高考数学题型复习-解析几何 (2)

第37练 圆锥曲线中的探索性问题

题型一 定值、定点问题

x2y21

例1 已知椭圆C：2＋2＝1经过点(0，3)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交

ab2椭圆于A、B两点． (1)求椭圆C的方程；

→→→→

(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 破题切入点 (1)待定系数法．

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系→→→→

式，然后根据向量关系式MA＝λAF，MB＝μBF.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值． c1

解 (1)依题意得b＝3，e＝＝，a2＝b2＋c2，

a2x2y2

∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.

43(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在， 又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)， 设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝kx－1，22由xy

＋＝1，43

消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4k2－128k2

∴x1＋x2＝，xx＝，

3＋4k2123＋4k2→→

又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， x1x2∴λ＝，同理μ＝，

1－x11－x2

x1＋x2－2x1x2x1x2∴λ＋μ＝＋＝

1－x11－x21－x1＋x2＋x1x2

24k2－128k2

－3＋4k23＋4k28＝＝－. 2234k－128k

1－2＋23＋4k3＋4k

8所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－. 3

题型二 定直线问题

例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

破题切入点 假设符合条件的直线存在，求出弦长；利用变量的系数恒为零求解． 解 方法一 (1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)， 可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝kx＋p，

2x＝2py，

与x＝2py联立得

y＝kx＋p.

2

消去y得x2－2pkx－2p2＝0.

由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. 1

于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|

2＝p|x1－x2|＝px1＋x22－4x1x2 ＝p4p2k2＋8p2＝2p2k2＋2， ∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，

AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H， x1y1＋p

则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(，)．

22

11212∵|O′P|＝|AC|＝x2y1＋p2， 1＋y1－p＝222y1＋p1|O′H|＝a－＝|2a－y1－p|，

22∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2 1122

＝(y21＋p)－(2a－y1－p) 44p

＝(a－)y1＋a(p－a)，

2

p

∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．

2pp令a－＝0，得a＝，

22

此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在， p

其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．

2方法二 (1)

前同方法一，再由弦长公式得 |AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2 ＝1＋k2·4p2k2＋8p2 ＝2p1＋k2·k2＋2，

又由点到直线的距离公式得d＝1

从而S△ABN＝·d·|AB|

2

12p＝·2p1＋k2·k2＋2· 21＋k2＝2p2k2＋2.

∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a， 则以AC为直径的圆的方程为 (x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，

2p

. 1＋k2

将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0， 则Δ＝x21－4(a－p)(a－y1) p

＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．

2

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则有|PQ|＝|x3－x4|＝ ＝2p4[a－y1＋ap－a]

2

pa－y1＋ap－a.

2

pp令a－＝0，得a＝，

22

此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在， p

其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．

2题型三 定圆问题

例3 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

3

，两个焦点分别为F1和2

F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程； (2)求△AkF1F2的面积；

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由． 破题切入点 (1)根据定义待定系数法求方程． (2)直接求．

(3)关键看长轴两端点．

2a＝12，x2y2

解 (1)设椭圆G的方程为2＋2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则c3ab＝，a2所以b2＝a2－c2＝36－27＝9. x2y2

所以所求椭圆G的方程为＋＝1.

369(2)点Ak的坐标为(－k,2)，

11

S△AkF1F2＝×|F1F2|×2＝×63×2＝63.

22

(3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外； 若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知点(－6,0)在圆Ck外． 所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.

a＝6，

解得

c＝33，

即不存在圆Ck包围椭圆G.

总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． (3)定直线问题一般都为特殊直线x＝x0或y＝y0型．

x2

1．(2014·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋

2y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围；

→→

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP＋OQ→

与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，得直线l的方程为y＝kx＋2， x2

代入椭圆方程得＋(kx＋2)2＝1.

21

整理得(＋k2)x2＋22kx＋1＝0.①

2

1

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，

2解得k<－

22或k>. 22

22

)∪(，＋∞)． 22

即k的取值范围为(－∞，－(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

→→

则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 42k

由方程①，得x1＋x2＝－.②

1＋2k2又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22.③

→

而A(2，0)，B(0,1)，AB＝(－2，1)．

→→→

所以OP＋OQ与AB共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)， 将②③代入上式，解得k＝由(1)知k<－

22或k>， 22

2

. 2

故不存在符合题意的常数k.

