12k212k12k223m22b22b2k20， 由OQ1OQ2知x1x2y1y20．将③式和④式代入得212k3m22b2(1k2)．

2x0x02222将k，my0代入上式，整理得x0y0b．

3y0y0当y00时，直线Q1Q2的方程为xx0，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组

xx0， 222x2y2b．22b2x0所以x1x2x0，y1，． 2222b2x00， 由OQ1OQ2知x1x2y1y20，即x220解得x0222b． 32222b． 32222综上，点D的轨迹方程为 xyb．

3这时，点D的坐标仍满足x0y0解法二：设点D的坐标为(x0，y0)，直线OD的方程为y0xx0y0，由ODQ1Q2，

22垂足为D，可知直线Q1Q2的方程为x0xy0yx0y0．

22记mx0y0（显然m0），点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组

x0xy0ym， ① 222x2y2b． ②由①式得y0ymx0x． ③

222222由②式得y0x2y0y2y0b． ④ 22222将③式代入④式得y0x2(mx0x)2y0b． 222222整理得(2x0y0)x4mx0x2m2by00，

22m22b2y0于是x1x2． ⑤ 222x0y0由①式得x0xmy0y． ⑥

222222由②式得x0x2x0y2x0b． ⑦ 22222将⑥式代入⑦式得(my0y)2x0y2x0b， 222222整理得(2x0y0)y2my0ym2bx00，

2m22b2x0于是y1y2． ⑧ 222x0y0222m22b2y0m22b2x0由OQ1OQ2知x1x2y1y20．将⑤式和⑧式代入得0， 22222x0y02x0y0223m22b2(x0y0)0．

2222将mx0y0代入上式，得x0y022b． 3所以，点D的轨迹方程为xy

2222b． 3