y2

2．已知双曲线方程为x－＝1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于

2

2

P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．

解 显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)． y2

联立y－1＝k(x－1)和x－＝1，

2

2

消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0， 2k－k23

由Δ>0，得k<，x1＋x2＝，

22－k2x1＋x2k－k2

由M(1,1)为PQ的中点，得＝＝1，

22－k23

解得k＝2，这与k<矛盾，

2所以不存在满足条件的直线l.

x2y2

3．设椭圆E：2＋2＝1(a，b>0)过M(2，2)，N(6，1)两点，O为坐标原点．

ab(1)求椭圆E的方程；

→

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA→

⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由． x2y2

解 (1)因为椭圆E：2＋2＝1(a，b>0)过M(2，2)，N(6，1)两点，

ab

a＋b＝1，所以61

a＋b＝1，

222242

解得11

b＝4，211＝，a28

2a＝8，x2y2

所以2椭圆E的方程为＋＝1.

84b＝4，

→

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAy＝kx＋m，22→

⊥OB，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组xy

8＋4＝1＋2(kx＋m)2＝8，

得x2

即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0.

x＋x＝－1＋2k，故2m－8

xx＝，1＋2k

1

2

22

12

24km

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 k22m2－84k2m22＝2－2＋m 1＋2k1＋2km2－8k2＝. 1＋2k2→→

要使OA⊥OB，需使x1x2＋y1y2＝0， 2m2－8m2－8k2即＋＝0， 1＋2k21＋2k2所以3m2－8k2－8＝0， 3m2－8

所以k＝≥0.

8

2

2m>2，8

又8k－m＋4>0，所以2所以m2≥，

33m≥8，

2

2

2626

即m≥或m≤－，

33

因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r＝

2

|m|

， 1＋k2m2m2826r＝＝，r＝， 2＝231＋k3m－83

1＋

88

所求的圆为x2＋y2＝，

3

2626

此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，

33

26x2y22626

而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆＋＝1的两个交点为(，±)或(－

3843326268→→

，±)满足OA⊥OB，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝，使得该圆的任意一条切线333→→与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB. 4．(2014·重庆)

x2y2|F1F2|

如图，设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，ab|DF1|＝22，△DF1F2的面积为(1)求该椭圆的标准方程．

(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 由

|F1F2||F1F2|2＝22，得|DF1|＝＝c， |DF1|2222

. 2

122

从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1，

222从而|DF1|＝2. 2

9

由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，

2因此|DF2|＝32

. 2

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22， 故a＝2，b2＝a2－c2＝1.

x22

因此，所求椭圆的标准方程为＋y＝1.

2

x22

(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，

2y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2. 由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，

→→

所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)，

2

再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y1＝0.

x21由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x21＋4x1＝0， 24

解得x1＝－或x1＝0.

3

当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．

4

当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

3设C(0，y0)，

y1－y0y1由CP1⊥F1P1，得·＝－1.

x1x1＋115

而求得y1＝，故y0＝. 33圆C的半径|CP1|＝

41542

－2＋－2＝. 3333

综上，存在满足题设条件的圆， 532

其方程为x2＋(y－)2＝.

39

5．(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．

(1)证明：动点D在定直线上；

(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值． (1)证明 依题意可设AB方程为y＝kx＋2， 代入x2＝4y，

得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8. y1直线AO的方程为y＝x；

x1BD的方程为x＝x2.

x＝x2，

解得交点D的坐标为y1x2

y＝，x1注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，

y1x1x2－8y1

则有y＝2＝＝－2.

x14y1

因此动点D在定直线y＝－2上(x≠0)．

(2)解 依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0.

由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2. 分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为 22

N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)， aa

22

则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，

aa即|MN2|2－|MN1|2为定值8.

6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程．

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论． 解 方法一 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：

1

由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，

41

设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x2，

401

由y′＝x，得切线l的斜率

21

k＝y′|x＝x0＝x0，

2

1

所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，

2

112

即y＝x0x－x0.

24

11y＝2x0x－4x20，1由得A(x0,0)．

2

y＝0，11y＝2x0x－4x20，16由得M(x0＋，3)．

2x0

y＝3，13

又N(0,3)，所以圆心C(x0＋，3)，

4x0113

半径r＝|MN|＝|x0＋|，

24x0|AB|＝|AC|2－r2 ＝

11313[x0－x0＋]2＋32－x0＋2＝6. 24x04x0

所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变． 方法二 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点， 则|y－(－3)|－x－02＋y－12＝2，

依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方， 所以y>－3，所以x－02＋y－12＝y＋1， 化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)同方法一．